数列单调性问题探究

☉辽宁省沈阳市教育研究院王恩宾

数列单调性问题探究

☉辽宁省沈阳市教育研究院王恩宾

这是一堂关于高三复习中数列问题的一个小的专题·该课对数列的单调性与函数的单调性进行了有机的结合，将二者的区别与联系进行了剖析·利用信息技术将数列的单调性和函数的单调性进行了形象的描绘，在此过程中数形结合思想得到了渗透·通过对问题不同解法的探求，开拓了学生的视野，发散了学生的思维·通过编写相似题型，激发了学生的学习潜力，拓宽了眼界，培养了创新能力和创新意识·

一、开场白

师：同学们好，前面已经复习了函数和数列的基础知识，对数列与函数有了比较深入的了解·数列和函数有着千丝万缕的联系，数列可以看作是一个函数，当自变量为正整数（或它的有限子集）时，自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值·因为从数列第二定义可以看出数列就是一列函数值，所以很多数列问题都可以借助函数的性质进行解答·

二、巩固基础

师：在前面给大家的导学案中给出了学生自主学习的内容，下面请各小组在小组内用2分钟时间交流、修正自主学习的问题，并请一名同学进行实物展示自主学习的第一个问题·

生1：我要展示的是自主学习部分的问题1·

问题1：数列的单调性的定义·

递增数列的定义：如果数列｛an｝满足an＜an+1，那么称数列｛an｝为递增数列；

递减数列的定义：如果数列｛an｝满足an＜an+1，那么称数列｛an｝为递减数列·

师：生1同学关于数列递增、递减的定义非常准确，但有时在证明数列的递增（或递减）时还经常应用an-1＜an（或an-1＞an），此时一定要注意n≥2，n∈N+这一前提条件，即证明后一定要验证n=1时结论是否成立，这是学生解题过程中经常出现错误的地方，一定要引起足够的重视·

生2：我要展示的是自主学习部分的问题2·

问题2：等差数列、等比数列的单调性·

数列单调性及其满足的条件递增数列，d＞0不增不减，d=0递减数列，d＜0等比数列递增数列，a1＞0，q＞1（或a1＜0，0＜q＜1）递减数列a1＞0，0＜q＜1（或a1＜0，q＞1）等差数列

师：该同学很好地将等差数列和等比数列这两个重要数列递增、递减的条件进行了整理，做的非常好·如果将等差数列、等比数列单调递增、递减的这些条件和结论通过图像的形式进行记忆，那么效果会更好·如图1所示，是老师作出的数列an=a1qn-1在a1＞1，q＞1时，条件、结论、图像三者有机结合的一个反映数列单调递增的图像·请同学们课后用GeoGebra软件将其他情况下数列增减性的图像作出来·

图1

三、源于教材

师：导学案上两个自主探究的问题都是选自教材上的问题，下面我们研究第一个问题·

问题3：（必修5P39）已知两个等差数列的公差不相等，但第5项相等，这两个等差数列中除了第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？为什么？

生3：设等差数列｛an｝，｛bn｝的公差分别为d1，d2，且d1≠d2，a5=b5·假设两个等差数列中除了第5项外，还有序号相同且数值相等的项，那么an=a5+（n-5）d1=bn=b5+（n-5）d2，得到d1=d2，与已知d1≠d2相矛盾·因此，两个等差数列中除了第5项外，没有其他序号相同且数值相等的项·

师：该同学利用反证法推导出等差数列不存在项数和项完全相同的情况，推理过程很严谨·还有没有同学用其他方法解答此问题？

生4：因为等差数列an=a1+（n-1）d1=d1n+（a1-d1）可以看作是自变量为正整数（或有限子集）的一次函数（或常数），当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以点（n，an）一定落在直线p：y=d1x+（a1-d1）上·

同理：点（n，bn）一定落在直线q：y=d2x+（a1-d2）上·因为两个数列｛an｝，｛bn｝具有相同的第5项，所以直线p，q有一个交点（5，a5）·因为两条直线在斜率不同的情况下最多只能有一个交点，不会有第二个交点，所以也不会存在这样的数列，除了第五项之外再有序号相同且数值相等的项·

师：该同学将等差数列的通项公式与一次函数图像有机地建立联系，将抽象的代数问题几何化，借助几何图形直观形象地对问题进行了阐述·虽然没有画图，但数形结合思想在解答中完美地得到了体现，值得鼓励·

师：自主探究中还要求探究问题4·

问题4：（必修5P48）已知两个等比数列的公比不相等，但第5项相等，这两个等比数列中除了第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？为什么？

生5：设等比数列｛an｝，｛bn｝的公比分别为q1，q2，且q1≠q2，a5=b5·假设两个等比数列中除了第5项外，还有序号相同且数值相等的项，那么an=a5·qn-51=bn=b5·qn-52，得到qn-51=qn-52，如果n-5为偶数，那么q1=-q2是符合要求的，与已知q1≠q2不矛盾·

因此，两个等比数列中除了第5项外，还有其他序号和数值均相等的项·

例如：等比数列an=2n-1，bn=（-2）n-1的奇数项相同，偶数项互为相反数·

师：图2所示的是给出的公比互为相反数的两个等比数列的图像的对照图·当公比为负数时，对应的数列为摆动数列，正负交替出现，图中三角形点、圆形点部分分别为的图像（注意三角形点和圆形点重合的点）·

图2

师：前面回顾了数列单调性的定义，下面用5分钟时间结合数列单调性的定义各小组给出教材上问题5的不同的解题思路和解题方法·

问题5：（必修5P28）若数列｛an｝的通项公式是an=是第几项？

生6：要判定数列项的最大值和最小值，可以先判定数列的变化规律，根据数列的变化规律再考虑数列的最大项和最小项·

师：该同学首先利用定义判定了数列的变化规律，再利用分离系数的方法确定数列各项的大小关系，推理过程严密·但是，此种方法运算的过程比较麻烦，对抽象思维的要求比较高，计算量较大，因此用此种方法很多同学还存在一些困难·除了用上面的方法确定数列项的大小外还可以用什么方法解答？

其次，在函数图像上作出数列的各个点（n，an）；

第三，根据函数图像数形结合就可以得到第10项最大，第9项最小·

图3

师：哪位同学还能提出不同的解题思路？

师：该同学的思路非常好，此种方法是将an=与过两点A（x，y），B（x，y）直线的斜率公式k=1122相对比可知，a相当于过两点M（n，n），N（

n）的直线的斜率，因此当n变化时，动态的M点与静态的N点形成的线段的斜率的最大值就是要求的an的最大值·从理论上看这种思考方法非常的好，但由于点M（n，n）都在直线y=x上，点N（虽然不在直线y=x上，但是相对的位置非常接近，所以用肉眼很难判定斜率的大小·如图4所示，即使用计算机作出的图形也无法判定斜率的不同·由于此题中点的特殊性，因此此题不适合用此方法·但是，如果N点不在M点所在的直线附近，那么此种方法可以采用，并且可以起到一目了然的作用·

图4

师：从上面三种解题方法看，请一个同学谈一下自己的体会·

生9：解决数列单调性问题可以从以下几方面考虑：

（1）首先想一想从哪些角度可以解决此问题，确定解决此问题的思路或方向·

（2）若从函数角度解决问题，则需要将数列问题抽象为函数问题，利用函数的图像和性质进行解题·

（3）因为数列和函数有很多可以相通的地方，所以数列问题可以借助函数进行解题，但数列并不是函数，因此要注意二者的区别·

师：该同学总结的非常好·

四、高于教材

师：刚才我们研究了教材上的习题，同学们有很多好的解答问题的方法·下面给大家几分钟的时间，请各个小组设计一个与问题5类似的试题，并说明设计思路·

生10：我们小组考虑改变两个常数为变化的数值，将问题从特殊变换成一般·

设计问题1：数列｛an｝的通项公式是λ∈N+，它的前n项中最大的项是第几项？最小的项是第几项？如图5所示的图像是我们借助GeoGebra软件制作的取不同值时的图像·

图5

生11：小组2的同学研究了分式函数上数列的单调性变化情况，常见的函数当然包括二次函数，因此我们设计的题目是针对二次函数进行设计·

设计问题2：数列｛an｝的通项公式是an=n2+2n，n∈N+，它的前n项中最大的项是第几项？最小的项是第几项？

师：两个小组的设计非常好，能够将常见的函数与数列进行有机的整合，为数列单调性问题的分类提供了依据·下面结合该小组同学的设想看下面的问题·

五、问题探究

问题6：若数列｛an｝的通项公式是an=n2+λn，｛an｝是单调递增数列，求实数λ的取值范围·

生12：因为数列｛an｝的通项公式是an=n2+λn，｛an｝是单调递增数列，所以an+1＞an，所以（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，所以λ＞-（2n+1）·因为-（2n+1）max=-3，所以λ＞-3·

师：该同学利用递增数列的定义建立关于n、λ的不等式，通过分离系数得到关于λ的恒成立不等式，因此λ只需大于-（2n+1）的最大值-3即可·

师：除了上面的解法还可以怎么考虑此问题？

生13：若将an=n2+λn看成关于二次函数，则此函数的图像是开口向上的抛物线，点（n，an）都是抛物线上的点·如果函数an=n2+λn的对称轴n=≤1，即λ≥-2时，根据二次函数图像的特点，都有an+1＞an，此时数列为递增数列·

师：该同学能够将an=n2+λn看成关于n的二次函数，并利用二次函数的图像和性质来研究数列的单调性，很好地在函数与数列之间建立起联系的桥梁，体现了数形结合思想·但是，考虑到了函数和图像间的联系，却忽略了函数与数列之间的区别·数列是一列特殊的函数值，因此数列的单调性既与函数的单调性有联系，又与函数的单调性有区别·

（1）如果函数an=n2+λn的n=1，即λ≥-2时，根据二次函数图像在对称轴右边单调的特点，都有an+1＞an，此时数列｛an｝为递增数列；

所以λ＜-2，且1+λ＜22+2λ，所以-3＜λ＜-2·

综上（1）（2）所述，实数λ的取值范围是λ＞-3·

六、巩固加深

师：利用上面研究问题的方法解答下面的问题·

问题7：已知数列｛an｝的通项公式是若｛an｝是单调递增数列，求实数λ的取值范围·

生14：因为｛an｝是单调递增数列，所以a以λ＜n（n+1）min=2，所以λ＜2·

师：该同学的方法思路简单，根据数列单调性的定义，很容易将数列递增的问题转化为不等式恒成立问题，再求参数的取值范围·下面请同学们利用函数的性质进行解答·

n

师：该同学解答问题的思路很好，能够将数列和函数联系在一起研究，但是该同学在思考问题时，人为地将λ的取值范围进行了缩小，造成解答问题不够全面的情况·因为实数λ的取值范围没有确定，所以对λ的取值情况要根据函数的不同情况进行分类讨论，再将各种情况进行合并，找到符合要求的λ的取值范围·下面请各小组将该问题的解答补充完整·

生16：根据老师刚才的提示，我们小组认为函数（fx）= x+为对号函数的条件是λ＞0，所以还要对λ＜0，λ=0两种不同情况进行思考·我们小组分三种情况进行讨论·

（2）当λ=0时，an=n为单调递增数列；

图6

综上（1）（2）（3）所述，｛an｝是单调递增数列时，实数λ的取值范围是λ＜2·

师：该同学的解法中，首先，将数列问题和函数问题结合在一起，利用函数思想解决数列问题；其次，利用分类讨论思想将对函数不同的情况进行了讨论；第三，实现了数列的单调递增与不等式组的等价转化·

七、举一反三

师：通过问题1～问题7的学习，复习、巩固、引申了数列单调性，对数列的单调性有了比较深入的理解·请各小组结合教材上与单调性有关的问题8提出自己小组设计试题的思路和想法·

（1）求证：an＞-2；

（2）数列｛an｝是递增数列还是递减数列？为什么？

师：该小组的同学能够利用信息技术手段研究数学问题，开辟了数学新的研究方式·数学已经不仅仅进行逻辑推理得出结论，数学已经变成了一个实验性的学科，将会有更多的数学结论通过实验被发现·此种思路很好，课后请同学们按照该小组提出的设计思路命制出符合要求的试题·

生18：我们小组考虑的是问题中给出的是分式函数，如果在此函数的基础上乘以一个x+a，那么函数将变成k（x）=（x+a）f（x）的形式，整理、换元后该函数k（x）是关于x的“对号函数”形式，并且含有参数a，这样就可以设计出下列问题·

师：该小组同学从另一角度思考了这一问题，通过一个简单的变形，将一个问题转化为另一问题，将前面研究的两个试题整合在一起，这种思考问题的方法可以大大地拓宽试题的设计思路，命制出更好的试题·

八、课堂小结

师：下面请各小组对本节课进行小结·

生19：复习巩固了数列单调性的定义，并能应用定义判断数列的单调性·

生20：能够将数列的单调性与函数的单调性进行整合，借助函数的单调性研究数列的单调性·

生21：利用信息化手段可以进行数学试验获得数学结论，探索获取新知识、新结论的方法·

生22：通过举一反三环节可以有效地培养创新意识和创新能力·

九、反思启发

什么样的课是好课？不同的人对好课的理解会有所不同·比如：华东师范大学教授叶澜认为：一堂好课没有绝对的标准，但有一些基本的要求·

（1）有意义：学生的学习首先是有意义的·初步的意义是他学到了新的知识；进一步是锻炼了他的能力；往前发展是在这个过程中有良好的、积极的情感体验，产生进一步学习的强烈要求；再发展一步，是他越来越会主动投入到学习中去·对于高三复习来说问题的选取要源于教材、高于教材，要将高考的要求与教材上的例题、习题有机地结合在一起·在本节课中几个试题的原型都来自于教材，因此从有意义的角度看，完全符合要求·

（2）有效率：一是对面上而言，这节课下来，对全班学生中的多少学生是有效的，包括好的、中间的、困难的，他们有多少效率；二是效率的高低·有的高一些，有的低一些，但如果没有效率或者只是对少数学生有效率，那么这节课都不能算是比较好的课·从这个意义上讲，这节课应该是充实的课·整个学习过程，有课前的复习总结、有课上的展示发言、有问题的拓展引申、有课后的完善，课上、课下大家都有事情干，通过教师的点评，学生都能从中获得启迪，整个课堂的容量很大·

（3）生成性：本节课不完全是预先设计好的，而是在课堂中有教师和学生真实的、情感的、智慧的、思维和能力的投入，有互动的过程，气氛相当活跃·在本节课中，既有资源的生成，又有过程状态的生成，既研究试题本身的变化，又研究试题所反映出的本质特点，学会对试题进行归类，这样的课可称为丰实的课·

（4）常态性：平时的教学离不开教材，善于对教材上的试题进行总结、分类、合并、变形是教学的常态，本节课就很好地反映了这一点·

（5）有待完善：本节课还有需要完善的地方，特别是在短时间内研究了这么多的问题，即使学生课前有所研究，但时间上还是显得比较紧张·只要是真实的课就会有缺憾，课不能十全十美，十全十美的课造假的可能性最大，有缺憾是真实的一个指标，笔者喜欢上这样的课·生活中的课本来就是有待完善，这样的课称之为真实的课·扎实、充实、平实、真实，说起来好像很容易，真正做起来却很难，但正是在这样的一个追求过程中，教师的专业水平才能提高，心胸才能博大起来，同时也才能真正享受到：“教学的过程是一个创造性的过程，也是欢乐和智慧的体验过程”·F