读懂教材之意，体验理念之真——记“圆锥曲线的统一定义”教学的心路历程

☉江苏省苏州市陆慕高级中学袁卫刚

读懂教材之意，体验理念之真
——记“圆锥曲线的统一定义”教学的心路历程

☉江苏省苏州市陆慕高级中学袁卫刚

2014年12月上旬，笔者所在学校与苏州市其他兄弟学校联合举行了一次课例展示活动，笔者有幸开设了一节“圆锥曲线的统一定义”课.在研究教材、研究学情的基础上反复打磨，在不断思考和实践中三次改进，逐步完善.整个历程使笔者感触很深，自己对教材的理解和把握，对教学设计的认识在这个过程中有了许多提升.现结合改进前后的教学设计和部分教学实录，来谈谈自己的一些思考，敬请同行指正.

苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1“2.5圆锥曲线的统一定义”是在学生学习完必修2“平面解析几何初步”中椭圆、双曲线和抛物线的标准方程和几何性质之后的内容.通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系，并能应用这个性质解决具体问题.所以笔者在第一次备课的时候，按照“回忆—观察—发现—应用”的顺序推进.

一、初始设计

（1）复习抛物线的概念——到一个定点的距离与到一定直线的距离相等的点的轨迹，也就是说这两个距离的比值为1，是一个定值.

（2）通过观察几何画板的演示，发现平面内到一个定点F（-3，0）的距离和到一条定直线l：x=3的距离的比等于和2的动点P的轨迹分别是椭圆和双曲线.

（3）通过回忆椭圆的标准方程的推导过程，曾得到过这样一个方程将其变形为让学生解释这个方程的几何意义，紧接着得出圆锥曲线的统一定义.然后给出椭圆（a＞b＞0）的两条准线方程，通过验证这一性质，再发现椭圆通过类比给出双曲线的两类准线方程.

（4）通过例题的讲解，对获得的新知加以巩固、辨析及应用.

【思考】这样的教学设计，学生对整个知识是能理解的，对知识的获得是能接受的.但是，笔者仔细回忆听其他老师上课时的感受，发现课堂中概念的生成显得不是很自然，只是看到老师在用几何画板演示，最后给出了两个图形，就说一个是椭圆，另一个是双曲线.这在本质上还是老师所给予的.再者，在回忆椭圆的标准方程的推导过程这个环节上，学生由于普遍对前面所学的内容有所遗忘，而且这个推导过程在得出标准方程之后就没怎么用过，所以得出时学生普遍感觉陌生，式子给出感觉突然，这其实也还是老师给予了这个发现.

二、注重知识的生成与发展

波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其内在规律、性质和联系”.所以为了能让学生更自然地得到新的概念，能够参与到概念的发生和发展的过程中去，笔者决定按照“设问—尝试—论证—探究”的顺序推进下去.

试上片断如下所示.

问题1：前面我们学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义，请同学们回顾叙述.

平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹是椭圆；平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|的正数）的点的轨迹是双曲线；平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点P的轨迹是抛物线.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.圆锥曲线能不能有一个统一的定义呢？

抛物线上的点P到定点F的距离与到定直线l的距离相等，也就是说距离的比等于1.当点P到定点F的距离与到定直线l的距离的比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？

【设计意图】通过复习椭圆、双曲线、抛物线的定义，比较它们之间的差别（抛物线只有一个定点，外加一条定直线，而且距离相等），联想考虑圆锥曲线是否有一个统一的定义.

问题2：平面内到一个定点F（-3，0）的距离和到一条定直线l：x=3的距离的比等于或2的动点P的轨迹是什么呢？

【设计意图】通过学生自主探究，让他们去猜想这个轨迹的图形特征，老师通过几何画板帮助学生猜想，得到大概图形为椭圆和双曲线.

师：如何来证明所得图形就是椭圆呢？

学生在思考中发现这个图形不关于原点对称.

问题3：在平面直角坐标系中，是否存在一定点和定直线，使椭圆上任一点P（x，y）到定点的距离和到一条定直线的距离的比是一个定值？

学生猜想：定点为焦点.

师追问：有两个焦点，以其中一个F2为定点，那么定直线呢？比值是什么呢？

问题4：如何表示|PF2|？求|PF2|的最大值与最小值.

|PF2也就是说|PF2|只与P点的横坐标x有关.

【设计意图】通过复习所学曲线的概念，尝试找到一个统一的定义.再通过一组问题串，引导学生探究出问题中的定直线与定值，对前面的猜想作出解释.然后得出椭圆的第二定义，再类比得出双曲线的定义，和抛物线的定义统称为圆锥曲线的统一定义，再利用例题进一步巩固.

【思考】这样的设计所提出的问题是前一段时间经常训练的问题——动点到定点的距离的最值问题.学生通过利用前面所学的处理问题的方法：消元，化简，配方，能顺利且自然地探究得到椭圆（双曲线）的定直线（准线），也可以得到解决曲线上一点到焦点的距离的常用思想方法——化斜为直，也感受到了解析几何中利用代数运算发现并证明几何性质的过程，体现了解析几何的精髓，为后续处理定点、定值问题提供了范例.

通过实际操作，发现仍有很多方面存在问题.学生在给出具体实例探究图形的时候几乎无从下手，找不到符合要求的点，以至于自己得不到对图像的感性认识，这部分同学只能停下手中的笔等待老师用几何画板来演示.实质上这些同学没有能够参与到知识的生成中来，还有一部分同学干脆直接求出点所满足的轨迹，其中有的同学由于感觉运算比较复杂而停止了.只有少部分同学得出了等式，但是最后还是没有得到是椭圆这个结论.学生在处理比值是2这个问题时基本都无暇顾及，形同虚设.还有听课同事提出来：把“满足到定点的距离与到定直线的距离之比的点的轨迹问题”反过来问成：“是否存在定点、定直线，使椭圆上任一点到定点的距离与到定直线的距离之比是定值”，思维跳跃性比较大，学生不理解为什么要解决这个问题，该问题与原问题有何联系，这时，不理解的同学也没有参与进来.

三、注重学生参与知识的建构

根据建构主义学习理论，学习者只有通过对自己经验的解释，才能建构自己最真实的理解；学习者只有通过广泛的思考交流，才能创建具有自主意识的新知识.学生是认知的主体，是认知结构的主动建构者，在课堂教学中应以学生为中心，教师是认知结构建构过程的组织者、指导者、促进者.所以笔者决定再次修改，以“预设—活动—演示—引申”为顺序进行.

借班试上片断如下所示.

（继续之前的复习回顾、创设问题情境）通过复习椭圆、双曲线、抛物线的定义，比较之间的差别（抛物线只有一个定点，外加一条定直线，而且距离相等），引出问题.

问题：平面内点F到直线l的距离为6，动点P到定点F的距离和到一条定直线l的距离的比等于，则动点P的轨迹是什么呢？

学生最先探究出满足要求的点在一过点F的横线上（如图），继续发现两点在过点F的竖线上，由直角三角形三边为3、4、5得出两点，通过尝试总结出了找符合要求的点的规律，先确定要找点的横坐标，以确定到直线的距离，再找到定点F的距离符合要求的点.这样同学们容易猜想出轨迹为一个椭圆.

然后教师因势利导，利用学生发现点的规律，通过几何画板描出点的轨迹.

接着，借助比值的变化，发现比值是大于1的数时轨迹变为双曲线，比值越大张口越大，比值小于1时比值越小得到的椭圆越“圆”，让学生把这个比值与前面学过的离心率取得联系，为后面猜想定值做好铺垫.

紧接着，老师提问：得到的曲线真是椭圆吗？你如何加以证明？

生：建立坐标系！

师：如何建立适当的坐标系得到椭圆的标准方程呢？

生：焦点！

师：那好，我们选择两个焦点中的一个F2（c，0），那么定直线又在哪里？比值是多少呢？

学生猜想：由曲线的对称性，定直线要与x轴垂直，可设为x=m；比值应该是

师：那我们来尝试一下.我们如何表示出椭圆上任一点P到点F2（c，0）的距离？

接着，通过对称性得到与焦点相对应的准线，以及焦点在y轴上时标准方程相对应的准线，学生自主类比得到双曲线的准线，最后逐步完善得到圆锥曲线的统一定义，再通过例题加以应用巩固.

【思考】这样的设计相比之前，学生的参与度已比较高了，整个探究的过程也比较自然顺畅，学生也在描点操作和探究过程中体会到了化斜为直的思想，经历了从特殊到一般的探究过程.在此过程中，学生对概念的运用价值有了一定的认识，在自主探究的过程中也充分利用了自己前面所学的知识，为以后学生处理相关问题起到了示范作用，也激起了学生主动发现问题、解决问题的欲望，培养了自主学习能力.

但是在建立坐标系的时候，还是有一些同学想到了和抛物线一样的坐标系，即以F（-3，0）和l：x=3来求轨迹方程，说明部分学生乐于利用代数方法在求点的轨迹方面去探究.老师的预设是为了能顺利地把学生引入到自己预设好的环节上来，这样的设计有可能限制了部分学生的思维，不能完全调动那些学生的主观能动性，没有以学生为主体开展教学.学生已经能通过所学知识来求出轨迹，为何不能让他们自由发挥呢？

四、注重学生个性差异发展

布鲁纳（J.S.Bruner）认为数学对象的表征有活动性表征、图像性表征、符号性表征，解析几何问题往往会有多元表征，而由于学生个体偏好差异，和对前面所学的知识的接受程度的差异，以致于学生有可能用不同的方法来解决问题.教师应对学生个体的差异化进行差别化设计，在学生自身的最近发展区基础上因势利导，让每一个同学都感受到解决问题的愉悦.通过同学展示自己探究出的成果，让同学们从不同的方法中进行比较，使自己的方法更加优化；对数学对象的多元表征在多方面进行比较以逐步适应各种表征形式，使自己的思维更加开阔.所以最后决定以“疑惑—探究—展示—提炼”展开最后的教学.

教学实录如下所示.

（复习和问题情境环节保持不变，提出具体问题还是给出坐标系和点坐标）

问题：平面内到一个定点F（-3，0）的距离和到一条定直线l：x=3的距离的比等于的动点P的轨迹是什么呢？

学生活动：网格纸已给出点的坐标，有部分学生还是利用描点.学生探究完之后，用实物投影仪投出导学案，并自己作出解释.

生1：我先发现（-1，0）、（-9，0），因为这两点都在x轴上，此时的距离都可用水平的线段来表示.后来发现了（-3，3）、（-3，-3），这两点到点F的距离可以利用两条竖直线段来表示，再发现（-7，3）、（-7，-3），因为有直角三角形三边为3、4、5，得到斜线段为5.

师：还能作出其他点吗？

生1：不太好作，不过可以先确定这点的横坐标，再以点F为圆心作以为半径的圆就能确定这点了.

师：好！我们利用几何画板帮助生1完成这个工作吧！

老师用电脑演示，学生猜想出轨迹为椭圆，再把比值变化一下看出轨迹，从椭圆变到抛物线、双曲线.

师：怎么证明你所得的图形就是椭圆呢？生2，你是怎么做的？

生2：我直接解出了轨迹方程，但不知道表示什么图形.

经过全班同学合作，把生2得到的方程（x+3）2+y2=展开、化简、配方整理，得到

师：也就是说，这个椭圆上的点到F（-3，0）与到一条定直线l：x=3的距离的比为.若椭圆的中心在坐标原点，椭圆上的点仍应有这样的性质，那么，此时这个点、这条直线在哪里呢？

生2：我知道了，是椭圆！只要把坐标系适当调整就能得到标准方程了，而且这个点F就是椭圆的焦点！

【设计意图】通过逐步引导学生平移图形，最终让学生明白，对于标准椭圆，其上的点到一个定点与到一条定直线的距离之比是小于1的常数，接下来继续探究这个定点与定直线.

师：好，这样就把生1的疑问解决了！在一般情况下，在椭圆的标准方程中，这个点F是哪个，这条直线是哪条，这个比值是多少？

生：从上面的方程可得到点F也为焦点.

师：接下来怎么处理呢？

生：可以先表示出曲线上任一点P到点F2（c，0）的距离，可化简成我们在前面处理过曲线上的动点到焦点的最大值和最小值问题，当时就发现了，就是不知道它原来还是一个性质.

师：所以以后处理点到焦点的距离可以转化为到这一直线的距离了，是吧？

师：我们还可以得到双曲线也有类似的性质！抛物线有吗？

【设计意图】通过学生自主发现逐步得到圆锥曲线的统一定义，并通过类比完成课本上的表格，使知识更具有系统性，最后通过例题巩固所学新知，整个过程比较流畅.

一节好课与教师周密的教学设计是分不开的.教师还要努力提升自己的教学理论，通过反复的思考总结调整，使自己所上的课能更加符合教学规律，能更加注意任务的呈现方式，关注学生的参与程度，更能从学生个体认知水平出发，使每一个学生都能有所收获，都能感受到学习的快乐.本节课通过三次修改，分别关注了知识的生成与发展，使之更加自然流畅，又针对学生能真正主动参与而修改设计，调整了任务给出的形式，也关注了学生个体的认知水平，让他们自由探究展示成果，注重了学生个体的发展．最终整个课堂更加灵动、本真.

1.黄荣金，李业平.数学课堂教学研究［M］.上海：上海教育出版社，2010.A