直线与圆锥曲线交汇问题的合理解答

2015-05-05江苏省南京市高淳高级中学顾忠华

中学数学杂志 2015年1期

☉江苏省南京市高淳高级中学顾忠华

直线与圆锥曲线交汇问题的合理解答

☉江苏省南京市高淳高级中学顾忠华

圆锥曲线问题历来是全国各省市高考的主干考点.其中直线与圆锥曲线交汇问题是常考题型之一，此类问题能有效考查圆锥曲线的性质、重要公式的应用及解析几何中的设而不求思想、数形结合思想、化归与转化思想，符合考试大纲中“对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础”的要求.下面就此类问题的解答提几点建议，供考生参考.

一、设而不求，通性通法

对于直线与圆锥曲线的综合问题，处理问题的常用方法是：设出直线与曲线的交点的坐标，直线方程与曲线方程联立，代入消元，化为只含一个变量的一元二次方程，利用判别式及根与系数的关系，得出两坐标之和、之积与斜率的关系，进而运用整体表示弦长、焦点三角形的面积等.

（1）求E的方程；

（2）设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

（2）当l⊥x轴时不合题意，故可设l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

评注：该题是以椭圆为载体的解析几何综合题，将化归与转化思想、分类讨论思想、计算能力等进行了有效的考查.本题中“坐标法”“代入消元法”“判别式法”“根与系数的关系”等思想方法的应用得以充分体现.求出面积表达式后，观察结构，运用基本不等式求出最大值.求最值的过程，需要考生有较强的变形、配凑能力，因此要加强基本不等式灵活应用方面的训练.

二、代点作差，整体替换

直线与圆锥曲线相交问题中常涉及求弦斜率、中点、垂直平分线、求轨迹等情况.题目中涉及的交点、中点等问题，若直接求点的坐标，计算量将会很大.“点差法”是通过设相交的两点的坐标，带入到方程再作差，求出斜率并利用点求出方程，巧妙地降低计算量，具体的题目中需根据给出条件，灵活地运用“点差法”.

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=-2.

又9=c2=a2-b2，解得b2=9，a2=18，所以椭圆方程为

三、追根溯源，回归定义

解析几何以运算烦琐著称，在解题时充分挖掘题目中图形的几何性质，适时地巧用定义，探求最佳的解题方法，开发最佳思路，寻求解题规律，可起到化繁为简、事半功倍的效果.

例3过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线分别交于A、B两点（A在x轴上方），则

解析：如图1，过点A、B作准线的垂线AC、BD，过点B作AC的垂线BE.由抛物线的定义知AC=AF，BF=BD.又AE=AC-CE，CE=BD，所以AE=AF-BF.在△ABE中，因为∠AFx=60°，所以所以∠ABE=30°，所以

评注：用圆锥曲线定义求解的问题往往与焦点或准线有关，通过定义往往可以相互转化.对于椭圆和双曲线可以通过定义把到左焦点的距离和到右焦点的距离相互转化，对于抛物线可以通过定义把到焦点的距离和到准线的距离相互转化，于是就有了“看到左焦点，想想右焦点，看到准线想焦点，看到焦点想准线”之类的口诀.通过定义的应用，再利用数形结合思想，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解，有事半功倍之效.

四、借助平几，化繁为简

解析几何综合题以其推理和运算的复杂性让许多考生望而却步，成为学生数学高考成败的关键.能不能有效地避开一些繁难的运算，一直是解决解析几何问题时最为关注的焦点.众所周知，解析几何是用代数方法研究几何问题的学科，其本质还是几何问题，如果我们能注重挖掘圆锥曲线的几何性质，还原其几何面目，往往会产生巧妙的解法.

例4在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于

（1）求动点P的轨迹方程.

（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M、N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

解析：（1）x2+3y2=4（x≠±1）.（过程略）

（2）解法1：如图2，设点P的坐标为（x0，y0），点M、N的坐标分别为（3，yM）、（3，yN），则直线AP的方程为（x+1），直线BP的方程为