把握知识关联问题求解自然——函数视角下数列问题的合理解答

☉江苏省丹阳市第五中学 王圣光

把握知识关联问题求解自然
——函数视角下数列问题的合理解答

☉江苏省丹阳市第五中学 王圣光

函数思想是高中数学中几大重要数学思想之一，其贯穿于整个高中数学始终，数列问题也不例外，数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，…，n｝上的函数，当自变量从小到大依次取值时，所得的函数值就构成一个数列.函数所具有的性质，如单调性、周期性、对称性等在某些数列中同样具有，如数列的通项公式an=f（n）（n∈N*），实质上就是函数的解析表达式，等差数列是定义在正整数集上的一次函数或常数函数；非常数等差数列的前n项和实际上是定义在正整数集上的二次函数，因此，可借助二次函数的性质和特点，解决其前n项和及其最值问题；非常数等比数列首项和公比均大于零时，可看成是定义在正整数集上的指数函数等.本文以2014年高考中的一道数列问题为例，就函数思想在数列问题中的应用展开探究.

题目（2014年高考重庆理科卷）设a1=1，an+1=

（1）若b=1，求a2，a3及数列｛an｝的通项公式.

（2）若b=-1，问：是否存在实数c，使得a2n＜c＜a2n+1对所有n∈N*成立？证明你的结论.

由题设条件知（an+1-1）2=（an-1）2+1.

从而｛（an-1）2｝是首项为0、公差为1的等差数列，故

下面用数学归纳法证明命题a2n＜c＜a2n+1＜1.

假设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1.

易知f（x）在（-∞，1］上为减函数，从而c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，即1＞c＞a2k+2＞a2.

由f（x）在（-∞，1］上为减函数，得c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，故c＜a2k+3＜1，因此a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即当n=k+ 1时结论成立.

评析：本题解答中根据数列的特殊结构，构造出特殊的函数，进而将问题顺利解答.函数的观点，赋予了数列新的生命与活力，拓宽了数列的研究空间和生长点，因此，解答具体数列问题时，如果能够站在函数的角度，高屋建瓴，充分利用函数的观点来求解，则别有天地.

变化一、用函数的周期性，诠释数列的递变规律

例1已知数列｛an｝满足则a20=（）.

解析：由a1=0，据递推关系得…，呈规律性出现.

又20=3×6+2，所以a20=-√3.答案为B.

评析：本题通过对数列各项规律的探求，使得所隐含的周期性关系由“幕后”走到“前台”，这样在大大简化解题过程的同时，也可以使学生进一步巩固函数的性质，可谓“一石二鸟”，对提升学生解决综合问题的思维能力大有裨益.

变化二、利用函数的单调性，灵活处理数列最值

例2（2013年高考新课标Ⅱ理科）等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．

评析：本题考查等差数列的前n项和公式，以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，通过寻找单调数列的条件，将问题转化归结为函数最值问题，再利用导数法判断函数的单调性，求出最小值.

变化三、以二次函数为背景，展现数列的对称性

例3Sn为等差数列｛an｝的前n项和，a1＜0，S9=S12，当Sn最小时，n的值为_________.

因为a1＜0，所以由二次函数的性质可知时Sn最小.

又n∈N，故n=10或11时Sn取得最小值.

解法2：因为S9=S12，所以Sn的图像所在抛物线的对称轴为直线

又n∈N*，a1＜0，所以｛an｝的前10项或前11项和最小.

评析：由于等差数列的前n项和公式是特殊的二次函数，具有对称性，可以利用其解题.以上两种方法都是运用了二次函数的图像和性质，得到正确答案.

变化四、以函数知识为背景，提示数列本质

例4（2014年高考四川）设等差数列｛an｝的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）＝2x的图像上（n∈N*）．

（1）若a1＝-2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图像上，求数列｛an｝的前n项和Sn；

（2）若a1＝1，函数f（x）的图像在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为

（2）函数f（x）＝2x在点（a2，b2）处的切线方程为y-2a2＝（2a2ln2）（x-a2），其在x轴上的截距为

所以d＝a2-a1＝1.

从而an＝n，bn＝2n.

评析：在近几年的高考题目中，以函数为背景的数列问题屡见不鲜，这种题目难度较大，故一直承担着把关题的重任，解题中不应受知识本身的局限，要善于将所学知识横向关联，从数学的思想与方法中去寻求通性、通法，抓住问题的本质，实现知识的正迁移，在思维碰撞中寻求解题思路，即可将问题准确解答.A