例析高中数学存在性问题与恒成立问题解法

石超仙

【摘要】高中数学中存在性问题与恒成立问题是高考考查的热点，重点，题目往往相似，解法却不尽相同，是学生学习的难点，是高三复习的易混点。一轮复习，在回归教材的基础上，通过例题分析和习题评讲教师在注重通性通法的同时，还要注意对典型题型有效归纳对比，一题多解，一题多变，培养学生思辨能力，让学生形成快，准，狠的破题解题能力，提升高三数学课堂复习的实效性。

【关键词】高中数学 问题 解析方法

【中图分类号】G633.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）02-0225-02

以下为笔者在课堂上就一道例题做的变式和推进：

例题：若函数f（x）=x2+2ax+3≥0在x∈[1，2]恒成立，求实数а的取值范围。（答案：）

解法一：直接讨论函数f（x）在[1，2]上的最小值，由f（x）min≥0求解；

解法二：通过将不等式x2+2ax+3≥0，分离变形为对x∈[1，2]恒成立，问题转化为a≥h（x）max，（其中

对该例题两种解法进行对比，实质都是求函数的最值，但显然解法二更容易些。接着教师可以再进行如下变式：

变式一：若函数f（x）=x2+2ax+3≥0（a≤0）在x∈[-1，2]上恒成立，求实数а的取值范围。（答案： ）

变式二：若函数f（x）=x2+2ax+3≥0在a∈[-1，2]上恒成立，求实数x的取值范围。（答案：x≤3或x≥-1）

变式三：已知不等式当时恒成立，求实数а的取值范围。（答案： ）

通过变式一，学生能更清晰的辨析分离参数法和函数最值法，以及适用前提，通过变式二，学生就能主动接受变更主元法了。通过变式三，学生更能体会函数图像法的精巧。

至此，教师可以布置以下一些题目给学生完成。

练习1. 已知，且atf（2t）+mf（t）≥0对t∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围为------------。（答案：m≥-1-a2）

练习2.已知函数若对于任意的x∈（0，+∞）都有求实数k的取值范围. （答案： ）

练习3.设函数为实数，已知 对任意a∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围. （答案：x≤0或 x≥2）

练习4. 若不等式，对于任意的 都成立，求实数a的取值范围。（答案： ）

接下来，教师还可以进一步推进，指导学生完成对恒成立与存在性问题题型归类整理。

（一）一个自变量的不等式恒成立与能成立，恰成立问题，转化为函数最值不等式关系以及不等式解集

例1.已知函数f（x）=8x2+16x-k，其中k为实数。

（1）若对使f（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围。（答案：k≤0 ）

（2）若使f（x0）≥0能成立，求实数k的取值范围。（答案：k ≤15 ）

（3）当x∈[-3，1]时，恰有f（x）≤0成立，求实数k的值。（答案：k=3 ）

方法总结：

，均有f（x）>A恒成立，则f（x）min>A；

均有f（x）

，有f（x0）>A能成立，则f（x）max>A；

有f（x0）

练习1.已知函数f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，其中k为实数。

（1）若对，f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围。（答案：k≤-7 ）

（2）若，有f（x0）≥g（x0）能成立，求实数k的取值范围。（答案：k≤45 ）

练习2.已知函数的定义域为（-∞，1]，求实数a的值。（答案： ）

（二）两个自变量的任意性与存在性问题之方程问题，转化为两个函数的值域关系

例题2.已知函数f（x）=2k2x+3k.x∈[0，1]，函数g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5.x∈[-1，0]，当k=2时，对任意的x1∈[0，1]，是否存在x2∈[-0，1]，使g（x2）=f（x1）成立？（答案：存在）

变式题1. 已知函数f（x）=2k2x+3k.x∈[0，1]，函数g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5.x∈[-1，0]，

（1）对任意的x1∈[0，1]，存在x2∈[-0，1]，使g（x2）=f（x1）成立，求实数k的取值范围。（答案： ）

（2）存在x1∈[0，1]，x2∈[-0，1]，使g（x2）=f（x1）成立，求实数k的取值范围。

（答案：）

方法总结：

，使f（x1）=g（x2）成立，则f（x）在D上的值域 在E上的值域。

，使f（x1）=g（x2）成立，则f（x）在D上的值域 在E上的值域。≠Φ。

此处最好用补集思想求解。

（三） 两个自变量的任意性与存在性问题之不等式问题，转化为两个函数的最值比较

例题3.已知函数f（x）=x2+2x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，其中k为实数。

（1）若对，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数k的取值范围。

此问等价于：x1，x2∈[-3，3]，f（x1）min≥g（x2）max。（答案：k≤-11）

（2）若对，不等式f（x1）≥g（x2）成立，求实数k的取值范围。

此问等价于：x1，x2∈[-3，3]，f（x1）min≥g（x2）max。（答案：k≤2 ）

（3）若，不等式f（x1）≥g（x2）成立，求实数k的取值范围。

此问等价于：x1，x2∈[-3，3]，f（x1）min≥g（x2）max。（答案：k≤36 ）

练习3.已知函数，其中m为实数，

（1）若对，都有f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围. （答案：）

（2）若，使f（x）≤g（x）成立，求实数m的取值范围. （答案：）

（3）若对，使f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围. （答案：m≥39）

（4）若对，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围. （答案：m≥3）

（5）若，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围. （答案：m≥-22）

（6）若对，方程f（x1）=g（x2）恒有解，求实数m的取值范围. （答案：-22≤m≤39）

（7）若对，总使方程f（x1）=g（x2）有解，求实数m的取值范围. （答案：3≤m≤14）

在教学初期，势必会有部分学生呈现出迷茫，困惑，混淆的状态，但是通过反复的分析，思考，辨析，内化，一段时间后，学生自然能有所领悟，进而全面分清。经过如上的归类与整理，帮助学生克服了心理恐惧，增强了思辨能力，優化了转化能力，提高了解题能力，同时也促进和升华了一轮函数复习，提升了高三数学复习的实效性。