电－热－力载下BNNTs增强压电板的非线性动力响应

杨金花，张鹏君

（长沙理工大学土木与建筑学院，长沙 410114）

电－热－力载下BNNTs增强压电板的非线性动力响应

杨金花，张鹏君

（长沙理工大学土木与建筑学院，长沙 410114）

研究了电－热－力载荷作用下硼氮纳米管（BNNTs）增强压电板的非线性动力响应。运用板的非线性应变几何关系及考虑温度效应的压电理论，建立了BNNTs增强压电板的本构关系。通过变分推导出了结构的非线性动力控制方程。在空间上采用差分法离散，在时间上采用Newton-Newmark方法离散，整个问题采用迭代法进行求解。算例中，详细讨论了电压、温度、载荷、体积比以及外激励频率等因素对BNNTs增强压电板非线性动力响应的影响。

非线性动力响应；压电；板；BNNT；电－热－力载

硼氮纳米管（BNNT）具有类似于碳纳米管（CNT）的结构，有很好的力学性能，并且与CNT相比，BNNT具有更好的抗氧化能力及强的压电特性。另外，BNNT还具有稳定的半导体性能［1－2］。硼氮纳米管的这些性质使其似乎可以作为各种纳米级的电子和光子设备的替代材料。因此，BNNT越来越广泛地用作复合结构的加固组分。随着科技的发展，一种具有压电性质的新型智能纳米复合材料，即用压电材料作基体而BNNT作增强材料，吸引了科学界的兴趣。现有文献表明，对BNNTs增强压电结构的研究还很少，且大多讨论的是线性静力问题。因此，有必要对这种结构的非线性动力行为进行更广泛的研究。

目前大多数研究都局限于讨论无BNNT增强的压电结构的动力行为。随着微分求积（DQ）逐层建模技术的开发和实现，Zhang等［7］研究了多层压电复合材料板的自由振动。基于高阶剪切板弹性理论和压电理论，Mao等［8］分析了压电功能梯度板的非线性动态响应和主动振动控制。基于高阶剪切变形板理论，Fakhari等［9］使用有限元分析具有表面粘贴压电层的功能梯度板在热、电和力载条件下的非线性固有频率和频率响应。为了分析简支压电夹层板的自由振动，Benjeddou等［10］提出了一种二维封闭式的解法。Behjat等［11］使用不同的机电载荷下的有限元方法，进行了功能梯度压电板的非线性静态分析和自由振动分析。Larbi等［12］给出了压电复合结构振声问题的理论公式及有限元解。Xia等［1］研究了热环境下表面粘贴压电纤维增强复合材料板的非线性振动及动态响应。Dash等［14］分析了内埋或表面粘结压电层的复合材料层合板的非线性自由振动特性。Wang等［15］使用有限元模型，研究了压电复合材料板的负速度反馈控制的动力稳定。Liew等［16］使用一种有效的无网格方法，讨论了带压电传感器或驱动器的复合材料层合板的主动控制。Zhang等［17］提出了由1－3个纤维增强的压电复合层合板及正交复合层合板的结构振动控制分析方程。Yang等［18］研究了复合压电壳的动力不稳定性。Saviz等［19］给出了简支压电层合圆柱壳层的动力分析。Ying等［20］分析了压电厚壳在边界随机激发平面应变条件下的随机响应。D'Ottavio等［21］研究了内埋压电材料的多层壳的自由振动问题。以上研究中均没有考虑BNNT增强压电结构。

近年来出现了一些对于BNNTs增强压电结构静力屈曲问题的研究。Salehi-Khojin等［22］研究了电－热－力载下PVDF弹性介质中BNNT的屈曲问题，Mosallaie Barzoki等［23］研究了具有弹性核心的BNNTs增强的PVDF圆柱壳的扭转屈曲。在另一项研究中，Mosallaie Barzoki等［24］研究了BNNT增强内埋压电壳的非线性屈曲。使用基于非局部圆柱压电连续壳理论的虚位移原理，Ghorbanpour Arani等［25］讨论了电－热－力负荷条件下内埋弹性介质中双壁硼氮纳米管的轴向屈曲。到目前为止，BNNTs增强压电板的非线性动力研究尚未见报道。

出于这种考虑，本文我们研究电－热－力载下BNNTs增强压电板的非线性动力响应。空间上使用有限差分法，时间上采用Newton-Newmark方法，整个问题通过迭代求解。讨论了电压，温度，力载及体积比等对BNNTs增强压电板的非线性动力响应的影响。

1 基本方程

图1为一BNNTs增强压电板，板的长度为a，宽度为b，厚度为h，板的密度为ρ0。坐标系o－xyz置于板的中面（z＝0），压电板受有横向动载荷q，施加电压为V及温度升高ΔT。

图1 BNNTs增强压电板几何示意图Fig.1 Geometry of piezoelectric plate reinforced with BNNTs

下标（，）表示对坐标变量求偏导。

其非线性应变－位移关系可表示为

式中，εx，εy，εxy为壳中面上相应点的应变，κx，κy，κxy分别为壳中面上相应点的曲率和扭率改变量，且

对电－热－力载荷作用下的压电结构而言，本构关系可写为［23，29－30］

一般而言，鹏氮纳米管（BNNTs）有两种对称结构，即Z字形的和扶手椅形状的。Z字形管具有纵向压电响应，而扶手椅形管存在与扭转耦合的电偶极矩，因此本文采用前者。智能压电板由两种材料组成，基体材料为PVDF，增强材料为BNNTs，结构整体的材料常数可用'XY（或YX）［27－28］矩形模型计算得到，其表达式为

上标r，m分别指增强及基体材料，Vf为增强材料（BNNTs）在基体材料（PVDF）中所占的体积比。BNNTs增强压电板的总能量Π可写为

式中，K代表动能，U为应变能，Γ为外载所做的功。应变能为

考虑采用的是z字形结构的BNNTs，则有

运用瑞兹变分原理δΠ＝0，可得BNNTs增强压电板的非线性动力控制方程为

则电－热－力载下BNNTs增强压电板的无量纲动力控制方程可写为

2 求解方法

为了寻求满足初始条件（21）及边界条件（20）的非线性运动微分方程组（19）的解，我们将无量纲位移函数W，V，U在空间和时域内离散，以求其近似解。

在空间上采用差分法离散。对于线性项的处理，型如U，ξ，V，η，U，ξξ，W，ξ，W，ξξ，W，ξξξξ等各阶偏导数项，以W，ξξ为例，采用如下的差分格式：

对照差分格式，可容易的求得控制方程中其余各线性项的各阶偏导数的差分表达式。

在时间上将外载荷的作用时间τ等分为n等份，记每一等份为Δτ，整个问题采用迭代法求解。在任一迭代步j中，控制方程和定解条件中的非线性项被线性化，且写为如下的形式［31］

式中，（y）jp是前二次迭代值的均值。对于初始迭代步，可以应用二次外推法求解，即

对于不同的迭代步，系数Δ1，Δ2及Δ3可以分别取如下的数值：

对于三次非线性项的处理方法与二次非线性项的处理方法相同。

同时，采用Newmark方法，将控制方程中对时间变量的偏导数项如W，ττ在时间上离散。将外载荷的作用时间τ等分为n等份，记每一等份为Δτ＝τ／n，则在网格点j的加速度项W，ττ可表示为

经过差分处理和线性化以后，非线性微分控制方程由最初的偏微分方程组转化为差分格式的线性代数方程组。联立求解此方程组，对每一时间步采用迭代法求解，迭代过程持续到相邻两次所得计算结果的误差小于某一给定精度（本文为10－12），在第j步取得收敛解后，该迭代步终止，再进行第j+1步的计算。

3 数值计算与讨论

下面算例中讨论了电－热－力载下BNNTs增强压电板的非线性动力响应。压电板的四边简支，几何尺寸为a／h＝10，b／h＝10，压电板基体材料为PVDF，增强材料为BNNT，材料常数如表1所示。横向动载荷取为

式中，

为外激励幅值，ω为外激励频率（图6除外，各算例中ω＝1）。各图中垂直坐标W

0

为板的无量纲中心挠度，水平坐标τ为无量纲时间。

表1 材料常数Tab.1 Mechanical，electrical and thermal properties of PVDF and BNNT

电－热－力载荷下BNNT所占体积比Vf对板中点非线性动力响应的影响如图2（a）所示。本算例中，电压V＝25 v，温度ΔT＝50 K，外激励幅值＝0.1。从图中可看出随着BNNT在基体中所占体积比Vf的增加，板中点的动力响应幅值减小。这是因为体积比Vf的增加会使得结构的整体刚度变大，因而动力响应幅值会减小。另外，图2（b）还给出了当Vf＝0.6时本文的计算结果和用Ansys软件模拟分析的结果，此图中外激励幅值、电压、温度与图2（a）中的相同。从图2（b）可见，本文的计算结果与用Ansys模拟分析所得的结果吻合较好，说明本文的力学模型和分析方法是合理的。

图3给出了正负电压对不同体积比下BNNT增强压电板非线性动力响应的影响。图中温度ΔT＝0，外激励幅值＝0.1。从图中可看出在硼氮纳米管增强压电板两端施加负电压会使结构的响应幅值减小。这是由于施加负电压会使硼氮纳米管沿x方向极化，产生收缩，因而使得结构更加紧凑坚固，结构的刚度增大，故结构的非线性动力响应幅值减小。图中同时也给出了正电压对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响，从图中可看出，正电压会使BNNT增强压电板非线性动力响应幅值增大。另外，比较图3（a）、（b）可知，随着硼氮纳米管所占体积比Vf的增大，正电压对压电板非线性动力响应的影响要减弱，而负电压的影响要增强，图中难以看出此变化规律，为此将其列于表2所示。

图2 体积比Vf对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响Fig.2 Effect of volume fraction Vfon the nonlinear dynamic response of BNNT-reinforced piezoelectric plate

图3 电压对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响Fig.3 Effect of applied voltage on the nonlinear dynamic response of BNNT-reinforced piezoelectric plate

表2 电压对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响Tab.2 Effect of app lied voltage on the nonlinear dynam icresponse of BNNT-reinforced piezoelectric p late

温度对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响如图4所示。图中硼氮纳米管所占体积比Vf分别为0.6和0.8，电压V＝0，外激励幅值＝0.1。从图中可看出，压电板非线性动力响应幅值随着温度的升高而变大。另外，比较图3（a）与图3（b）可知，随着硼氮纳米管所占体积比Vf的增大，温度对压电板非线性动力响应的影响要减小（参见表3）。

图4 温度对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响Fig.4 Effect of temperature on the nonlinear dynamic response of BNNT-reinforced piezoelectric plate

表3 温度对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响Tab.3 Effect of tem perature on the nonlinear dynam ic response of BNNT-reinforced piezoelectric plate

图5给出了横向动载荷幅值对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响。图中体积比Vf＝0.6，温度ΔT＝50 K，电压V＝25 v。由图5可知，当压电板承受的外载荷幅值越大，其在振动过程中达到的幅值也越大。同样，比较图3（a）与图3（b）可知，荷载对压电板非线性动力响应的影响随着Vf的增大而减小（参见表4）。

表4 载荷对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响Tab.4 Effect ofmechanical load on the nonlinear dynam ic response of BNNT-reinforced piezoelectric plate

图5 外载荷对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响Fig.5 Effect ofmechanical load on the nonlinear dynamic response of BNNT-reinforced piezoelectric plate

图6给出了外激励频率对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响。图中体积比Vf＝0.6，温度ΔT＝50 K，电压V＝25 v，外激励幅值＝0.1。从图中可看出，压电板非线性动力响应幅值随着外激励频率ω的增加而减小。比较图3（a）与图3（b）可知，随着体积比Vf的增大，外激励频率对压电板非线性动力响应的影响也减小（参见表5）。

表5 外激励频率对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响Tab.5 Effect of external excitation frequency on the nonlinear dynam ic response of BNNT-reinforced piezoelectric p late

图6 外激励频率对BNNT增强压电板非线性动力响应的影响Fig.6 Effect of external excitation frequency on the nonlinear dynamic response of BNNT-reinforced piezoelectric plate

4 结 论

本文建立了电－热－力载荷作用下BNNTs增强压电板的非线性动力响应控制方程。研究结果表明电压、温度、荷载、体积比以及外激励频率等因素对BNNTs增强压电板非线性动力响应有着重要的影响。结果如下：

（1）在BNNTs两端施加正或负电压可使压电板非线性动力响应幅值增加或减小；

（2）BNNTs增强压电板非线性动力响应幅值随着外载荷及温度的增加而增大；随着外激励频率及硼氮纳米管所占体积比的增加而减小。

（3）随着硼氮纳米管所占体积比Vf的增大，正电压、温度、荷载以及外激励频率等因素对压电板非线性动力响应的影响会减小。

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Nonlinear dynam ic response of a piezoelectric p late reinforced w ith BNNTs under electro-thermo-mechanical loadings

YANG Jin-hua，ZHANG Peng-jun
（School of Civil Engineering and Architecture，Changsha University of Science＆Technology，Changsha 410114，China）

The nonlinear dynamic response of a piezoelectric plate reinforced with boron nitride nanotubes （BNNTs）under electro-thermo-mechanical loadings was studied.Using nonlinear strains based on the plate theory and the piezoelectric theory considering thermal effects，the constitutive relations of the piezoelectric plate reinforced with BNNTs were established.Then，the dynamic governing equations of the structure were derived with the variational principle.Using the differencemethod in space and Newton-Newmark method in time，thewhole problem was solved with the iteration method.In numerical examples，the effects of voltage，temperature，mechanical load，volume ratio and external excitation frequency on the nonlinear dynamic response of the piezoelectric plate reinforced with BNNTs were discussed.

nonlinear dynamic response；piezoelectric；plate；BNNT；electro-thermo-mechanical loadings

O341

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.026

国家自然科学基金（11102028）

2015－04－27 修改稿收到日期：2015－07－15

杨金花女，博士，副教授，1974年生