高考圆锥曲线试题中挥之不去的切线“情结”

2015-05-05浙江省杭州师范大学附属中学苏立标

中学数学杂志 2015年1期

☉浙江省杭州师范大学附属中学苏立标

☉浙江省杭州师范大学附属中学苏立标

近几年的高考试题中对圆锥曲线的切线问题的考查已经不再是“羞答答的玫瑰静悄俏地开”，而是逐步受到命题者的青睐，而且不断地加大考查的力度，成为命题者情有独钟的切线“情结”，所以我们有必要对高考试题中圆锥曲线的切线问题进行梳理，以便理清高考复习的思路.

一、一道试题的探究

（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问：这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

所以直线QG与椭圆只有一个公共点.

“记录在纸上的思想就如同某人留在沙上的脚印，我们也许能看到他走过的路径，但若想知道他在路上看见了什么东西，就必须用我们自己的眼睛.”德国哲学家叔本华的这番话从某种意义上也道出了探究学习的重要性，对于一些典型的高考试题，教师应积极地引导学生进行探究性学习，这样有利于深化学生对数学知识和方法的理性认识，促进其创造性思维能力的发展，从而充分发挥学生的智能和潜能，所以我们对问题进行如下推广探究：

推广1：设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆b＞0）上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A（0，a），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，则直线QG是椭圆C的切线（与椭圆C有唯一的公共点）.

推广2：设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为双曲线（a＞0，b＞0）上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A（0，a），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，则直线QG是双曲线C的切线（与双曲线C有唯一的公共点）.

证明：由题意知，AD的方程为x0x-ay+a2=0，所以则QG的直线方程为x0y0x-

推广3：设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C：b＞0）上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A（0，a），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，过点Q作椭圆C的切线QG交x轴于点G，则点G为点D关于y轴的对称点.

证明：由题意知，AD的方程为x0x-ay+a2=0，所以则QG的直线方程为得到所以点G是点D关于y轴的对称点.

推广4：设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆b＞0）上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A（0，a），连接AE，过点Q作椭圆C的切线QG交x轴于点G，若点G是点D关于y轴的对称点，则直线AD与AE垂直.

二、高考试题中切线问题

1.证明切线问题

例2（2012年安徽省高考）已知点F1（-c，0）、F2（c， 0）分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，经过F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线于点Q.证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点（即直线PQ是椭圆C的切线）.

2.考查切线的几何性质

图1

（1）已知直线l的斜率为k，用a、b、k表示点P的坐标；

（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a-b.

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

解析：（Ⅰ）因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8，即|AF1|+|F1B|+ |AF2|+|BF2|=8，而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a，所以4a=8⇒a=1⇒b2=a2-c2=3，故所求椭圆方程为由于对任意m，k恒成立，所以联立解得x1=1.故存在定点M（1，0），符合题意.