认知在何处？生成在何方？——与钱德春老师商榷

☉上海市岭南中学 刘华为

认知在何处？生成在何方？
——与钱德春老师商榷

☉上海市岭南中学 刘华为

拜读了钱德春老师发表在《中学数学》（下）（2014年3月）上《基于认知与生成的数学思维教学——以“三角形内角和定理”一节课为例》（以下简称文1）一文后，深受启发，特别对如何从学生的认知基础出发、从操作经验入手、从思维受阻处突破、从“死结”打开处寻求生长点等教学智慧、技巧与方法，有了深刻认识.但也有一些不同的想法，愿与钱老师商榷.

一、商榷之点

1.学生的错误是否有必要逐一辨析

文1指出：“执教老师只是从图1、图2两种拼图入手，引导学生得出添辅助线的正确方法，证明了三角形内角和定理.但没有展示图3、图4的拼图，漠视了学生由这两种拼图得不到正确辅助线添法的困惑，失去了培养学生思维调控力的大好机遇.”

图1

图2

图3

图4

诚然，当学生在课堂上出现错误时，教师置之不理是教学失误.但这是指这类错误已呈现在众生面前，是一个“显性错误”.根据文1可知，图3、图4的拼图并没有显性化，是个别学生的“个性化”困惑.那么，针对这些隐性失误，教师有没有必要把它们一一呈现在课堂上，然后引导学生逐一辨析呢？

首先，不必说由于教学进度和时间安排引发的可行性之争，单就必要性而言，展示、辨析图3、图4的拼图也有画蛇添足之嫌.

笔者以为，教师有必要当堂讲解在巡视中发现的学生“失误”，必须具备如下特征：第一，代表性，非少数学生的个性化行为；第二，不可解性，通过教师对问题正确处理后，其失误学生仍然无法自悟解决；第三，可研究性，即通过进一步研究，可挖掘其“闪光点”，得到问题的不同解决方法.

显然，图3、图4的“失误”不属此列.

图5

2.拼图是本节课的重点吗

为了能让学生自己展示图3、图4，文1的建议是：给学生足够的时间，让学生拼图，并充分展示他们的作品，从而归纳出图1～图5共五种拼图，再逐一剖析.

其实，按照文1的拼图要求，学生是拼不出这五种图形的（特别地，图5本身就不是拼出来的），因为摆在学生面前的就是从△ABC上撕下的三个角按六种方式拼成的平角图（原△ABC已被“肢解”），对添辅助线无任何启发，更不用说困惑了？

倒是笔者作为评委曾见过一位申报中学高级的小学老师的做法值得借鉴.执教老师在黑板上先画出△ABC，再把与之全等的三角形纸板一分为三，涂上不同的颜色，引导学生在黑板上的△ABC处拼出了六种图形；又引导学生用手中的三角形纸片，折叠出类似图5的三种图形.

理所当然，本节课获得评委的一致好评，因为对于处于实验几何学习阶段的小学生来说，把重点放在拼图验证上是亮点（特别是教师的拼图设计为学生进入初中阶段的后续学习，悄然埋下了添辅助线的伏笔，值得称赞）.但到了突出推理的演绎几何之初中，不惜重墨重复小学老师的做法，把拼图仍作为教学重点是否欠妥？

当然，文1认为拼图是教学重点还因为它是学生的认知点和添辅助线的生成点，事实果真如此吗？

3.认知点在何处

一方面，演绎推理强调从已知条件出发，运用所学过的定义、公理和定理进行论证；另一方面，转化思想则强调运用所学过的知识来解决新问题.因此，学生之前所学过的与180°有关的知识源于“平角的意义”和“两直线平行同旁内角互补”才是“证明三角形内角和定理”的认知点. 4.辅助线生成在何方

若从“两直线平行同旁内角互补”的认知点出发，作出图6中的平行线AD是必然的.

若从“平角的意义”的认知点出发，如何利用等量转化把∠A、∠B和∠C转化到同一平角内是证明的突破口，而常见的等量转化有“平移、翻折和旋转”.因此，如何通过平移、翻折和旋转进行角的等量转化，才是辅助线的生成方向！据此可得图7（旋转——将∠B绕线段AB的中点旋转至∠EAB处，或将∠C旋转至∠DAC处）、图8（平移——把∠B平移至∠EAD处）、图9（翻折）的辅助线添法.

图6

图7

图8

图9

应当指出的是平移、翻折和旋转是指效果而已，具体作辅助线时可灵活操作，否则会弄巧成拙.

如图9的辅助线作法及其证明如下：

过点A作AM⊥BC于点M，过AM的中点N作AM的垂线，分别交边AB、AC于点D、E，连接MD、ME.把△ADE沿直线DE翻折，由对称性可知，点A与M重合，则∠ADE=∠MDE、∠BAC=∠DME.易知∠DNM+∠BMN=90°+90°= 180°，所以DE∥BC.得∠B=∠ADE、∠DMB=∠MDE.故∠B=∠DMB.同理可得∠C=∠EMC.又∠DMB+∠DME+∠EMC=180°，所以∠BAC+∠B+∠C=180°.

二、设计之笔

据以上，笔者认为“三角形内角和定理”的课堂教学可通过下列问题驱动：

问题1：三角形内角和是多少度？

问题2：你是怎么知道的？（度量和拼图）

问题3：如何证明呢？（若学生难以回答，教师可作如下引导）

问题4：一般的，数学问题都是运用所学过的知识来解决的.那么，我们学过的与180°有关的知识点有哪些呢？（“平角的意义”和“两直线平行同旁内角互补”）

至此，过顶点作其对边的平行线，运用“两直线平行同旁内角互补”来证明“三角形内角和定理”已是手到擒来之举；而如何运用“平角的意义”来证明还需教师进一步启发.

问题5：如何运用“平角的意义”来证明三角形内角和定理呢？拼图给你什么样的启发？（把三角形三个内角等量转化到同一平角内）

问题6：如何进行角的等量转化？（教师可从角的位置变化引出图形变换，从而得出“平移、翻折和旋转”）

运用转化思想来驱动问题解决的最大益处是让学生学会如何思考，不仅知道怎样做，更知道为什么这样做！从而有效地突出了学法指导，强化了解决问题能力的培养.

三、题外之语

鉴于钱老师是一市之教研员，统领着一市课堂研究之方向，关于“教学失误”，虽然形成的原因众多，但作为一线教师，笔者想谈两点拙见，不当之处，欢迎钱老师和广大同仁批评指正.

众所周知，新课程实施中需突出三个力——教师课程执行力、校长课程领导力和教研员课程指导力.这三者之间的关系一目了然，既然教师执行力出现偏差，那么我们不禁要问：

1.校长的课程领导力去哪儿了

毋庸讳言，不少学校课程管理者在接待上级部门的课程调研排课时，关注点更多地落在执教人员的选择上，常常安排一些骨干教师上展示课.殊不知，如此“精心”安排却错失了提升其他教师课堂教学能力的大好时机！

课程管理者若能明晰“好课是磨出来”的道理，把工作重心放在课的精心准备上，聘请学科专家引领全校同学科教师积极参与磨课，营造“畅所欲言、大胆质疑”的研讨氛围，落实“反复修改、不断完善”的研讨流程，追求“精益求精、力求完美”的研讨境界，从“学情分析、教材处理、教法设计、学法指导、课堂组织和习题精选”等细节入手，把磨课真正落到实处，把好课磨到每一位教师的心里，又何必担心由谁来执教呢？

2.教研员的课程指导力去哪儿了

据笔者所知，教研员对负责区域内教师课堂教学能力的培训存在两个“单一”倾向.

第一，到学校调研时，不仅独自听课，而且反馈也往往只与授课教师个别交流.若能抛开传统观念，组织区域内各校教研组长一起听课，并进行反思性的集体研讨，不仅能让授课教师获益匪浅，而且还能通过教研组长把研讨效果辐射到辖区内的每一所学校，从而把课程指导力最大化.

第二，开展区域内公开课活动时，喜欢独自过早地参与到课前指导中.其弊端有二：首先，束缚了授课教师及其团队的创新力，由于教研员的特殊身份，其指导之处必然是授课教师的盲从之点；其次，阻碍了课后研讨的深入交流，不难想像，教研员指导过的课，区域内的老师还敢有什么不同想法！即便有，又怎能说出口！研讨活动常常会在一片叫好声中草草收场.

笔者的想法是，既然是区域内公开课，教研员当然要参与磨课.但磨课初期，教研员应积极发挥授课教师及其团队的作用，放任他们大胆磨课，自己只是聆听者和思索者.等到团队达成共识后，再组织区域内有经验的教师或专家进行新一轮的磨课，最后展示.展示后，教研员应把整个磨课过程，结合调研时发现的问题，辅以多媒体开展一次专题讲座，着重介绍磨课过程中一些教学设计取舍的背景和缘由，初稿、修改稿和定稿的优劣，本节课还可怎么处理等热点话题.目的在于：让教师不仅从优质课的展示中学会怎么做，还要从好课形成过程中懂得哪些不能做，以及为什么不能做.倘若如此开展公开课活动，钱老师在原文中所提到的种种“教学失误”是否会大大减少呢？

众所周知，突出过程教学的课程改革已如火如荼地开展了十几年，那么，身为教研员是否也该反思：公开课活动不仅要展示结果，更要展示过程呢？

总之，当课堂教学出现“失误”时，需反思的不应只是授课老师，还有学校的团队、课程管理者和课程指导者.只有我们静下心来，从学法、教法、管理和指导全方位地进行反思，积极研究对策，打造优质师资队伍、创建高效课堂才能成为现实.如此，受益的不仅仅是老师，更有那些依在“题海”中苦苦挣扎的莘莘学子！

1.钱德春.基于认知与生成的数学思维教学——以“三角形内角和定理”一节课为例［J］.中学数学（下），2014（3）.W