基于相关性负荷模型的电力系统可靠性评估

黄祥玉，齐先军

（合肥工业大学 安徽省新能源利用与节能重点实验室，安徽 合肥 230009）

0 引言

随着电网规模日益扩大、互联程度不断提高，电力部门越来越多地运用可靠性评估技术对电网规划、设计和运行的各个阶段进行定量的可靠性评估。近年来，电力系统可靠性评估在模型算法和工程应用上均取得了较大进展［1］。节点负荷具有较强的随机性、分散性和多样性［2］，其模型的准确与否对可靠性评估结果有较大的影响，如何考虑节点负荷不确定性［3］和相关性对可靠性评估结果的影响，已成为一个亟待深入研究的重要课题。

在电力系统可靠性评估中，各节点负荷通常是按照完全相关或完全独立［4］来处理的。在这2种情况下都可以通过核密度估计方法得到节点负荷的边缘概率分布函数，对此函数进行抽样获得系统负荷样本。文献［5］采用系统年峰荷表达系统负荷模型，各节点负荷等于系统年峰荷的一个固定比例，其计算结果只能反映系统资源最紧张情况下的抗风险能力；文献［6］利用多维正态分布函数进行负荷相关和不确定性分析，但是如果采取的假设与实际情况不相符，则依据上述负荷模型得出的计算结果和相关推论可能导致较大的误差甚至错误的结论。文献［1］提出了一种基于多元核密度估计的相关性负荷模型，这种方法是一种基于原始数据驱动、避免主观经验影响的先进数学方法；然而多元核密度估计是一种抽样效率低下的方法，为了得到比较精确的计算结果，必须以牺牲计算成本为代价。

本文采用copula函数建立相关性负荷模型，其中以非参数核密度估计方法估计copula函数参数。这种方法具有如下优点：

（1）基于原始数据驱动，可以完全避免主观经验的影响。

（2）不必假设各节点负荷边缘分布函数类型和它们的联合概率分布函数类型相同，且各节点负荷的边缘分布函数类型也不必相同，这使得copula函数的应用范围较广。

本文主要介绍了copula函数参数选择、最优copula函数选择和基于相关性负荷模型的节点负荷状态抽样，并运用非序贯蒙特卡洛方法编程计算，得到系统可靠性指标。

1 copula函数简介

设随机向量X＝（X1，…，XN）的概率分布函数为F（x1，…，xN），由联合分布函数得到变量的边缘分布函数，在联合分布中去除边缘分布的信息，只剩下相关结构的信息。如果存在函数C，满足（1）式，则称C是联合分布函数F的copula，也称C为随机向量（X1，…，XN）的copula［7］。定义c为对应copula函数的密度函数。（1）式为：

其中，θ为参数向量；Fi（·）（i＝1，…，N）为边缘分布函数。

copula函数实质上是一种将边缘分布函数和联合分布函数连接起来的纽带函数，又称连接函数。应用copula函数实现相关性建模一般有如下几个步骤：① 预选几个常用的copula函数；②根据原始数据估计各常用copula函数的参数；③ 从所有预选的copula函数中选择最优copula函数。

2 负荷相关性建模

2.1 常用的copula函数

相关性分析中常用的copula函数主要有椭球copula类和阿基米德copula类。椭球copula类主要包括Gaussian copula和t copula（本文不考虑t copula，只做简单介绍）；阿基米德copula主要包括Clayton copula、Frank copula和Gumbel copula。

（1）Gaussian copula函数。表达式为：

其中，ui＝Fi（xi）（i＝1，2，…，N）；φρ为相关系数矩阵ρ的多元标准正态分布函数；φ－1为标准正态分布函数的逆函数。

（2）t copula函数。表达式为：

其中，ui＝Fi（xi）（i＝1，2，…，N）；Tρ，v为相关系数矩阵ρ、自由度v的多元t分布函数；为自由度是vi的标准t分布函数的逆函数。

（3）阿基米德copula函数。表达式为：

其中，ui＝Fi（xi）（i＝1，2，…，N）；φ为对应阿基米德copula的生成元；φ－1为生成元的逆函数。3种常见阿基米德copula的生成元见表1所列，表中α为相依系数，表征变量间的相依程度。

表1 阿基米德copula函数生成元

2.2 负荷相关性建模中copula函数参数选择

常用的copula函数模型的参数估计方法包括精确极大似然法（Exact Maximum Likelihood method，EML）、边缘分布推导法（Inference Functions for Margins method，IFM）、规范极大似然法（Canonical Maximum Likelihood method、CML）、基于核密度的极大似然法（Maximum Likelihood based on Kernel density method，MLK）和Genest and Revest法［8］，为了编程计算的简便和精确，本文采用MLK法计算copula函数参数。

假设系统中有N个负荷节点，1a中每个小时各负荷节点的负荷数据已知。第i个负荷节点在第t个小时的负荷为xit（i＝1，2，…，N；t＝1，2，…，T），T为1a小时时段数。

（1）利用核密度估计函数将负荷变量xit进行概率变换，得到服从均匀分布的变量uit为：

其中，hi为第i个负荷节点对应窗宽；K（·）为核函数。因为在最优窗宽的情况下核函数的选择对密度估计结果影响不大，所以通常选取核函数为高斯核。此时，窗宽可以由hi＝1.059σi求得，其中，σi为第i个节点负荷数据标准差，则（5）式可变为：

（2）令L（θ）＝ln（c（θ）），采用极大似然估计法估计copula函数密度函数c的参数向量θ为：

2.3 负荷相关性建模中最优copula函数的确定

最优copula的选择方式有很多，没有统一的标准，主要可以分为图形法和解析法，本文采用更加直观准确的解析法。在选择最优copula的解析法中最常用的是欧氏距离法，即基于经验copula（Empirical copula，EMC）函数的最短距离法选取最优copula函数，EMC可表示为：

其中，I（·）为指示函数，若括号内条件满足，则I的取值为1，否则为0；x＝｛（，…），t＝1，2，…，T｝为容量j是T的N维观测样本；为顺序统计量且1≤t1，…，tN≤T。

EMC与理论 copula（Theoretical copula，THC）函数之间的欧氏距离可通过（9）式计算，即

根据上述计算结果，选择d最小的copula函数作为最优copula，用来描述多元随机变量间的相依结构。

2.4 相关性负荷的状态抽样

根据负荷的最优copula函数，可以对负荷状态抽样。Gaussian copula函数和阿基米德copula函数所对应的抽样方法不同。

（1）Gaussian copula函数抽样方法［9］。抽样步骤如下：① 计算负荷随机向量的相关系数矩阵ρ，对其进行Cholesky分解，得到下三角矩阵A，如果相关系数矩阵是正定的，则存在唯一确定的N×N矩阵，使得ρ＝AAT；② 生成由N个服从标准正态分布的变量所构成的随机向量w＝（w1，w2，…，wN），令z＝Aw；③ 令ui＝φ（zi）（i＝1，2，…，N），得到服从N元Gaussian copula函数分布的随机向量取值（u1，u2，…，uN）。

（2）阿基米德copula函数抽样方法［10］。设阿基米德copula函数为C，其生成元为φ，（U1，U2，…，UN）是服从联合分布C的随机向量，根据Marshall和Olkin提出的算法，如果存在一个分布函数F，满足F（0）＝0，且其拉氏变换与生成元的反函数相等，即φ－1＝L［F］，可以采用如下方法产生（U1，U2，…，UN）的取值（u1，u2，…，uN）：① 生成分布函数G（·）的随机数z，其中G＝L－1［φ－1］，L－1（φ－1）为φ－1的反拉氏变换；② 生成N个服从（0，1）均匀独立同分布的随机数w1，w2，…，wN；③ 令ui＝G（－ln（wi）/z）（i＝1，…，N），得到服从生成元φ的N元阿基米德copula函数分布的随机向量取值（u1，u2，…，uN）。

由上述仿真方法得到满足给定相关结构的随机数向量后，通过（10）式的反变换可以得到服从联合概率分布的多元负荷随机数为：

其中，Fi为节点i上负荷对应的边缘分布函数。

3 发输电系统可靠性评估

发输电系统可靠性评估过程主要包括4个方面，即确定元件失效模型和负荷模型、选择系统状态、识别并分析系统问题以及进行可靠性指标计算［11］。本文选择非序贯蒙特卡洛方法计算发输电系统可靠性指标，具体流程如图1所示。选择系统状态时，在元件方面，发电机、输电线路和变压器仍采用两状态离散分布模型进行抽样；在负荷方面，基于copula函数建立计及节点负荷相关性的负荷模型，得到节点负荷的联合概率分布函数，即最优copula函数，再按最优copula函数对负荷进行抽样。

图1 基于相关性负荷模型的发输电系统可靠性评估流程

4 算例

针对IEEE－RBTS系统建立相关性负荷模型进行测试。IEEE－RBTS系统有5个负荷节点，在进行电力系统可靠性评估时，节点负荷数据通常按完全相关处理，但在实际情况中各节点的年负荷峰值不会在同一时刻出现，各节点负荷的变化趋势也不完全一致。为了验证本文所提相关性负荷建模方法的正确性，对IEEE－RBTS系统原始负荷数据进行如下修改：①2～6号节点分别采用黑色冶金、纺织、机械、农业和市政生活的典型日负荷曲线［12］；② 因为IEEE－RBTS系统将一年分成夏、冬、春/秋3个时间段，而文献［12］只有冬、夏时段的典型日负荷曲线，故假定春/秋时段的日负荷曲线可以由冬、夏时段的取平均值得到；③ 因为文献［12］没有每季节周末的日负荷曲线，所以假设周末也采用工作日日负荷曲线。

因为3号节点基础负荷最大，对系统EENS指标影响最大，而2、3号负荷节点地理位置较近，气候条件相似，负荷具有较大的相关性，故对2、3号节点负荷采用基于copula函数的相关性负荷模型，其他节点负荷采用独立负荷模型。

5个节点负荷对应的核密度估计函数窗宽见表2所列。

表2 各节点负荷数据对应窗宽

2、3号节点负荷原始数据所对应的各预选copula函数参数和欧氏距离d见表3所列。

表3 copula函数参数和欧氏距离

从表3中欧氏距离大小可知，2、3号节点负荷数据对应的最优copula函数为Gaussian copula。为了对比负荷原始数据与copula函数的分布特性，将2、3号节点负荷序列 ｛（x2t，x3t），t＝1，2，…，T｝按照（5）式进行变换，得到变换序列｛（u2t，u3t），t＝1，2，…，T｝。变换序列的散点图、相同相关系数下的Gaussian copula函数模拟散点图、Gaussian copula密度函数图分别如图2～图4所示。

图2 变换序列散点图

图3 Gaussian copula函数模拟散点图

图4 Gaussian copula密度函数图

由图2可以看出，2、3号节点负荷数据具有较强对称相关性，中间分布较为均匀，上、下尾分布较为集中，这与图3中的模拟数据散点图基本一致，图4中的Gaussian copula密度函数也具有这些特点，所以选择Gaussian copula作为最优copula是合适的。

利用Gaussian copula函数抽样方法产生2、3号节点负荷的抽样样本，抽样200万次得到模拟数据的统计量见表4所列。

表4 负荷抽样数据统计量

此时，2、3号节点的负荷抽样样本的变异系数［13］分别为1.214×10－4和1.609×10－4。如果要进一步提高计算精度，可以增加抽样次数或采用减小方差技术。

2、3号节点负荷原始数据的统计量见表5所列。比较表4和表5，可以看出模拟数据和原始数据的统计量非常接近，说明了基于copula函数的相关性负荷模型和算法的有效性。

表5 负荷原始数据统计量

基于copula函数负荷模型分析负荷相关性对IEEE－RBTS系统可靠性指标的影响。采用非序贯蒙特卡洛方法计算2种情形（计及节点负荷相关性和节点负荷完全独立）下的发输电系统可靠性指标，见表6所列。

表6 发输电系统可靠性指标

由表6中计算结果可以看出系统LOLP指标和LOLE指标在考虑2、3号节点的负荷相关性和完全独立2种情况下是一样的，即是否考虑2、3号节点的负荷相关性对系统LOLP指标和LOLE指标没有影响。而系统EPNS指标和EENS指标却有明显不同，负荷相关抽样情况下系统EENS指标比负荷独立抽样情况大4.326%，这与文献［1］的结论基本一致。虽然在本文算例中系统EENS指标在2种情况下差别不大，但是若计算更大规模电网的可靠性，考虑和不考虑负荷相关性所对应的EENS指标可能会相差很大，此时不考虑负荷相关性所造成的误差不能忽略不计。而且考虑负荷相关性情况下的可靠性指标更加符合实际情况。

5 结论

本文通过copula函数建立相关性负荷模型，得到基于相关性负荷模型和传统不考虑负荷相关性的发输电系统可靠性指标，并将2种情况下的可靠性指标进行比较，验证了基于copula函数的相关性负荷模型的正确性。

（1）通过基于copula函数的相关性负荷模型抽样得到的节点负荷数据能够很好地保持原始数据的统计特性，是对负荷相关性比较适合的一种模拟方式。

（2）基于相关性负荷模型的发输电系统可靠性评估能够得到更加准确的可靠性指标。传统的基于独立负荷模型的发输电系统可靠性指标相对于本文基于相关性负荷模型的可靠性指标会过高评估系统的可靠性。

在考虑多元负荷相关性的情况下，相关性分析中常用的阿基米德copula函数参数将会变得十分复杂，现有条件难以实现。故基于copula函数的多元负荷相关性情况还需要进一步的研究。

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