始于“数”“形”并举探究解题方法

☉江苏省石庄高级中学 祝林娟

始于“数”“形”并举探究解题方法

☉江苏省石庄高级中学 祝林娟

数学学习进入到高中阶段之后，对于学生的要求发生了质的改变.在以往的学习过程当中，学生的学习重心都放在对于具体数学知识点的关注与把握之上，而在高中数学学习当中，则要求学生在熟练掌握知识内容的同时，从中提炼出解决相应问题的思想方法，并将其应用于整个类型的问题探究当中.在众多数学思想方法中，数形结合可谓是适用最为广泛与灵活的.它主要是通过打通数字与图形之间的联系，使二者相互辅助、彼此依托，有效降低解题难度.本文将通过对高考试题的分析来阐述数形结合的应用.

一、数形结合在直线与圆中的运用

解析几何中，由于坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相转化，在已知公共点的个数求未知数的取值范围时，则往往将曲线化为熟悉的形式，然后利用数形结合的思想进行求解.

例1（2014年全国卷Ⅱ理科第16题）（1）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是_________.

（2）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_________.

分析：（1）本题是与三角函数相结合的题型，同时再结合图像分析解决.

（2）可结合图像分析要求直线l的斜率，则临界值是直线l和圆相切的位置.

解：（1）建立三角不等式，利用两点间的距离公式找到x0的取值范围.如图1，过点M作圆O的切线，切点为N，连接ON，M点的纵坐标为1，MN与圆O相切于点N.设∠OMN=θ，则θ≥

图1

又M（x0，1），则x0≤1，即x0的取值范围是［-1，1］.

（2）由图2可以看出，（x-2）2+y2= 1所表示的是一个圆，且该圆的圆心为B（2，0），半径为1.想要让直线l符合题目中的要求，可先将直线l的斜率的取值范围设为［k1，k2］，将之表示为y=k（x-4）.又因d=r，则，故所求斜率的取值范围应该为

图2

点评：解决上述问题都是结合图像进行分析的，能够将圆的位置关系清晰地反映出来.

例2（2014年江西卷理科第9题）在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（）.

分析：涉及直线与圆的位置关系时，应多考虑圆的性质，利用平面几何知识直观求解.

解：如图3，以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x+y-4=0相切，所以由平面几何知识知圆C的直径的最小值为点O到直线2x+y-4=0的距离，此时因此，圆C面积的最小值为

图3

点评：本题考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力；仔细琢磨、分析，动圆C的圆心的轨迹是一条抛物线，其中O为顶点，直线2x+y-4=0为准线；此时也就不难理解为什么原点O到直线2x+y-4=0的距离为直径的最小值，设计独特，用心良苦，试题具有很高的