基于逻辑主线之上的几何教学——以人教版“4.2直线、射线、线段（1）”为例

☉江苏省如皋市长江镇郭园初级中学 沙志宁

基于逻辑主线之上的几何教学
——以人教版“4.2直线、射线、线段（1）”为例

☉江苏省如皋市长江镇郭园初级中学 沙志宁

在初中阶段的教学中，不仅要发展学生的空间观念，还要发展学生的推理能力.推理既包括合情推理，又包括演绎推理.培养学生的推理能力，几何教学责无旁贷.在日常教学中，我们应努力从已有的事实和规则出发，按照逻辑推理的法则生成新的知识和技能，以完整的知识生成过程的经历，来培养学生的推理能力.这就告诉我们，要想培养学生的推理能力，就必须紧扣几何认知的逻辑主线展开教学，让旧知的回顾与新知生成均在这一主线上进行.本文拟以人教版“4.2直线、射线、线段（1）”的几则教学片断为例，谈谈基于逻辑主线之上的几何教学，希望能给您带来启示.

一、几则教学片断及分析

片断1：归纳基本事实.

问题1：固定一根木条，至少需要几枚钉子？

利用老师提供的木条和图钉展开实验探究，经过两分钟的探究，学生归纳结论：固定一根木条，至少要两枚钉子.

问题2：过一点A能作几条直线？过两点A、B能作几条直线？

学生板演“作直线”，并给出答案：过一点可以作无数条直线，过两点只能作一条直线.

两个问题探究结束，教师带领学生归纳“两点确定一条直线“的基本事实，并进行板书.

片断分析：“两点确定一条直线”的基本事实已经蕴含于学生的认知结构中，学生对这一事实是有较为深刻的认知的.教者通过一个并不复杂的“固定木条”实验，唤醒了学生的生活经验，顺利得出了教师期待的结论；分别过一点、两点作直线，将生活中的数学抽象，以便学生从已有认知结构中提取出数学的经验.两个问题的顺利解决，提取了学生的生活经验和数学经验，推动了基本事实的快速生成.整个探究历程，紧贴学生的已有认知，让他们感知到数学与生活的紧密联系，为下一步的强化体验埋下伏笔.

片断2：感悟生活中的“事实”应用.

问题3：植树时，怎样才能让所有树坑的位置在如图1所示的直线上？

图1

图2

问题4：如图2，建筑工人在砌墙时会在墙的两头分别固定两枚钉子，然后在钉子之间拉一条绳子，定出一条直的参照线，这样砌出的墙就是直的.你知道这么做的数学道理吗？

学生先自主探究两个问题，然后在小组中交流各自的想法，最后教师组织学生开展全班交流，引导学生发现：在生活中，“两点确定一条直线”这一基本事实有着较为广泛的应用.

片断分析：基本事实的生成源于学生的生活和教者预设的探究活动，这是一个抽象的过程，抽象不能是“空中楼阁”，必须重新回到现实，两则看似简单的应用实例的分析，让学生对事实的认知进一步升华，明了“两点”与“一条直线”的关系，为下一步探究表示方法积累经验.在基本事实的应用过程中，浓浓的生活气息，让学生感知到数学中的生活和生活中的数学，对“数学源于生活而又服务于生活”有了更为深刻的认识.

片断3：体会数学中的“事实”应用.

师：老师这里有一条直线，你能根据字母表示点的经验为它起个名字吗？

生1：叫直线A.（师在直线的上方板书A，如图3）

图3

生1话音刚落，部分学生就在下面窃窃私语.

生2（激动地）：我认为不对，这和点A的名字一样了，容易混淆.

师：你认为怎么表示才能不混呢？

生2：用小写字母表示.

师：嗯，这是一种不错的方法.（在直线上方板书a，如图3）这根直线就叫什么呢？

生（齐）：直线a.（师板书：直线a）

师：有没有其他方法呢？

学生一阵沉默，教师稍作停顿，在刚刚字母“A”的下方点上一个点.

生3（立即起立，非常激动）：我认为可以在直线上再取一个点B.

师：哦，是吗？（在直线上再取一个点B，如图4）你说说这根直线叫什么？

图4

生4：直线AB！

师：为什么？

生5：这根直线经过A、B两点，根据“两点确定一条直线”，既过点A又过点B的直线就只有这一条了.所以这根直线是唯一的，叫它“直线AB”是有道理的.

师：很好！那么我们就给它起名“直线AB”了，（板书：直线AB）你们同意吗？

生（齐）：同意！

师：你还有其他表示方法吗？

生6：直线BA.

师：可以这么表示吗？

生7：可以，因为直线是向两个方向无限延伸的，直线AB和直线BA表示的是同一条直线.

师：很好.（教师板书：直线BA.顺手在直线AB上标上一点C，如图4）这根直线还可以怎么表示？

生8：直线AC，直线CA.

生9：直线BC或直线CB.

师：这样一来，根据“两点确定一条直线”的事实，我们又获得了一种直线的表示方法.我们知道，射线和线段是直线的一部分，你能给这条射线起个名吗？（动画隐去图3中点A左侧部分，如图5）

图5

生10：射线AB.

师：还可以怎么表示？

生11：射线BA或射线a.

生12（很迫切）：不可以表示为射线BA.

师：为什么？

生13：射线就像手电筒发出的光一样是有方向的，我们应该将射线的端点放在前面.

师：对！端点A应该放在前面.（板书：射线AB）如果在图中的射线上再取一个点D（在图5中标出点D），这条射线还可以怎么表示呢？

生14：射线AD.

师：还有其他表示方法吗？

学生立即安静下来，片刻后一生起立作答.

生15：老师，除了上面的这种方法，我认为没有了.师：为什么？

生16：根据刚才的经验，我们可以用两个点来表示射线，但端点必须放在前面，所以这种表示方法只有射线AB和射线AD了.

师：看来用两个点表示一条射线时，不光要关注点的名称，还要关注点的位置！（动画演示，隐去图5中点B右侧的部分，如图6）这条线段现在你们会表示了吗？

图6

生17：线段AB、BA或线段a.

师：说说你的理由！

生18：我们已经知道了“两点确定一条直线”的事实，而线段是直线的一部分，所以我们除了可以用一个小写字母表示这条线段外，也可以用两个点来表示一条线段.

教师：这两个点有什么要求吗？

生19：应该是这条线段的两个端点.因为线段不具有延伸性，只有取了两个端点，才能将这条线段固定下来.

师：很好！大家根据“两点确定一条直线”不仅获得了直线的表示方法，还获得了射线和线段的表示方法.下面我们一起来梳理一下这三种线的表示方法吧！

生20：都可以用一个小写字母表示.

生21：取直线上任意两点，可以表示直线；取射线的端点和另一点有序摆放（端点在前面），可以表示射线；取线段的两个端点可以表示线段.

师：你们总结真到位！接下来，就请同学们用刚刚学到的知识完成下面的练习.（投影练习）

片断分析：直线、射线、线段的表示方法是本节课教学的重点和难点，它开启了符号化认知几何图形的旅程.由于学生已经具备了用字母表示点的经验，教师以此为教学突破口，让学生给一条直线“起名”，激起了学生的探究热情.一名学生根据已有经验给出了“直线A”的命名，很多学生意识到这样表示是有问题的.接下来生成的“小写字母表示法”和“两点表示法”都是顺着学生固有经验得出的.应该说，为直线、射线、线段命名，恰好是“基本事实”在数学中的进一步应用，是顺应学生认知规律的新知的自然延伸.教者从这样的起点出发，让学生顺着本课认知的逻辑主线（基本事实）展开学习，牢牢抓住“线段、射线是直线的一部分”，类比直线的表示方法，探究得出另两种线的表示方法.让学生的已有知识、经验在新知生成中发挥作用，确保了逻辑主线的进一步延伸.

二、几点感悟

1.准确抽取逻辑主线，确保学生认知有根有序

初中阶段的几何学习，是从一个知识走向另一个知识的过程.实现知识间串联的是逻辑主线，在教学中，准确抽取探究的逻辑主线将能保证新知生成的基础扎实，新知生成按部就班，逐次呈现.以垂径定理为例，生成这一新知的前提是“圆是轴对称图形”.课堂教学中，我们就应该让学生的探究在“圆的轴对称性”上展开，让学生在翻折中发现知识间的联系，从而生成众多的附着于主线之上的新“四基”.在本文中“基本事实”是学生获得三种线的表示方法的基础，教者在教学开展之初，便从学生的已有生活经验和数学经验中抽取出了这根主线，这对接下来的生活应用的感悟和教学应用的延续是十分有利的.正是基于教者的准确抽取，才让本课的教学“顺流而下”，成效斐然.

2.紧贴主线生干长枝，力求新知生成有量有质

逻辑主线是学生获取新知的主要线索，在逻辑主线上附着着各种数学基础知识、技能、思想方法和活动经验，数学教学就是要将这些生成，在有限的时间内转化为学生易于接受的数学知识，为后续学习、生活数学化积淀.从教学成效看，这些生成越接近学生的现有认知网络，越容易被内化.所以教师要在附着于主线之上的知识中，尽可能地选择出紧贴学生最近发展区的知识及知识生成方式，确保在短暂的课堂教学时段内，在教学的逻辑主线之上“生干长枝，开花结果”.以上面的教学历程为例，在“两点确定一条直线”这一逻辑主线之上，逐次生成了“与生活紧密关联的数学经验”，直线的表示方法，射线、线段的表示方法等，基于这些知识的数学探究经验也成为主线之上的生成之一.如此众多的教学生成，既有数量，又有质量，它们开启了初中学段的几何学习之旅，从此学生进入演绎推理能力提升阶段，几何学习将由此过渡到实证阶段.

3.合理应用固有“四基”，强调知识生成有理有据

任何新知的生成都离不开坚实的“基础”.学生的已有知识网络中，能够生成新知的固有“四基”数量是庞大的，但在不同时段，认知起点是不同的，也就是说，对于不同的认知阶段，并非所有的“前知”作为引入铺垫都适用.七年级几何学习即将步入实证阶段，几何知识的获得已由小学中的纯图形认知过渡到了符号等，认知过程的抽象程度很高.此时，过多地应用形象的图片与动画进行教学已不再适合，我们应从学生固有“四基”中，挖掘出能够有效唤醒学生“主动探究”的认知经验，为学生获取“四基”建构出数学化的铺垫.小学中，在经历了由实物抽象出图形的过程后，学生对图形已经有了较为直观的认知，本节课中，从实例和画图活动中直接抽象出基本事实，简单的情境回归后，便再度跟进符号化，这种逐层递进式生成，搭建了一级级“四基”渐次生成的台阶，让丰富的几何认知体验在“四基”的有效生成中获得，激活了学生学习几何的热情，提升了学生学习几何的兴趣.

三、写在最后

逻辑主线是几何知识生成的主线，也是学生获取数学知识的主线.步入义务教育的第三学段，抽象思维的培养逐渐成为数学教学的主导，此时几何教学显得十分重要.它能推动学生的认知渐行渐丰，也能不断提高学生从数学的角度分析和解决问题的能力.基于逻辑主线之上的几何教学，将几何知识置于整个几何认知的网络之中，保证了新知的源和流，让学生的几何认知从开始就在网络化、系统化的框架下进行，这对日后几何知识网络的建构是大有益处的.

以上仅一家之言，不当之处，敬请斧正！WG