对“不等式的基本事实和基本性质”的教学探讨

☉江苏省西亭高级中学 王小亮

对“不等式的基本事实和基本性质”的教学探讨

☉江苏省西亭高级中学 王小亮

一、引言

章建跃老师在文1中指出“大家都知道等式、不等式的基本性质‘是什么’，但为什么把它们称为‘基本性质’？为什么要研究它们？特别是，如何才能让学生自己发现这些性质？课堂观察发现，很少有老师把这些纳入教学视野，实际上也鲜有老师去思考这些问题.”对“把‘能用基本性质解决问题’作为目标”的做法，章老师认为“这样的教学缺乏必要的数学思想，是‘无根’的教学，学生学到的是没有生长力的知识，‘学会思考’更是奢望.”此数言振聋发聩！笔者扪心自问，虽然对章老师的某些发问做过一些粗浅思考，但“五十步笑百步”不可能得到安慰，更不该“感觉良好”！笔者愿意把欠下的“功课”补上，于是有了下面一些思考.

二、探讨

对“不等式的基本事实和基本性质”这节内容，选取“数学逻辑的连贯性和数学思想方法的一致性”、学习和研究的“基本套路”、问题解决的“出发点”这三个话题展开一些探讨.

1.从“数学逻辑的连贯性和数学思想方法的一致性”角度分析

“不等式的基本事实和基本性质”在高中数学课程出现了两次（有重复之嫌）：必修5和选修4-5.本文以人教A版教材为载体.

（1）先从“数学逻辑的连贯性”角度分析.

数学是研究数量关系和空间形式的科学，不等关系是数量关系的重要而基本的形式，具有大量丰富的实际背景，故不等式成为数学研究的对象是必然、自然的事；进而，确立研究的范围和出发点，就像公理寓之于欧式几何形式系统，实数的大小关系的“基本事实”成为不等式研究的“公理”；又如公理推演定理，从“基本事实”出发便可得“基本性质”；最后，“基本事实和基本性质”成为解决不等式问题的基本依据和出发点.

（2）再看“数学思想方法的一致性”.

不等式的“基本事实”用符号语言表示为：a＞b⇔ab＞0；a=b⇔a-b=0；a＜b⇔a-b＜0.

实质上是将两个实数的大小比较等价转化为它们的差与0的大小比较，或者是差的判号（正数、负数），其中关键是“作差”，是“运算”.

而不等式的6条基本性质中的（3）～（6）分别就是从加法、乘法、乘方、开方4种运算角度提出和建立的，正如章建跃老师在文1中所说：“不等式的基本性质保证了‘运算中的不变性’.所以，称它们为‘基本性质’当之无愧，它们根源于运算，体现了运算中的不变性.”

所以，如教材（人教A版选修4-5P3）边框提示语“研究实数的关系时联系数的运算，是一种基本的数学思想”所表达的，“运算”就是贯穿于不等式基本事实和基本性质构建过程、保持良好前后一致性的数学思想方法.

另外，从更大的视野看，因为“代数的根源在于代数运算”，不等式作为代数系统中的一员，将运算作为它的研究的指导思想，自然很好地体现了“数学思想方法的一致性”.

2.在“基本套路”操作层面上思考

对“不等式的基本事实和基本性质”，可从研究整体思路的“基本套路”和研究具体方法的“基本套路”两个层次来探讨.

文2认为：“每面对一个数学新对象，如果都能引导学生按‘背景—定义—表示—分类—（代数）运算、（几何）性质—联系’的线索展开学习，那么经过长期熏陶，前述数学教育的根本目标就能得到真正落实.”一方面，将不等式作为数学对象，可以按这个“基本套路”展开研究，“不等式的基本事实和基本性质”作为“子对象”，也可以此为线索展开学习.

对基本事实，它是不证自明的结论，是人们在长期实践活动中通过大量反复的操作、观察、抽象、概括得到的.但教学处理却不宜直接抛出，为便于学生更好地感受、理解和接受它，教师有必要给一定的时间，让学生从具体的实数大小的比较体验、验证它，确信它的正确性，如3＞2⇔3-2=1＞0；3＞-2⇔3-（-2）=5＞0；-3＞-4⇔-3-（-4）=7＞0等.另一方面，要重视自然语言的叙述，不等式一般是符号语言，相对抽象，自然语言表述有助于对不等式和字母代数式等的认识更深刻.

也正是对基本事实从自然语言表述中认识到，对基本性质的证明，不单只是基本事实，还需要依赖“正数”、“负数”、“相反数”等概念和“两正数之和（积）为正数”、“两负数之和（积）为负（正）”等实数运算结论作为依据.如证明“对称性”的前半部分“如果a＞b，那么b＜a”，因为a＞b，由基本事实知a-b＞0，所以a-b的相反数是负数，即b-a＜0；又由基本事实有b＜a.从中看出两次用到基本事实和一次相反数概念.

基本事实可以用来证明基本性质，但很难从基本事实发现和提出基本性质，这就需要对不等式基本性质的发现和提出寻找合适的“脚手架”，下面是人教A版教科书提供的逻辑图，它就是数学研究方法“基本套路”的图式，如图1.

图1

用这个“基本套路”，我们就可以从横向和纵向两个方向发现和提出问题，具体地说，相等关系和不等关系是数量关系的两类基本形式，前者是学生相对熟悉的，从而以等式的基本性质为类比对象，对不等式提出一系列开放命题，自然包括不等式基本性质，这也是教材用“探究”形式提出的研究思路；当然，也可以考虑“字母问题数字化”，即先从具体、特殊的数之间的大小不等关系出发，观察、归纳得出结论.相对来说，与等式基本性质类比要方便经济的多，结构、体系更好，更利于从整体上获得感受和启发.不过，对那些记不住结论、容易犯忽略前提条件的学生，让他们学会用“特殊化”验证、判断也还是很有用的.

在“背景—定义—表示—分类—（代数）运算、（几何）性质—联系”这一套路中，主要谈谈在“联系”这一环节上的思考.

首先，基本事实和基本性质之间的联系.前面主要分析的是“用基本事实证明基本性质”.必修5教材说“可以证明”，选修4-5“请同学们尝试证明”，但都没有给出证明.那么在实际教与学中，真正用基本事实逐一证明每条基本性质的老师占多少？学生主动证明的有多少？说实话，这是心里很没底的问法.拿笔者自己来说，多次教学该内容，也只是这次因狠下决心要补上以前欠下的“功课”才逐条给出了证明.最大的感受是：口头说说和动手做做原来是很不一样的.要学生去证，教师最好先证；而且实践出真知.笔者想起张奠宙先生最爱举的例子“对顶角相等”定理，直观感知与推理论证在价值和意义上是有差距的，这也许是章建跃老师批评“把‘能用基本性质解决问题’作为目标”的原因之一：功利短视，缺乏思想方法支撑，实际上也是缺乏“理性精神”的价值取向的表现！不等式基本性质中的“对称性”和“传递性”，确实是非常直观、易于接受认可，它们就像“对顶角定理”一样，不难，但在基本思想方法熏陶、理性精神启蒙上的作用却份量不轻！

其次，6条基本性质之间的联系应从运算角度统一为一个整体，然后以由简到繁、由低级到高级（运算）展开为宜.需要指出的是，教材必修5将同向不等式的可加性和可乘性作为性质5、6似乎欠妥，可能主要是出于使用它们方便的原故，而不是从逻辑角度考量；选修4-5将这两条作为基本性质的推论，而不是作为基本性质本身这一做法笔者以为更恰当，更能体现“基本”二字！

再次，对“联系”的思考，可把触角伸向不等式内部系统的一些角落，用基本事实和基本性质发展更多“下线”、证明其他一些重要不等式，如均值不等式、柯西不等式等，具体尝试放在后面“出发点”再展开.

最后，将“联系”由不等式拓宽到函数领域，特别是函数的单调性这一特殊视角.我们发现，对基本性质可以有新的解读：基本性质第（3）（4）两条与一次函数单调性挂钩；（5）（6）与幂函数单调性联系.各条基本性质，条件视为自变量大小比较，结论视为对应函数值大小，具体讨论单调性时除了“定义法”外，还可考虑“导数法”，这对（5）（6）限制前提条件“正数范围”会有更好的理解，对改变条件，调整结论会有更深的认识.这种“新视角看旧问题”对教师来说是需要的，对学有余力的学生也是可以尝试的.

3.将“基本事实和基本性质”作为问题解决的出发点

教材反复提到“基本事实是研究不等关系的一个出发点”、“基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.”教材的编写确实也努力体现这一基本思想，如在不等式的证明方法介绍中将“比较法”（出发点即是基本事实）作为最基本的方法；对基本不等式，特别是三元均值不等式给出作差“比较法”证明（需要一定的因式分解技巧）.下面笔者从不等式系统、函数与方程的联系两个方面，选取三个典型案例，对用不等式基本事实和基本性质作为问题解决“出发点”进行探讨.

案例1证明柯西不等式.

笔者曾在文3中指出：“观察上式，若从分解展开入手，则‘路漫漫不知其修远兮’”，实则是自己思考努力不够.教材采用“构造二次函数（a1，a2，…，an不全为零），通过配方，利用判别式推导出结果”，确实彰显了“数学的和谐之美、奇异之趣”，但分解真的是“路漫漫不知其修远兮”吗？作为反思，笔者从不等式基本事实、计数原理出发得到以下三点新的认识.

（1）从基本事实出发：要证（*）式，只需证“左-右≥0”即可.

（2）由计数原理和排列组合知识知，左边展开共n2项，每项结构是（i，j=1，2，…，n）；右边展开项的结构有两种形式，n个（i=1，2，…，n）和（i，j=1，2，…，n）.

（3）由（1）（2）知，左右两边作差消去相同的n个a2ib2i（i=1，2，…，n）；左边还剩n2-n=n（n-1）个a2ib2j（i，j=1，2，…，n且i≠j），正好与右边的n）“配对”，即得到个“完全平方差”，所以左-右=

至此，可以看出笔者以前的“想当然”实在是一种“偷懒”、“浅思”、“无思”的表现，教材“直接展开比较麻烦”的说法也不足取，它往往使得师生“望而却步”，胆怯者连尝试的勇气都没有了，这与课程目标“形成契而不舍的钻研精神和科学态度”、“形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神”相去甚远！笔者本人就是一个很好的反面例子！

案例2函数单调性与不等式.

函数单调性定义就是用不等式语言形式化定义的，譬如对单调递增，我们先尝试用文字语言表述：自变量大的函数值也大；再写出形式化定义：∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么函数f（x）在区间D上是增函数.用定义证明单调性就是典型的“从不等式的基本事实出发”.

奇偶函数在对称区间上的单调性的证明需用到不等式基本性质（4）.

对两个单调函数的和、差、积、商来讨论函数的单调性，则更是以不等式基本性质作为出发点的好例子.

问题1：函数y=f（x）、y=g（x）在区间D上单调递增（或递减），试讨论下列函数的单调性.

（1）y=f（x）+g（x）；（2）y=f（x）-g（x）；（3）y=f（x）·g（x）.

分析：对（1）可以用基本性质的可加性证明；对（3）学生最容易误认“两个增函数之积仍是增函数”为真命题，实质上是由于对不等式可乘性前提条件“正数范围”的认识不足造成的；对（2）则可举反例否定，从另一侧面认识不等式性质.

案例3方程根的讨论.

问题2：若方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个大于1的实根，求实数k的取值范围.

分析：仅从不等式角度讨论.设方程两个实根分别为x1，x2，将题中条件直译为不等式组典型错误是认为①与等价.从不等式基本性质考虑，可以发现①只是②的充分而不必要条件，与①“货真价实”等价的应是对大家熟悉的从函数（图像）建立不等式（组）的方法就不再讨论了.

三、结束语

数学中不知还有许多重要而基本的东西，也或多或少地“没纳入教学视野”、“鲜去思考”，这实在是让人“汗颜”、“良心难安”！笔者通过这次“亡羊补牢”的“功课”补还，对加强“四基”教学有了更深切的感受，特别是提高了对“基本思想方法应当是整个数学教学的主线”（史宁中教授语）的认识；“数学思想方法的力量无限，它蕴含于数学知识中，需要用心挖掘，应成为数学教与学的根、手和船”，让我们成为教学的有心人，大家多努力！

1.章建跃.数学思想方法的力量［J］.中小学数学（高中），2013（10）.

2.章建跃.逻辑的连贯性和思想方法的一致性［J］.中小学数学（高中），2013（6）.

3.方厚良.配方法的三个“经典”［J］.中小学数学（高中），2013（5）.F