基于学生基础，巧解影子问题

☉湖北省咸宁市咸安区双溪中学 陈秋兰

☉湖北省咸宁市咸安区横沟中学 李群

☉湖北省咸宁市咸安区横沟中学 陈萍

基于学生基础，巧解影子问题

☉湖北省咸宁市咸安区双溪中学 陈秋兰

☉湖北省咸宁市咸安区横沟中学 李群

☉湖北省咸宁市咸安区横沟中学 陈萍

影子问题是九年级数学中一个常见的数学问题，由于贴近生活，因此常常被命题者青睐，以考查学生应用数学知识解决实际问题的能力.解决这类问题的关键是将实际问题抽象为数学模型，基本思路是建构相似三角形的数学模型，通过已学过的相似三角形的知识来解决.但同是用相似三角形的性质解决这类问题，由于思维定势的限制，造成解题角度和所选用的解题知识点有很大区别，从而出现传统解法和创新解法两种模式.当然，“艺高人胆大”，学生只有拥有扎实的数学能力，才敢于创新，才有能力创新.

类型一：由灯求影

例1如图1，路灯P距离地面8米，身高1.6米的小丽从距离路灯的底部（点O）20米的A处，沿AO所在的直线行走14米到达B时，人影长度怎样改变？改变了多少？

图1

传统解法（略解）：依题意得CB∥OP，则△BCN∽△OPN，则CB∶OP＝NB∶NO，即1.6∶8＝NB∶（NB＋6），解得NB＝1.5米.

同理可得1.6∶8＝AM∶（AM＋20），解得AM＝5米.

影长变短了5-1.5＝3.5（米）.

评析：这种解法只用了相似三角形最基本的性质，用了两次三角形相似，略显麻烦.

创新解法（略解）：如图2，设直线CD交PO于E，易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD和△PNM的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比，得CD∶NM＝PE∶PO，则14∶NM＝（8-1.6）∶8，解得NM＝17.5米.

NM-AB＝17.5-14＝3.5米，则影子变短了3.5米.

图2

评析：创新解法用的是相似三角形对应高的比等于相似比，只用了一次三角形相似，显得很方便.

类型二：由影求灯

例2如图3，花丛中有一路灯杆PO，灯光下，小丽在B点处的影长BN＝3米，沿OB方向行走到达A点，BA＝5米，这时小丽的影长AM＝5米，如果小丽的身高为1.7米，求路灯杆PO的高度.

图3

传统解法（略解）：依题意得CB∥OP，则△BCN∽△OPN，则CB∶OP＝BN∶ON①.同理，得DA∶PO＝AM∶OM②.

显然CB＝DA，由①和②得BN∶ON＝AM∶OM.

设OB＝x米，则3∶（3＋x）＝5∶（10＋x），解得x＝7.5米.

代入①式，得PO＝5.95米.

评析：这种解法仍然只用了相似三角形最基本的性质，又得用两次三角形相似，还要以中间比为桥梁，有些让人眼花缭乱.

创新解法（略解）：同例1做法一样，如图4，设直线CD交PO于E，易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD和△PNM的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比，得CD∶NM＝PE∶PO，解得5∶（5＋5-3）＝（PO-1.7）∶PO，解得PO＝5.95米.

图4

评析：这种创新解法利用相似三角形对应高的比等于相似比，非常简便快捷，既节约时间，又提高了准确率.

类型三：双灯双影问题

例3如图5，小丽晚上在路灯下散步，已知小丽的身高AB＝h，灯柱的高OP＝OP′＝L，两灯柱之间的距离OO′＝m.

图5

（1）若小丽距灯柱OP的水平距离OA＝a，求她的影子AC的长.

（2）若小丽在两路灯之间行走，则她前后的影子的长度之和（DA＋AC）是否为定值？请说明理由.

评析：这种做法还是只用了相似三角形最基本的性质，做第一问尚可，做第二问又得用两次三角形相似，显得很笨拙，若将题目中的两问合并形成一个题目，则更加捉襟见肘，但用创新做法就简单多了.

整合后的题目：如图6，小丽晚上在路灯下散步，已知小丽的身高AB＝h，灯柱的高OP＝OP′＝L，两灯柱之间的距离OO′＝m，当她在两路灯之间行走时，她前后的影子的长度之和（DA＋AC）是否为定值？请说明理由.

图6

创新解法（略解）：连接PP′，设AB的延长线交PP′于E，易得矩形OO′P′P，则AB、BE成了△BCD和△BPP′的对应高.

评析：创新解法还是只用了一次相似三角形对应高的比等于相似比，但这种做法显得多么灵活，一举解决问题，而不用分别求出DA和AC，简直是一种享受.

由此可见，创新其实也只是换个角度思考问题，也就是一种求异思维，它要求学生必须有过硬的基础知识和基本技能，因此，只有造就了学生过硬的基础知识和基本技能，才能培养学生多角度审视的能力.同时也告诉我们：在教学中，应该始终以新课程标准为纲，捕捉住课本中的每个知识点（包括很细微的知识点），才能为培养学生的创新能力打好基础.W