新课程理念下的数学概念教学实施与思考
2015-05-08江苏省海门中学张婕
☉江苏省海门中学张婕
新课程理念下的数学概念教学实施与思考
☉江苏省海门中学张婕
数学概念教学课是数学教学最本质、最根本的部分，它长久以来一直是数学教学的基本·中科院院士王元对于数学概念早有这样的认知：数学，说到底就是玩概念，很多数学问题在初等阶段解决起来非常烦琐甚至根本解决不了，但是随着数学概念的深入和发展，到了更高层次，这些问题根本谈不上是问题，所以数学说到底就是学习概念！举一个例子：初中的学生对于函数的认知是非常浅薄的，又受限于解决问题工具的局限性，所以对于很多函数是无法认知和解决的，到了高中系统地学习了函数概念之后，回头看初中数学中的函数（主要是一次函数、二次函数、反比例函数等），才觉得这些函数仅仅是一小部分，随着指数函数、对数函数、幂函数等的学习，加之复合函数的引进，函数越来越丰富·到了高中后期，学习了导数概念及其相关性质，我们发现前面所学的基本初等函数又不过云云，更复杂的函数问题也可以在导数这个工具的运用下得到轻松的解决·
笔者引用上述主要想说明数学概念的重要性，数学概念教学如何才能深入人心和高效、有效才是概念教学的关键·从我们数学优良的传统双基教学来看，概念教学不可谓不扎实，其中将概念的内涵和外延教授得非常扎实一直是双基教学的特点和传统，笔者认为可以将这些优良的部分继续传承下去，另一方面新课程力主践行学生自主通过探索，在头脑中建立起所学知识的数学概念雏形，进而完善概念自身建立的能力，这正是传统概念教学所缺失的·笔者认为，将传统启发式在概念教学中进行合理的引导有助于课堂教学效率的提高，将积极探索、主动建构的新课程理念在概念教学中有效实施有助于概念在学生脑海中深深扎根，
两者的有机整合有利于数学概念教学的完美融合·本文以立体几何中“直线与平面垂直”内容为相关课例，谈谈笔者自身对新课程下数学概念教学的实施和一些思考，与大家交流·
一、课题引入
师：从前阶段对直线和平面的位置关系的学习，我们知道了两者之间存在三种不同的位置关系·
生：是平行、包含和相交·
师：对，直线和平面的平行我们已经做了比较深入的研究，从中总结了相关的判断方式和性质定理，请同学们回顾一下·
（请学生回顾，并将相关定理进行板书，这是化归思想的体现）
师：本节课将从直线和平面的另一种位置关系——相交入手研究，并且首先研究其中的一种特殊情形——直线和平面垂直，同学们想一想，生活中有哪些给你线面相交的直观感觉呢？能否举例？
生：有很多！升国旗时，旗杆与地面是相交的；种在地面上的树和地面是相交的；路灯杆子和地面是相交的；电扇杆子和天花板是相交的等·
（教师给出投影，将学生所描述的情形给予直观感受）
师：我们将地面、墙面等抽象为平面，将树、杆子、旗杆等抽象成为直线，今天我们要研究的正是直线和平面相交的位置关系，首先研究它们最特殊的情形，即垂直关系·
二、建构雏形
师：请同学们利用手边的文具进行自我感知·
（学生自我感知直线与平面垂直·如：摆放笔与本子）
师：请同学给我们举个具体的实例·
生：圆锥·圆锥的轴和底面感觉是垂直的，其母线与底面感觉是不垂直的·
师：好，请同学思考：我们应该如何定义直线与平面的垂直？线面平行是如何实现判断的？
（引导学生利用类比思想，将垂直关系引导到线面平行关系的判断解决中）
生：还没有完全想象清楚·
师：那好，请看看我利用几何画板给出的分析（展示圆锥形成的过程，通过动态变化思考轴与底面内直线的关系）·
（轴SO与这个平面垂直）
生：轴SO不动时，使垂直于SO的直线OC运动起来时，我发现平转OC形成了一个平面·所以轴SO垂直于底面内过点O的所有直线·
师：为什么平面内的其他直线与轴SO也是垂直的？
（停顿思考）
生：这个可以通过异面直线所成角知道，将直线平移过来就可以解决了·
师：通过直观感受，同学们可以清楚地认知这样的结论，请甲同学总结下·
甲生：任意直线可以平移经过点O，SO垂直于底面内的所有直线·
意图：教师引导下的，积极探索、主动建构概念的雏形·
三、形成定义
师：通过演示和同学们自主的工具演示，我们发现这种垂直其实并非偶然，那么这种并非偶然的背后存在着怎样的必然呢？甲同学帮我们总结了，这里的轴SO垂直于底面内的所有直线，因此轴SO垂直于这些所有直线所在的平面·
图1
（形成定义，并板书）
定义：若直线a与平面α内的任意一条直线均垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作a⊥α·（如图1所示，P为垂足，a为垂线，α为垂面）
师：对线面垂直的概念了解之后，我们来看看概念的延伸，你是否真正读懂了概念？概念中有个关键的词语，你能找出来吗？
生：任意·
师：好，请看定义辨析·
（给出3个定义辨析，加强学生对数学概念的理解）
①若一个平面内的无数条直线垂直于平面外的一条直线，那么这个平面就与这条直线垂直·
②若一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线·
③若一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的无数条直线·
对①分析无数条与任意一条的区别·（指出反例中的无数条平行直线与平面外的直线垂直可以转化为其中一条直线与平面外的直线垂直，原因是异面直线所成的角相等）
师：一般来说定义都有两个方面（两重性）·从两个方面来认识定义（充要条件）·
四、探索判定
师：有了这个定义，我们就可以知道直线和平面的关系是否是垂直的了·大家试想：用定义如何去判定线面垂直呢？是不是要一条一条直线去判定？
生：显然不可能·我觉得和线面平行比较类似，定义是一种理想化的抽象，用于实际判定必须找到一个新的方式、方法，类似于线面平行的判定定理·
师：请同学想一想，用手中的笔去试试，要判定线面垂直需要使用平面中的几条直线呢？
（学生开始尝试）
生：通过尝试，我发现只需要两条直线就可以判定·
师：这两条直线位于平面内任意位置都可以吗？
生：我用铅笔搭建了一下，发现这两条直线是相交的才可以·
师：好！那么这位同学到底说的对不对呢？老师设计了实验，请同学们试试·
（辨别得到相交直线的过程，可以要求学生摆出反例模型进行说明）
（教师准备实验操作（折纸实验）：准备一张白纸，随后将白纸进行折叠，得到折痕AD，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上·引导学生分析后得到结论：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面）
图2
师：我们把这个结论叫做直线和平面垂直的判定定理，事实上在几何中除了公理，其他的定理都是要求严格证明的·现在新课程对于同学们定理证明的要求降低了，新课改后很多定理不要求证明了，只要求先进行直观的感知·比如这里，这个定理的证明方法较多，留给大家课后查阅相关资料思考·老师相信同学们有能力把它解决掉·
（引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳）
师：直线和平面垂直的判定定理即：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b=A⇒l⊥α；图形语言：（略）·用关键语句可以说：线不在多两条就行，位置关系相交就灵·
五、定理运用
例题：已知：a∥b，a⊥α·求证：b⊥α·
（由学生上黑板板演并分析求证过程）
生1：在平面α内作任意一条直线m，因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知：a⊥m·又因为b∥a，所以b⊥m·又因为m是平面α内任意一条直线，所以b⊥ α·
生2：在平面α内作两条相交直线m、n，因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n·又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n·又因为m⊂α，n⊂α，m、n是两条相交直线，所以b⊥α·
图3
设计说明：设计目的是让学生对定理的初步使用有一定的感受，加深学生对定理的理解·
六、反演辨析
师：对于判定定理，我们都有了一定的了解，若将上述例题中的条件和结论进行对换，请同学们思考这个结论正确与否，即：若b⊥α，a⊥α，则a∥b·
考虑到证明并不是重点，因此采用投影的方式给予学生课后思考和探索·分析直接证明较困难，采用反证法·（板书）
证明：设b不平行于a，设b∩α=O，b′是经过点O与直线a平行的直线·直线b与b′确定平面β，设α∩β=c·因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c·又因为b′∥a，所以b′⊥c·因此在平面内经过直线c上同一点，就有两条直线b和b′与c垂直，显然不可能·因此a∥b·
师：这个命题的已知条件为线面垂直（线面关系），结论为线线平行（线线关系），我们把这个命题叫做直线与平面垂直的性质定理·
思考：通过实例引导学生认识线面“垂直”，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题·类比研究线面平行的方法，通过圆锥的动画演示来使学生理性认识线面垂直与线线垂直的关系，以及线面垂直存在的必然性·通过展示实例，多媒体演示，使学生感受l与平面内任意一条直线都垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义·通过直观感知、操作确认，从两个角度“相交”“两垂直”认识归纳出线面垂直的判定定理，运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题·完成两个例题的研究，由学生根据定理的内容进行判定·按照研究数学问题的一般模式，给出性质定理的猜想，并通过分析引导学生给予证明·最后对本节课进行总结，从知识和方法两个层面认识线面垂直·
总之，从案例实施和案例分析，我们可以看出教师是将启发式教学孕育在新课程理念中，既通过合理的数学实验设计、折纸等将学生带进动手操作的地步，又引导学生积极自主探索、合理建构线面垂直的定义形成和判断定理的成形，并为性质定理的出现做出了合理的设计铺垫，正所谓数学概念教学比较完善地融合了启发式教学与新课程理念，既发扬了传统教学的优势也渗透了新课程提倡的探索、建构的理念·恳请读者做出指正·
图4
1·罗成·谈数学概念教学的挖掘和运用［J］·中国数学教育，2013（2）·
2·沈先礼·数学概念教学的实践与思考［J］·中小学数学（高中版），2011（12）·
3·展国培·有效教学，从关注学生开始［J］·中小学数学（高中），2013（1）·A
