基于学生发展的课堂教学研究：知识·思维·思想——以《用字母表示数》为例

陶红强

（溧阳市文化小学，江苏 溧阳 213300）

我们都知道，教学和教育的根本目的是为了促进学生的发展，也可以说促进学生的发展是我们一切教育教学的根本出发点。要把这个目标落实到位，离不开知识的学习、思维的发展和思想的形成。笔者结合《用字母表示数》这一课，从知识、思维和思想三个层面来简要谈谈如何促进学生的发展。其实，关于《用字母表示数》这一课，笔者本人也经历了知识、思维和思想三次磨课，从中做了一些思考，接下来和大家一起分享。

一、在知识的学习中促进学生的发展

无论是思维的培养、还是思想的形成，都离不开知识的学习。因为，思维和思想都是学生在知识的学习过程中培养和发展起来的，知识学习是一个载体。所以，我们的教学要重视知识的学习。那么《用字母表示数》这一课一个非常重要的知识目标就是让学生感受到用字母表示数的必要性，并让学生体会用字母表示数的抽象概括过程。这个知识目标其实包含了概念教学的一个基本问题：为什么要引进这个概念，这个概念有什么作用，具体到《用字母表示数》这一课来讲就是用字母表示数的必要性。那么用字母表示数的必要性是什么呢？要解决这个问题，我们就不得不谈到代数思维。《用字母表示数》是学生从算术思维到代数思维的一个重要转变。而代数思维的核心是一般化思想，也就是说代数思维所表达的是一种普遍的、抽象的、概括的思想。所以，用字母表示数的必要性就是字母的概括作用。进一步说，字母的概括作用包括两方面：一是字母单独出现，所起的概括作用；二是含有字母的式子所起的概括作用。其中，理解字母单独出现所起的概括作用是理解含有字母式子概括作用的前提和基础，也就是说，只有充分理解单独字母的概括作用才能更好地理解含有字母式子的概括作用。基于以上思考，笔者设计了这样一个问题：“你想摆几个这样的三角形？摆得完吗？能不能用一个式子把我们刚才写的和没写的全部概括出来？”这样一来学生便能深刻体会到字母和含有字母的式子能概括出所有的情况。接下来，在比较“a×3”与“4×3”两个式子的意义区别时，先引导学生思考“a×3”中的字母a可以表示哪些数，从而体会到字母a的概括性，并以此为基础让学生进一步深刻体会到“a×3”所表达的普遍性、概括性。其实，这两个式子也是算术与代数的区别。

以上是笔者对字母的概括性的一些思考，那么如何让学生经历用字母表示数的抽象概括过程。为了更好地说明这一问题，我们首先来比较一下，书上例题与所教的例题的区别。书上关于例题的处理如下：从具体摆1个三角形到4个三角形后，直接问如果是摆a个三角形，小棒根数是（）×（），而提问的是“能不能想个办法概括出已写的和没写的式子”，进而基于学生答案a×3中的a表示什么，让学生思考a×3表示什么。这样处理，笔者个人觉得能更加让学生经历并体验到用字母表示数的一个抽象概括过程。而书中直接说如果用a表示三角形个数，小棒根数怎么列式，这样学生自己没有经历三角形个数的概括过程，进而也没有经历小棒根数的概括过程。这里的字母只是三角形的一个替代物而已，它代表的是三角形这个具体的物体而已。事实上这样的字母仍属于算术思维，而不是代数思维，因为代数思维下的字母意义表示的是一个变量。而学生只有真正经历了字母表示数的概括过程，他才能真正理解字母作为一个变量的意义。

二、在思维的培养中促进学生的发展

教学的最终目的不是为了学习知识，而是为了培养能独立思考的人。所以，发展学生的思维是我们教学的一个重要目的。那么，什么是思维呢？思维就是人脑对客观事物的间接的、概括的反映，是人脑对客观事物本质的、内在规律的反映。既然思维是对事物本质的一种反映，所以我们只有抓住本质，才能发展学生的思维。

1.抓住知识本质，促进学生思维发展

抓住本质，首先要抓住知识本质。《用字母表示数》这一课的知识本质是什么呢？就是有两个相关联的量，用一个字母表示其中一个量，用含有字母的式子表示另一个量，而数量关系就是这两个量的纽带。所以在教学中，我们应紧紧围绕数量关系这一知识本质来展开教学，从多个角度引导学生理解这一本质性的含义。本着这一思考，进行了第二次试教，即在思维的发展中促进学生的发展。与第一次试教相比，主要有这么几个变化。第一个变化就是在用含有字母的式子表示小棒根数之前，先总结了一下“怎么求小棒根数”，从而得出数量关系“三角形个数×3”。为什么要进行这一变化呢？首先，代数概念具有二重性：过程性和对象性。所谓过程性就是从运算的角度来看，它反映的往往是一种操作程序；所谓对象性就是把它作为一种结果来看。在第一次试教时，当问到“a×3”表示什么时，学生大都能回答表示小棒的根数。这就是将“a×3”作为一种结果来理解，体现的是概念的对象性。而当问到“a×3”还可以告诉我们哪些信息时，学生却回答不出“a×3”还可以反映出“小棒根数是三角形个数的3倍”，也就是说学生对式子“a×3”的过程性理解比较困难。讲到这里又引发另一个问题：既然学生不理解小棒根数与三角形个数的倍数关系，怎么能概括出式子“a×3”的？通过分析，我们不难发现学生是根据1×3、2×3、3×3、4×3，这些具体式子类推的，而不是根据数量关系来写的。这种思维水平是比较低层次的，也不利于学生对代数概念的全面理解。为此，为了引导学生从类推到运用数量关系来写含有字母的式子，特意做了以上变化。但问题是，虽然是这么考虑的，学生是不是如我所愿，这里仍是个未知数。因为虽然添加了“三角形个数×3”这一数量关系，但学生仍可选择用类推的方式写。为此就引发第二个变化：在年龄问题中，增加“如果老师的年龄用y来表示，同学的年龄怎么表示”这一环节。如果说以前所有的环节学生都可以选择用类推的方式来写的话，那么这里学生只能根据“同学年龄比老师年龄小20岁”这一数量关系来写。所以，这个环节既是对之前学习的一种检验、巩固，也是一次新的学习。

2.抓住学习实质，促进学生思维发展

以上是从知识的本质来说明如何发展学生的思维。但知识终究是客体，是独立于学习主体之外的。所以，我们有必要从学习的实质来说说如何促进学生思维的发展。学习的实质就是学生在教师的指导下，能动地建立自己的认知结构，并促进自己的全面发展。而要帮学生建立完善的认知结构，就必须给学生呈现一个完整的知识结构，具体到概念教学来说，就是给学生呈现一个系统的概念框架。为此，在第一次试教的基础上，做了如下变化：

在扑克牌活动之后，引导学生回忆已学的运算律和平面图形的面积公式。

[案例]体会用字母表示数

（一）体会用字母表示确定的数

手举扑克牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K），问：老师手里拿的是什么？在这里扑克牌中的A表示几？J、Q、K呢？

小结：在这里扑克牌中的字母表示确定的数，那么字母能不能表示不确定的数呢？

（二）体会用字母表示不确定的数

师：想想看，以前我们在哪用过字母表示不确定的数？

（板书提示：a+b=b+a）

看到这个，你想到什么？这里a可以表示哪些数？（生：自然数，小数和分数）b呢？能再举几个例子，写出其他运算律吗？

通过这样调整，就容易帮学生形成一个完整的整体性框架，只有将知识学习置于框架中，才能形成良好的认知结构。这样处理能形成怎样一个框架性结构呢？首先字母可以表示确定的数，也可以表示不确定的数；字母可以表示自然数，也可以表示小数和分数；字母可以单独出现，也可以出现在式子里；字母可以出现在乘法式子里，也可以出现在加法式子里；学生进一步迁移可悟出，如果需要字母还可以出现在减法式子里或除法式子里，甚至可以出现在加减乘除的综合算式里。给学生呈现这样一个完整性的框架结构，有利于学生通过整体和联系的视角去学习各个部分的知识，能更好地沟通各个部分知识之间的内在联系，从而形成良好的认知结构。

同样，在经历了摆三角形和算年龄活动后，添加表格（如表1），目的是在学习各部分知识之后，对各部分知识进行系统整理，建立起各部分知识之间的联系。与前面的环节构成“整体—部分—整体”的结构框架，帮助学生理清“字母可以单独出现表示数量，也可以出现在式子里表示一个新的数量，还可以表示数量关系”这一脉络。建立了完整的知识结构，为学生形成良好的认知结构创造条件。

三、在思想的体悟中促进学生的发展

日本教育家米山国藏说：“学生在学校接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的教学，所以通常是在出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、思想、方法却能随时随地发挥作用，使他们终生受益。”［1］可见，基于学生发展的教学应是基于思想的教学，而要达到这一点，我们必须以思想方法的分析带动具体内容的学习。《用字母表示数》蕴含了符号思想、函数思想和建模思想。

表1

（一）符号思想

所谓符号思想，就是用数学符号来表达实际问题，符号思想的建立重点在于理解数学符号的内涵。对《用字母表示数》来说，关键是理解字母在具体情境中的意义。主要表现在两个方面：一是同一问题情境中，相同字母表示相同的意义；二是在不同情境中，相同字母表示不同意义。为此，在教学中，出示表1后，通过两个问题“三角形个数中的a与小棒根数a×3中的a表示的意义是否一样”，“三角形个数中的a与同学年龄中的a意义是否一样”，让学生深刻体会到字母在具体情境中的意义。

（二）函数思想

函数思想的本质是变量间的对应关系和依存关系。具体说就是一个自变量，一个因变量，及自变量与因变量之间的某种对应法则。而《用字母表示数》的本质就是两个相关联的量，用字母表示其中一个量（自变量），用含有字母的式子表示另一个量（因变量），数量关系就是两个变量之间的纽带。基于这个思想，教学中采取以下活动：在表1中，问到a表示三角形个数时，小棒根数a×3中的a能不能用b×3表示，让学生体会到小棒的根数是随着三角形个数的变化而变化的，它们之间是有联系的，是不能用b×3表示的。另外，在发散练习即解释a×5的意义时，学生通过举例会发现并体会到“a×5”的意义与a的意义是紧密相关的，这些都是函数思想的渗透。

（三）建模思想

数学建模就是课堂内外情境的转换，目的是用数学知识解决实际问题。这个转换包括两个过程：现实情境向数学模型的转换（数学化和符号化的过程）；数学模型向现实情境的转换（数学模型的应用）。《用字母表示数》这一课中的三角形活动、年龄问题，都是从具体情景逐步抽象到数学模型，属于建模思想的第一个过程。但数学建模的本质意义在于运用模型解决实际问题，所以第二个过程是非常重要的，这也是由对象到过程的一个展开。解释a×5的意义就是对象到过程的一个展开，也就是对模型a×5的现实意义的一个解释。▲

[1]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.