新型转动惯量实验装置的研制与应用

刘 五 祥

(同济大学 航空航天与力学学院， 上海 200092)



新型转动惯量实验装置的研制与应用

刘 五 祥

(同济大学 航空航天与力学学院， 上海 200092)

介绍了一种新型转动惯量实验装置的工作原理、性能和实验结果。该实验装置由转动惯量实验仪、霍尔感应器和多功能计时计数毫秒仪组成。应用霍尔传感器结合多功能计时计数毫秒仪自动记录刚体在一定转动力矩作用下，转过π角位移时刻，测定刚体转动时的角加速度和刚体的转动惯量。与原有测量装置相比，可消除较大部分系统误差和偶然误差，使数据接近真值、测量方便、重复性好、节省时间、效率高。实验结果也表明，所研制的实验装置具有较好的实验性和可靠性。

转动惯量； 霍尔感应器； 多功能计时计数毫秒仪； 刚体

0 引 言

刚体的转动惯量是日常生活和工程问题中普遍存在的一个问题，所涉及的相关因素也较多(如物体材质、质量分布、绕轴运动等等)。因此，在理论力学的课程学习中，转动惯量是个比较抽象而又难于理解的内容[1-2]。正确测定物体的转动惯量对于了解物体转动规律、机械设计制造有着非常重要的意义。然而在实际工程中，大多数物体的几何形状都不是规则的，难以直接用理论公式算出其转动惯量，只能借助于实验方法来实现。因此，在工程技术中，用实验的方法来测量物体的转动惯量就十分重要了。于华等[3]利用转动惯量实验仪和电脑计时、计速仪来测量数据，用转动定律和平行移动轴定理推导新的线性方程，再用方程中的自变量和变量关系进行画图，成一条斜直线，从而间接地验证了转动定律和平行移轴定理成立，计算出转动惯量的大小。刘伟[4]通过实验测得质量(m)和时间(t)，作m-l/t2的曲线图，得到一直线，则由实验结果证明转动定律成立，且可由斜率求得转动惯量。邓锂强[5]利用实验室现有仪器，对刚体转动惯量实验仪进行改装，并提出新的实验原理，可以对阻力矩进行修正，并利用该实验装置测量刚体转动惯量。万志龙[6]以三线摆测量刚体转动惯量实验为例系统地讨论了不确定度，并给出了计算方法；分析了不确定的来源，并提出了改进措施。张勇等[7]利用刚体绕定轴转动的动能定理，在建立了单轴气浮台绕定轴转动的转动惯量与时间关系的基础上，提出了一种基于单轴气浮台利用能量衰减测量物体转动惯量的新方法。通过理论推导得出了测量物体转动惯量的实验计算式，并进行了实验验证。李化义等[8]研究了扭振法转动惯量测量仪,其不需要测量幅值,根据振荡周期就能给出高精度的转动惯量计算结果，介绍了它的工作原理,并且详细分析了测量系统的误差,给出了相邻周期误差的估计公式。李刚常等[9]分析了三线摆扭振系统质心偏移对转动惯量测试的影响,给出了扭振系统质心与三线摆中心轴对齐的判别准则和用三线摆测定物体对非质心轴转动惯量的工程实用方法。庞学霞等[10]在用恒力矩转动法测量刚体转动惯量的实验中,分析了细线直径对刚体所受恒力矩的影响,并给出了实验误差允许的细线直径范围。刘巍等[11]针对空气阻力以及机构阻力对于转动惯量测量精度的影响,结合双目视觉与复摆运动理论,提出一种基于双目视觉理论的转动惯量测量方法。毕江林等[12]研究了三线摆法测量刚体转动惯量的误差影响因素并对误差的来源和原因进行了分析，在此基础上对实验操作提出了一些改进的方法，以提高实验的精度。欧阳锡城[13]以刚体转动惯量的测量实验为例，比较3种常见的数据处理方法的优缺点，为相关人员选择最佳的实验数据处理方法提供借鉴。刘超等[14]通过对惯性积张量及各分量的测量进行讨论,对扭摆法测转动惯量的测量误差进行了评估。唐军杰等[15]给出了一个变转动惯量刚体模型，用数值方法研究了在恒力矩作用下变转动惯量刚体的定轴转动问题。

本文介绍的刚体转动惯量实验仪，应用霍尔开关传感器结合计时计数多功能毫秒仪自动记录刚体在一定转矩作用下，转过π角位移的时刻，测定刚体转动时的角加速度和刚体的转动惯量。

1 实验装置设计

1.1 实验装置结构

实验装置如图1所示。

1.2 实验装置工作原理

(1) 转动力矩、转动惯量和角加速度的关系。整个系统以及砝码的受力如图2所示，系统在外力矩作用下的运动方程为：

(1)

由牛顿第二定律，可知砝码下落时的运动方程为：

mg-T=ma

即绳子的张力，

砝码与系统脱离后的运动方程：

Mμ=Jβ1

(2)

1-滑轮,2-滑轮高度和方向调节组件,3-挂线,4-铝质圆盘形载物台,5-加力矩砝码,6-塔轮上的绕线,7-绕线塔轮组,8-磁钢，相对霍尔开关传感器时，传感器输出低电平,9-霍尔开关传感器，红线接毫秒仪+5V接线柱，黑线接GND接线柱，黄线接INPUT接线柱,10-传感器固定架，装有磁钢，可任意放置于铁质底盘上,11-实验样品水平调节旋钮,12-毫秒仪次数预置拔码开关，可预设1～64次,13-次数显示，00为开始计数、计时,14-时间显示，与次数相对应，时间为开始计时的累计时间,15-计时结束后，次数+1查阅键，查阅对应次数的时间,16-毫秒仪复位键，测量前和重新测量时可按该键,17-+5V电源接线柱,18-电源GND(地)接线柱,19-INPUT输入接线柱, 20-输入低电平指示,21-计时结束后，次数-1查阅键，查阅对应次数的时间

图1 实验装置结构图

图2 受力分析图

由方程(1)和(2)可得：

(3)

(2) 角速度的测量。

(4)

若在t1、t2时刻测得角位移θ1、θ2，则：

(5)

(6)

所以，由方程(5)和(6)可得：

(7)

(3) 转动惯量J的理论公式。

① 设圆形试件，质量均匀分布，总质量为M，其对中心轴的转动惯量为J，外径为D1，内径为D2，则：

(8)

② 平行轴定理。设转动体系的转动惯量为J0，当有M1的部分质量原理转轴平行移动d的距离后，则体系的转动惯量为：

(9)

2 实验步骤

2.1 实验准备

在桌面上放置IM-2转动惯量实验仪，利用基座上的3颗调平螺钉将仪器调平。将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直。通用电脑计时器上光电门的开关应接通，另一路断开作备用。当用于本实验时，建议设置1个光电脉冲记数1次，1次测量记录约20组数。

2.2 测量并计算实验台的转动惯量

(1) 放置仪器，滑轮置于实验台外3～4 cm处，调节仪器水平。设置毫秒仪计数次数。

(2) 连接传感器与计数计时毫秒仪，调节霍尔开关与磁钢间距为0.4～0.6 cm，转离磁钢，复位毫秒仪，转动到磁钢与霍尔开关相对时，毫秒仪低电平指示灯亮，开始计时和计数。

(3) 将质量m=100 g砝码的一端打结，沿塔轮上开的细缝塞入，并整齐地绕于半径为r的塔轮。

(4) 调节滑轮的方向和高度，使挂线与绕线塔轮相切，挂线与绕线轮的中间呈水平。

(5) 释放砝码，砝码在重力作用下带动转动体系做加速度转动。

(6) 计数计时毫秒仪自动记录系统从0π开始作1π，2π，…角位移相对应的时刻。

2.3 测量并计算实验台放上试样后的转动惯量

将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转动轴中心重合，按与测量空实验台转动惯量同样的方法可分别测量砝码作用下的角加速度β2与砝码脱离后的角加速度β1，由式(3)可计算实验台放上试样后的转动惯量J，再减去实验步骤(2)中算得的空实验台转动惯量，即可得到所测试样的转动惯量。将该测量值与理论值比较，计算测量值的相对误差。

2.4 验证平行轴定理

将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中，测量并计算两圆柱体在此位置的转动惯量，将测量值与理论计算值比较，计算测量值的相对误差。

2.5 验证刚体转动惯量与外力矩无关

通过改变塔轮直径对转盘施加不同的外力矩，测定在不同外力矩下转盘的转动惯量，与理论值进行比较，在一定允许的误差范围内验证结论。

3 实验结果与讨论

空盘与圆环的转动惯量实验数据见表1。

表1 空盘和圆环的转动惯量(塔轮直径40 mm)

rad/s

由表1可得：J盘=0.021 67 kg·m2，

J盘+环=0.031 58 kg·m2⟹J环=J盘+环-J盘=0.009 91 kg·m2

误差：

3.1 验证平行轴定理

圆柱的转动惯量测量数据见表2。

表2 测量圆柱的转动惯量

由表2可得：

J盘+柱近=0.023 16 kg·m2⟹J柱近=J盘+柱近-J盘= 0.001 49 kg·m2

J盘+柱中=0.027 07 kg·m2⟹J柱中=J盘+柱中-J盘=0.005 40 kg·m2

而

J盘+柱远=0.033 52 kg·m2⟹J柱远=J盘+柱远-J盘=0.011 85 kg·m2

3.2 验证转动惯量与外力矩无关

测量空盘的转动惯量数据见表3。

表3 空盘的转动惯量(塔轮直径50 mm) rad/s

由表3可得：J盘1=0.021 74 kg·m2。

实验时，圆环的质量680 g，其内外直径分别为175 mm和215 mm,圆柱体的质量为400 g，其直径为38mm。经过理论计算，给定圆环转动惯量的理论值0.009 55 kg·m2，表1测出的实验值0.009 91 kg·m2，绝对误差3.8%。在验证平行轴定理公式时，从表2可以发现，圆柱体的转动惯量会随着其离开转动轴心越来越远而变得越来越大，并且精度也会更高。从表1和表3两次测得的空盘的转动惯量，几乎是一致的，即验证了刚体的转动惯量是与外力矩无关的。每个实验的数据与理论值之间的误差也都在工程允许的范围之内(5%)。因此，实验结果也表明，所研制的实验装置具有较好的可靠性和实验性。

4 结 语

转动惯量是刚体转动惯性的度量。对于几何形状简单、质量分布均匀的刚体可以直接用公式计算出它相对于某一确定转轴的转动惯量；而对于外形复杂和质量分布不均匀的物体只能通过实验的方法来测定物体的转动惯量，因而实验方法就显得更为重要。本实验仪提供了一种测量刚体转动惯量的新方法，是开展研究型实验教学的新仪器。

[1] 韦 林, 周松鹤, 唐晓弟. 理论力学 [M]. 上海: 同济大学出版社, 2007.

[2] 同济大学理论力学教研室. 理论力学[M]. 上海: 人民教育出版社, 1980.

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Development and Application of a New Rotational Inertia Test Instrument

LIUWu-xiang

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A new rotational inertia test instrument is designed, and principle of its operation, property and test result are introduced. The experimental device is composed of rotational inertia test instrument, Holl sensor and a multi-function instrument which can complete timing and counting with millisecond level. Holl sensor and multifunctional timing and counting millisecond instrument can automatically record the moment that rigid body has π angular displacement under a certain turning torque, and determinate the angular acceleration and the rotational inertia of rigid body. Compared with the original measuring device, it can eliminate most system error and random error, and it has the advantages of time saving, convenient measurement, good repeatability, high efficiency and so on. The experimental results also show that the instrument has good practicality and reliability.

moment of inertia; Holl sensor; multi-function timing and counting milliseconds instrument; rigid body

2014-07-04

同济大学第七期精品实验教改项目

刘五祥(1976-)，男，湖南岳阳人，副教授，现主要从事新型材料的力学数值模拟和理论研究。

Tel.:021-65982267；E-mail:wxliu@tongji.edu.cn

O 313

A

1006-7167(2015)05-0063-04