促成学生互动探究的四个途径

王伟

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学探究是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，渗透在每一个模块或专题中.”“学生的数学学习应该倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式，发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师的引导下的‘再创造过程.”互动探究，就要研究教师在课堂教学中如何引导学生主动探索，实现师生和生生互动，体现学生主体，培养学生的自主学习能力，促进学生全面发展.笔者认为要提高学生的互动探究能力，彰显数学课堂魅力，应该从以下几个方面着手.

一、创设情境 激发互动探究欲望

成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣.孔子曾说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”只有“好之”“乐之”才能有高涨的学习热情和强烈的求知欲望，才能以学为乐.而学生的兴趣源自于具体情境，课堂教学又是激发学生学习兴趣、实施主体教育的主阵地.因此，教师要设计新颖的导课形式：或以故事引入，或以悬念激趣，或以问题探究等，为学习新知起到铺垫搭桥作用，为构建新的知识结构做好准备.同时教师应从学生的角度出发，根据学生的需要提供一切条件，如师生共同营造活动氛围与空间，为学生的发展提供足够的信息资料等. 当然，设计材料要能迎合学生口味，要能激起学生的求知欲，提供的材料要具有一定的结构性，利于学生探索发现.

案例1 余弦定理的引入.

师：在我们班中，小明家离学校2000米，小红家离学校4000米，问：小明家和小红家相距多远？

学生面面相觑，很多学生积极讨论着.半分钟后展示用几何画板制作的动画片：随着小明家与学校的连线和小红家与学校的连线的夹角在变化，小明家和小红家间的距离也在发生变化.

师：从这个动画片你发现了什么？

生1：从这个动画片中我们可以发现小明和小红家的距离是不确定的.

生2：它随着小明家与学校的连线和小红家与学校的连线的夹角变化而变化.若夹角确定，则小明和小红家的距离确定；若夹角不确定，则小明和小红家的距离也不确定.

师：所以上面这个问题还需要增加一个条件：小明家与学校的连线和小红家与学校的连线的夹角.大家能否将这一实际问题抽象成一个数学模型？

学生的积极性马上被调动起来了，小组间热烈讨论着.

因此，借助丰富的情境，引导、组织学生经历观察、比较、分析、抽象概括、推理等活动，在相互交流中，使学生认识、理解数学概念，获得结果，培养他们的数学能力，并通过大胆、合理的猜想，生成猜想验证性信息，培养学生的创造性思维，提高学生的创新能力.

二、自主构建 品尝互动探究乐趣

数学新课的展开、数学新知识的构建、数学新技能的形成和数学问题的解决，不是教师对学生的赠予，而是学生在教师的引导下积极主动探索的智慧结晶.依据最近发展区观点，教师应教给学生探究的方法，或自学看书、或动手操作、或观察思考等等，给予个体独立探索的时间.让学生明确探索应达到的目标与要求.在探索过程中，学生应对自己以为已懂的知识进行归纳、整理，准备在小组中发言交流，同时将尚未理解的问题逐项列出，以待与他人合作解决，从而获得对新知识的理解. 这样做使学生经历概念和规律的建构过程，为学生的全面发展创造了广阔的空间，为学生的终身学习、发展打下了良好的基础.

案例2 余弦定理的推导.

在案例1情境下，学生展开热烈的讨论，给出自己的模型.

生3：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠A=θ，请用c，b，θ来表示BC的长a.

学生很快就得到了这样的数学模型，教师随即将其在屏幕上展示出来.经过师生共同讨论，一致认为BC的长度与∠A的大小有关.

师：由直观图大家可以得到什么？

生4：若∠A=90°，则a2=b2+c2；若0°<∠A<90°，则a2b2+c2.

师：我们希望得到是a2=“关于c，b，θ的表达式”，那么对于生4的结论进行怎样的处理呢？

学生经过热烈讨论得到a2=b2+c2-k（θ）.

师：那现在的重点是研究k（θ）了，关于k（θ）大家还可以得到什么结论呢？

经过一段时间思考，学生普遍感到无从下手，这时教师给与提醒，从特殊情况入手，寻找规律.当θ=30°时，k（θ）的值是多少？经过三分钟的思考，一部分学生顺利完成k（30°）的计算.

师：当θ=45°，60°，120°，135°，150°时，a2分别等于多少？

学生自觉地以小组为单位，进行运算，并给出相应的结果，并逐一在黑板上给予展示，在此笔者不一一列举.

师：根据大家的计算，你们能进一步得到关于k（θ）的信息吗？

生5：通过观察、比较发现k（θ）=2bccosθ.

师：很好！这就是余弦定理：a2=b2+c2-2bccosθ.

作为组织者，教师应致力于组织学生发现、寻找、搜集和利用学习资源，在学习过程中为学生营造积极的心理氛围，通过设置问题链，引导学生从不同角度、不同侧面自主探究，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，使学生在探究中有效领悟数学思想方法，体验学习数学的快乐.

三、逐步递进 培养互动探究精神

在课堂教学中，教师在引导学生完成例题的教学后，要有意识地对数学中的问题从不同角度、不同层次、不同情况、不同背景进行变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系，使学生在探究活动中深刻领悟解题原则，由会解一道题到会解一类题，形成有效的链架，从而使学生从探究中喷发出“思维的火花”.

案例3 若△ABC的三边满足a2+b2=c2，问△ABC的形状？

变式1 若△ABC的三边满足a4+b4=c4，问△ABC的形状？

学生独立思考，然后小组交流讨论.

变式2 若△ABC的三边满足（）4+（）4=1，问△ABC的形状？

变式3 若△ABC的三边满足（）n+（）n=1（n>2，n∈Z），问△ABC的形状？

师生共同探讨，教师提示学生采用合情推理，鼓励学生进行“大胆猜想，小心求证”.

师生：∵cn=an+bn>an ∴c>a，同理，c>b.

∵（）n+（）n=1，且0<<1，0<<1.

∴（）2>（）n，（）2>（）n，

∴（）2+（）2=1，即a2+b2>c2.

∴cosC>0，故△ABC为锐角三角形.

变式4 若△ABC的三边满足an+bn=cn（n>2，n∈Z），问△ABC的形状？

设计意图：设计此环节基于两方面的考虑：一方面通过不断等价与弱化变式，加深对余弦定理的理解与应用，另一方面在探索新问题时，鼓励学生进行“大胆猜想，小心求证”等合情推理的方式思考问题，符合知识间相互联系而不是孤立的新课程理念，同时对学生的数学学习能力的进一步发展作了很好的铺垫.

通过从不同角度、不同层次、不同情况、不同背景进行变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系，在学习研究中，使学生在主动参与中实现认知结构的升迁，可谓高潮迭起，精彩缤纷！

四、反思总结 提升互动探究能力

著名的数学家波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”反思对学生思维品质的各方面的培养都有积极的意义.反思题目结构特征可培养思维的深刻性；反思解题思路可培养思维的广阔性；反思解题途径，可培养思维的批判性；反思问题结论，可培养思维的创造性；运用反思过程中形成的知识组块，可提高学生思维的敏捷性；反思还可提高学生思维自我评价水平，有利于提高学生的思维品质.

案例4 若cosα+2sinα=-，则tanα=（ ）

A. B. 2 C. - D. -2

学生通过探究发现此题有多种解法，教师叫几位学生板演，充分暴露其思维过程.

思路1：方程思想，即联立sin2α+cos2α=1.

思路2：切弦互换，即把等式两边平方，然后把分母“1”看成“sin2α+cos2α”，等式左边化成tanα的等式，即“tan2α-4tanα+4=0”.

思路3：求导法，即两边求导得到：-sinα+2cosα=0即可.

反思 思路1是解此类题目的通法；思路2是否是通法呢？如果采用切弦互换，得到方程“atan2α+btanα+c=0”，而方程有2个不同的解，我们又如何处理？例如：“已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=，求tanα的值”；思路3为什么可以对两边求导呢？是不是所有这类题目都可以求导，是巧合？还是另有其他原因？如果不可以，又需要满足什么条件呢？观察“cosα+2sinα=-”等式右边发现-是函数f（x）=cosx+2cosx的极小值.因此可以大胆提出如下问题，用求导方法能否解决下面的问题：已知asinα+bcosα=±，求tanα.

通过解题后对习题特征进行反思，用自己的语言或数学语言对习题进行重新概述，培养思维的深刻性，促进知识的正向迁移，提高解题能力.

苏霍姆林斯基说：“在人的内心深处都有一种根深蒂固的需求——总感到自己是一个发现者、研究者、探索者.在青少年的精神世界里，这种需求特别强烈.”新授伊始，先由学生个体独立探索，就是让学生自己去发现问题、研究问题，培养学生探究问题的意识，从而养成独立探究知识的良好习惯.因此，课堂教学的过程，应是教师、教材、学生、环境等要素之间的多项的、全方位的一个信息互动过程.应把教学各要素放在同一个平台上，让各种信息源发生互动，达到互惠.教学的过程，既要有利于学生个体独立探索，更要有助于学生互动合作探索，用集体的智慧，燃起创新的火花，这也是二十一世纪对人才的要求.endprint