风荷载作用下复刚度阻尼TMD减振结构优化设计

彭凌云，康迎杰，秦 丽，何浩祥

（1.北京工业大学工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京 100124；2.湖北文理学院建筑工程学院，湖北襄阳 441053）

风荷载作用下复刚度阻尼TMD减振结构优化设计

彭凌云1，康迎杰1，秦 丽2，何浩祥1

（1.北京工业大学工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京 100124；2.湖北文理学院建筑工程学院，湖北襄阳 441053）

利用复刚度阻尼进行减振的优化设计理论亟需发展。建立具有复刚度阻尼特征的调频质量阻尼器（TMD）减振结构的动力学方程，并基于定点理论提出了采用复刚度阻尼的TMD结构最优频率比和最优阻尼比确定方法。对具有复刚度阻尼特征的TMD减振结构在简谐激励和平稳随机激励下的稳态响应进行了分析。以主结构位移振幅最小为优化条件，推导TMD的阻尼和频率最优参数的理论公式。结果表明复刚度阻尼TMD的整体减振效果接近于黏滞阻尼减振结构，在相同质量比和一定频率范围内，复刚度阻尼比黏滞阻尼可能具有更好的减振效果。对Davenport风速谱下复刚度阻尼TMD减振结构的随机响应进行分析，结果表明TMD的减振效果要弱于白噪声作用下的结果，复刚度阻尼TMD减振效果稍逊于黏滞阻尼的情况，但二者结果较接近。在应用TMD减振技术时，采用复刚度阻尼是一种有益的选择方案。

复刚度阻尼；TMD；稳态响应；随机振动

目前调频质量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）相关的理论与应用研究中大都假定结构和TMD子结构中的阻尼属性为与变形速度相关的黏滞阻尼。线性黏滞阻尼TMD减振结构的优化设计理论目前也较为成熟，在机械、土木等领域都取得了很成功的应用［1－5］。其中稳态响应对应的最优参数早已获得经典的理论公式，文献［5］对TMD的研究历史、发展及现状做了非常详尽的介绍，在此不再赘述。关于非线性黏滞阻尼TMD减振结构的优化设计亦开展一些的研究工作［6－7］，总体上看来相对于线性黏滞阻尼还是具有一定的优势，但应用时无理论公式指导设计，需通过数值方法求其优化参数。另外，非线性问题对应的最优解大多数情况下与振动幅值相关，适用范围需加以明确限定。如不加特殊说明，下文中“黏滞阻尼”指的都是线性黏滞阻尼。

关于复刚度阻尼在TMD减振结构中的应用研究远落后于黏滞阻尼。Snowdon［8］在半个世纪前研究了具有复刚度阻尼TMD减振结构的最优参数，研究表明复刚度阻尼TMD减振结构的效果与线性黏滞阻尼相近，不过该文没有给出最优参数与质量比的关系式。丁文镜在文献［9］中对该文的研究成果做了部分介绍，其后国内外关于减振方面的学术专著中似乎再无此类阻尼的相关介绍。其原因可能是因为能够提供复刚度阻尼特征的装置较少，因而未能引起研究人员和工程界的注意。Inaudi等［10－11］提出了一种线性滞回阻尼装置，该阻尼器的滞回曲线为位于一、三象限的两个对角三角形，相当于复刚度阻尼与弹性刚度的并联模型。在此基础上，Zhou［12］提出了一种具有复刚度阻尼特征的变摩擦阻尼器，但其构造较为复杂。彭凌云等［13－14］则通过更为简单的方式实现复刚度阻尼，装置简单，造价低廉。虽然这些具有复刚度阻尼特征的减振装置目前离工程应用尚有一定距离，但如果复刚度阻尼TMD的减振效果令人满意，则可为相关研究人员多提供一种研究思路，可为工程应用再多提供一种有益的选择。

基于主结构无阻尼的二自由度力学模型，本文对简谐激励和白噪声随机过程激励下复刚度阻尼TMD减振结构的动力响应进行了分析，推导了最优参数的理论公式。在具有Dawenport谱特征的随机风振过程作用下对主结构的功率谱和响应方差进行了计算，对复刚度阻尼和黏滞阻尼两种TMD的减振效果进行了对比分析。

1 风荷载作用下包含复刚度阻尼结构的运动方程

如图1所示的主结构无阻尼的二自由度结构力学模型，荷载作用于主结构上，对应风荷载作用于建筑结构的情况，其对应的运动方程见公式（1）。

式中：m0、k0、m1、k1分别为TMD减振结构中主、子结构的质量和刚度，fd为子结构的阻尼力。当采用复刚度阻尼时，计算公式如下所示。式中η为复刚度阻尼的参数kd与子结构刚度k1的比值［15］：

图1 风荷载作用下二自由度TMD减振结构力学模型Fig.1 Themechanicalmodel of two degree of freedom structure with TMD excited by wind load

2 简谐激励下结构位移响应动力放大系数的理论解

定义主、子结构的位移响应的动力放大系数为上式的模，由此可得：

3 根据定点理论求解最优参数

Hahnkamm［16］首次揭示了主结构无阻尼的TMD减振结构中不同子结构阻尼对应的主结构位移响应放大系数随输入频率比g变化的曲线簇中存在公共点，即所谓“定点”，如图2所示。Den Hartong［17］基于定点理论推导了采用黏滞阻尼TMD结构的最优频率比和最优阻尼比，其中最优频率比由两个公共点处纵坐标相等的条件获得，最优阻尼比由动力放大系数曲线的峰点与公共点重合求得。本文亦采用此思路推导复刚度阻尼TMD减振结构的最优频率比和阻尼比。对式（6）中β0分别取η趋于0和无穷的极限值得：

当μ、f为任意给定数值时，上式描述的是子结构阻尼比取0和无穷大条件下的两条β0（g）曲线，应该有两个交点，令二者相等整理后可得：

式（8）中g的两个正根即为“定点”的横坐标，记为ga、gb，如图2所示。再将ga、gb分别代入到式（7）中第二式后令二者相等可解得使定点处纵坐标（动力放大系数）相等的最优频率比与质量比的关系为：

最优频率比对应的两个定点横坐标为：

最优频率比对应的两个定点处主结构位移动力放大系数为：

将最优频率比代入式（6）中第一式中后再求得使定点处放大系数值为局部极大值的阻尼参数，经过较为复杂的推导后可得：

当质量比μ不是太大时，可按文献［17］的方法定义简谐激励下稳态响应对应的最优阻尼参数为：

表1给出了复刚度阻尼TMD减振结构的最优参数，作为对比同时还给出了黏滞阻尼体系的相应结果。

表1 简谐风振激励下TMD减振结构稳态响应优化参数Tab.1 Optim ization parameters of steady－state response of structure w ith TMD disturbed by harmonic excitation

从表1中可以看出：

（1）两种阻尼对应的最优频率比、定点处纵横坐标一致。

（2）两种阻尼对应的最优阻尼参数不同，而且二者计算公式中函数变化趋势也不同公式中分子部分是μ的一次多项式，而是二次的。

图2给出的是质量比为0.05、频率比f＝fopt、不同阻尼条件下主结构位移动力放大系数随输入频率比g的变化曲线，阻尼参数包括复刚度阻尼5种情况（η＝［0，ηa，ηopt，ηb，∞］）和最优黏滞阻尼参数。

从图2中可以看出：

（1）最优参数条件下，在g值小于第一定点ga的区域，采用复刚度阻尼的TMD减振结构的主结构位移

图2 简谐风振作用下主结构位移放大系数曲线Fig.2 The displacement amplification coefficient curve ofmain structure with harmonic wind excitation

放大系数小于采用黏滞阻尼的情况；在g值大于第二定点gb的区域，前者数值大于后者。因此在质量比等于0.05条件下，当激励频率小于主结构频率的89.7% （ga的数值）时，复刚度阻尼减振效果要优于黏滞阻尼；

（2）最优参数条件下，复刚度阻尼TMD减振结构位移放大系数曲线中最大值稍大于黏滞阻尼对应的结果，具体数值分别为6.49和6.41，前者比后者大1.25%。

4 简谐激励时定点处其他参数分析

如上所述，在f＝fopt、η＝ηa条件下，图2中TMD减振结构的主结构位移在定点a，b处相等，下面对两种阻尼对应的TMD减振结构中其他力学参数加以分析。

将fopt、ηa、ga代入式（5），可分别求得复刚度阻尼TMD减振结构中子结构的变形幅值、相位以及主结构的相位随质量比的变化关系。见图3，为便于对比，图3中同时给出了主结构位移幅值及黏滞阻尼对应的情况。从图3中可以看出：

（1）在定点处，两种阻尼对应的主、子结构的振幅和相位数值一致，在特定条件下两种阻尼可以获得完全相同的结果。

（2）子结构相对于主结构的位移随着质量比的增加而减小，但其幅值明显大于主结构的位移，这体现了所谓“动力吸振”的特点，以子结构的大幅度振动换得主结构振幅的降低；

图3 简谐风振作用下定点处主子结构振幅及相位随频率比的变化Fig.3 curves of amplitude and phase change with frequency ratio of structure with TMD disturbed by harmonic wind excitation

（3）主子结构的相位有明显的差异，当质量比为0.01和0.05时二者相位差分别为1.09和1.14，约为π／3，这体现了TMD的“调频”特点。

在f＝fopt、η＝ηa条件下，ga点对应的子结构最大复刚度阻尼力可按下式计算：

将表1中的相关公式代入式（16），经过化简后得βfηζ＝1，即在定点处两种阻尼对应的最大阻尼力也相等。

从上面的分析结果看，复刚度阻尼与黏滞阻尼在定点处的结果是一致的，二者对结构响应的影响相同。

5 平稳白噪声风振激励下的最优参数

图1所示的二自由度结构在平稳白噪声风振激励下的位移响应传递函数与式（5）具有相同的函数形式，主结构位移响应的传递函数可写为如下形式：

对主结构位移响应功率谱在频率域内积分可得其响应方差：

将A0（g）代入式（19）后运用留数定理可以得到式（19）理论解，但公式十分复杂。通过数值方法求得使响应方差取得最小值对应的最优阻尼比和频率比随质量比变化曲线，采用数值拟合的方法求得相应的最优参数经验公式如下表所示，为便于对比，表中同时给出了黏滞阻尼TMD减振结构的优化参数的理论公式［9，18］。

表2 平稳白噪声风振激励下稳态响应优化参数Tab.2 Optim ization param eters of steady-state response of structure w ith TMD disturbed by stationary white noise process excitation

图4给出了ζ0＝0.05时，TMD最优阻尼比、频率比、减振效果随质量比的变化曲线。从图4中可以看出：

（1）平稳白噪声激励下，无阻尼的主结构采用质量比大于0.04的最优参数TMD减振后，减震效果大于0，表明其变形幅值将小于阻尼比为5%的相应单自由度结构；

（2）复刚度阻尼TMD的减振效果略逊于黏滞阻尼，当质量比为0.05时，二者减振效果分别为9.9%和11%，减振效果相差1.2%。TMD应用于工程结构的风振控制时，质量比一般不超过0.05，从这个角度看，复刚度阻尼TMD看起来还是具有较好的应用前景；

（3）随机过程激励下，两种阻尼对应的最优频率比区别非常小，复刚度阻尼对应的最优频率比稍大于黏滞阻尼。

图4 平稳白噪声风振作用下最优参数及减振效果随质量比变化曲线Fig.4 Curves of optimization parameters and control effection change with mass ratio of structure with TMD disturbed by stationary white noise process excitation

6 达文波特风速谱作用下TMD减振结构的随机响应分析算例

平稳白噪声过程作用下结构的随机响应的TMD减振效果不受结构频率的影响，下面采用Davenport谱模拟脉动风速谱考察当主结构频率变化时对TMD减振效果的影响。Davenport谱采用文献［19］给出的形式：

式中：va10是10 m高处平均风速，本文算例中取13.89 m／s，常数c1取值600，κ时与地面状况有关的参数，按文献［19］中所列“市镇”状况取值0.03。在功率谱为Davenport谱的平稳随机过程作用下主结构位移响应的功率谱和响应方差的计算公式为：

图5 Davenport谱作用下主结构位移功率谱和减振效果Fig.5 Power spectrum and control affection ofmain structural displacement response of structure with TMD disturbed by stationary Davenport spectrum process excitation

图5（a）图给出的是复刚度阻尼和黏滞阻尼对应的TMD减振结构在主结构频率ω0＝［2π／1，2π／4.5］时的主结构位移传递函数模的平方和功率谱，TMD的参数中质量比0.05，阻尼比和频率比按表2中给出的最优参数取值。从图5（a）中可以看出：

（1）Davenport谱放大了低频区域的能量，主结构频率值越大，低频区域放大的程度越高。

（2）最优参数配置的复刚度阻尼和黏滞阻尼TMD结构中主结构的位移响应功率谱曲线在峰点处有一定差异，其他区域几乎是重合的。

图5（b）图给出的是复刚度阻尼和黏滞阻尼对应的TMD减振结构的减振效果随主结构频率ω0的变化曲线，横坐标从2π／5增加至2π／0.1，对应于周期从5 s减小到0.1 s。减振效果的定义同上节，即Davenport谱作用下TMD减振结构中主结构位移方差与相同条件下阻尼比为5%的单自由度结构方差响应的比值。从图5（b）中可以看出：

（1）复刚度阻尼TMD减振效果稍逊于黏滞阻尼的情况，当ω0＝2π／5时，减振效果分别为4.6%和5.1%。当ω0＝2π／0.1时，二者对应值分别为0.81% 和0.73%，效果较为接近。

（2）TMD减振结构的减振效果随着主结构频率的增加而降低。即对于高频结构，采用TMD的减振效果要明显弱于长周期结构。

（3）Dawenport谱作用下TMD的减振效果要弱于白噪声作用下的结果。

7 结 论

对复刚度阻尼在TMD减振体系中的应用进行了研究，推导了简谐风振激励下复刚度阻尼TMD的最优参数解析解，用数值拟合方法给出平稳白噪声激励下的优化参数公式，并对Dawenport谱作用下的主结构功率谱和方差响应进行了分析。得出如下结论：

（1）简谐风振作用下采用复刚度阻尼的TMD减振结构的最优频率比与采用黏滞阻尼时相同，在定点处的最大阻尼力和子结构振幅也一致。

（2）在简谐激励、平稳白噪声随机过程激励以及平稳Dawenport谱随机作用下，复刚度阻尼TMD的减振效果略小于黏滞阻尼，效果接近。

目前常规TMD大都采用线性黏滞阻尼，本文的研究工作初步表明复刚度阻尼在TMD结构风振控制方面可以取得与黏滞阻尼相近的效果，存在一定的应用价值。

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Optimal design for structures including TMDsw ith com p lex stiffness and dam ping under w ind loads

PENG Ling-yun1，KANG Ying-jie1，QIN Li2，HE Hao-xiang1

（1.Beijing Municipal Key Lab of Earthquake Engineering and Structural Retrofit，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China；2.School of Civil Engineering and Architecture，Hubei College of Arts and Science，Xiangyang 441053，China）

The study on the optimal design theory for vibration reduction structures with complex stiffness and damping is necessary.The dynamic equations for structures including tunedmass dampers（TMDs）with complex stiffness and damping were established.The method for determining their optimal frequency ratio and optimal damping ratio was presented based on the fixed point theory.The steady state responses of the such kind structures to harmonic excitation and stationary random excitation were analyzed，respectively.The theoretical formulas for the optimal damping and frequency were derived when the displacement amplitude minimization of the main structure was set as the optimal objective.The results showed that the overall vibration reduction effect of this kind of structures were close to that of structures with viscous damping，and the former is better in a certain frequency range with the same mass ratio.The random responses of this kind of structures under Davenportwind speed spectrum were analyzed.The results showed that the vibration reduction effect of TMDs with complex stiffness and damping is less than that under white noise excitation，the vibration reduction effect of the such kind structures is less than that of structures with viscous damping，but the difference is slight；so，if TMDs are applied in vibration control，adopting complex stiffness and damping is a profitable option.

complex stiffness and damping；TMD；steady state response；random vibration

TU352

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.005

国家自然科学基金资助（51008010）；国家自然科学基金资助（51208188）

2014－05－27 修改稿收到日期：2014－11－19

彭凌云男，博士，副研究员，1976年生