高中数学探究教学的实践与思考

杨绍慧

（安徽省宿城第一中学 安徽·宿州 234000）

转变学生的学习方式是新课程改革的重要目标，也是时代赋予教师的新的责任。新课改在转变学生学习方式上的一个重要举措就是强调教学探究。所谓教学探究就是指在教师的引导下，学生积极主动、相对独立地围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程，这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜想、探求适当的数学结论或规律，并给出解释或证明等。我们在新课程的教学中应力求让学生对数学知识进行探究，以使学生获得理智和情感的体验、知识的建构及掌握解决问题的方法，切实转变学生的学习方式。本文结合教学实践，谈谈如何在数学教学中进行数学探究活动。

一、重视定义、概念的探究教学，养成探究的习惯

教材中的数学定义、概念是数学的精髓、灵魂，是对数学现象的高度抽象与概括，只有正确地理解定义、概念，而不是死记硬背，并对其形成的过程和本质进行探究，才将有助于掌握和运用。

案例1：在映射概念的教学中，教师可通过提出以下问题实施探究（也可以通过引导学生去发现并提出问题）：

1）集合A中的每个元素在集合B中都有像吗？

2）集合A中的不同元素在集合B中的像是否相同？

3）集合B中的每个元素在集合A中都有原像吗？

解决了上述问题，学生不仅把握了映射的本质（即多对一或一对一的对应），同时对函数概念的认识也上升到一定的高度。

案例2：北师大版数学必修1教材中在讲述函数的奇偶性时给出了如下的定义：

一般地，图像关于原点对称的函数叫奇函数，图像关于y轴对称的函数叫偶函数。教学中教师可以以奇偶函数的定义为切入点，引导学生展开以下问题的探究：

1）奇函数 f（x）为什么满足 f（-x）＝-f（x），偶函数 f（x）为什么满足 f（-x）＝f（x）？

2）奇函数、偶函数的定义域有何特征？

3）f（0）＝0与 f（x）为奇函数有何关系？

4）既是奇函数又是偶函数的函数存在吗？存在多少个？试举例说明。

5）奇函数、偶函数的单调性有何特征？等等。

通过师生互动、学生探究不难解决上述问题，这样学生对于奇、偶函数就有了比较深刻的理解。

数学教材中有诸多的定义、概念，这是学生进行数学探究的重要载体，即时进行数学探究，可以使学生养成良好的探究习惯。

二、重视例题和习题的探究教学，促进数学思维迁移

教材中的例题和习题对数学问题的解决起着示范和启迪的作用，因而例、习题的教学是数学教学的重要环节。纵观当前的课堂教学多是“教师讲、学生听”的模式，这制约了学生思维的发展及个性品质的培养，如果在例题和习题教学的一些主要环节上，创设情景，有的放矢地将例、习题设计成探究问题进行课堂教学，并对学生的做法进行归类分析，从单一的求解过程提升到类型问题的思考方法和步骤，则可有效地提高学生的思维水平，以及独立分析问题、解决问题的能力和灵活驾驭新问题的能力，更大限度地发挥例题和习题的问题探究效能。

案例3：北师大版数学必修5的第一章第四节“数列在日常经济生活中的应用”中，涉及到“分期付款模型”问题。

小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款的方式，并在一年内将款全部还清。商场提出的付款方式为：购买后2个月第一次付款，再过两个月第2次付款……购买后12个月第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。求小华每期付的金额是多少？

在师生共同分析并解决此题后，教师可引导学生做如下探究：

1）本题可否通过构建数列模型来解决？事实上，只要设第n 次还款后还欠款元，则＝5000（1+0.8%）2-，（1+0.8%）2-x，由递推关系求出通项并由条件知＝0即得，此解法从本质上体现了数列思想的运用。

2）还有其他解法吗？如假设小华每期还款x元，则第一次还款x元，其实质不仅还了x元，而且将还x元再其后10个月的利息也还了，因此相当于还了x（1+0.8%）10元，于是得方程x（1+0.8%）10+x（1+0.8%）8+…+x（1+0.8%）+x＝5000（1+0.8%）12，等等。

3）按课本第35页给出的思考交流进行探究。

4）在例3中，指出月利率按复利计算，如果要求月利率按单利计算，结果又如何呢？这是一个极具挑战性的问题，其问题主要表现在：每期还的x元是还本金呢？还是还利息呢？如果本金、利息一起还，那么x元中多少还本金？解决上述问题不仅有趣，而且能力要求较高，充分展示了数列在日常经济生活中的应用。

案例4：北师大版数学必修5中第二章解三角形，第57页习题2-2，B组第2题：圆内接四边形ABCD的边长分别AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形 ABCD 的面积。这是 2001年安徽省文科的一道高考题，学生首先想到的是连AC或BD，利用余弦定理和面积公式得之，接着教师可引导学生继续探究：

1）计算四边形面积常用的方法是什么？（割补法）。以上我们采用了割法，可否采用补法呢？（补成三角形，利用相似三角形的性质求解）。

2）问题中给出的四个数据很特别，结合圆内接四边形的性质，你能简解吗？（在BC上取点E，使BE＝2，则可证明三角形CDE是正三角形，从而C＝60°，不仅简捷，而且明快！）。

3)对此教师还可进一步提出问题：圆内接四边形的面积的表示式具有如此优美的形式，那么对任意四边形当己知四边长时可否求其面积？（不能）。需要增添什么条件？（对角之和或其他条件）。又如何计算其面积呢？此问题可作为课内探究的延伸，让有兴趣的学生在课外探究。

例题和习题教学是学生学会思考、养成良好解题习惯的主要途径。实践表明，教师直接传授给学生的技巧，往往难以被灵活运用，而教师摒弃代庖，引导学生不满足于一得之见，设置航标，积极探究，是变被动接受为主动学习的重要举措。在探究活动中，学生的心智充分地参与，激发兴趣，开发智力，能有效地培养独立思考能力，提高数学思维品质。

三、重视教材中“探究”素材的教学，培养学生探究能力

新课程教材区别于大纲版的一大亮点就是增加一定数量的探究素材，开辟了诸如 “思考交流”、“阅读材料”、“课题学习”、“信息技术应用”等拓展性栏目，并独立地设置了“探究活动”，为有兴趣、有特长、有能力的学生提供了探究的空间。教学中教师应有选择地利用这一亮点引导学生开展数学探究，使课内探究自然而然地延伸到课外，达到课内探究与课外探究有机结合的日的。如北师大版数学必修3第二章 《算法初步》中第87页的“阅读材料”（物不知数）就是一个很好的探究课题，材料给学生明确提出了三个探究问题，通过探究，一方面丰富了知识、提高了能力，另一方面也使学生领略到我国古代数学家的聪明才智。又如本章第115页的“课题学习”，这是对本章第二节所涉及内容的补充与提高，同样指出了需要探宄的三个问题，并且通过引入了二进制明确了问题的答案，从而让学生感受到数学美之所在。教材中的探究素材是数学探究不可多得的资源，教师要给予充分地利用，不能以时间紧、内容多为理由而放弃对此的探究，这将让学生失去对诸多富有思想和人文价值的问题的探究机会，不仅偏离了新教材编写的初衷，也不符合新课程的理念，当然，这种探究应当切合学生实际，量力而行，不能花费学生太多的精力。

四、结语

“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”（波利亚语）。这正是数学探究的价值所在。在数学探究中，教师应成为探究课题的创造者，为指导学生进行数学探究做好充分准备，并积累指导学生进行数学探究的资源。在课堂教学中，堂堂搞探究是不可能的，事实上，一个学期能有几节就不错了，但经常地每节课有那么一小段探究还是必要的，且不可为探究而探究。需要指出的是，探究学习不存在固定的路径，也不宜一味地探寻和研究其程序和模式，关键在于对其精神实质的领悟，也许学生的探究成果有时显得简单或幼稚，甚至有错，这并无大碍，重要的是学生能从现有的知识水平出发，通过不断探索，去体验数学探究过程中执着、不畏艰难、富有理智的创造性思考，培养一种科学探究、实事求是的精神，这正是数学探究所具有的独特的育人功能和魅力之所在。

[1]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]蔡旺庆.探究式教学的理论、实践与案例[M].南京：南京大学出版社，2015.