直线和椭圆相切状态下的一个简单性质

庄志刚+杨云显

椭圆中的性质很多，大多是针对焦半径和焦点弦的某种形式出现的定值问题的研究.对于直线和椭圆相交或相切状态下的简单适用的结果不多.笔者曾写过一篇关于“直线和椭圆相交状态下的一个通用性质”[1]的文章，对标准方程下焦点三角形的面积和坐标间的对应关系进行了一点初步的研究.近来通过直线和椭圆相切状态下的有关计算，得到下面结论，期待能对实践应用有所帮助.

如果先以中心在原点，焦点在x轴上的标准椭圆为载体进行研究，可以得到如下结论：

图1

性质1 如图1，若P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，如果两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，设过P（x0，y0）的椭圆的切线l的斜率为k，则1k（1k1+1k2）为定值，且定值为-2λ.

为了证明上面结论，先不妨证明以下结论.

结论1 若P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上异于长轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，设两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，则（1k1+1k2）=2x0y0.

证明 设椭圆的两焦点F1（-c，0），F2（c，0）（其中c=a2-b2），

则1k1=x0+cy0，1k2=x0-cy0，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0.

得到这个结果的过程比较容易，从这个结果可以看出，过焦点在x轴上的标准椭圆上异于长轴端点外的任意一点所得两条焦半径（斜率都存在）的斜率的倒数和与点的横纵坐标有关.

结论2 设P（x0，y0）为椭圆x2λb2+y2b2=1（b>0，λ>1）上异于长轴端点外的任意一点，l为过P（x0，y0）的椭圆的切线，则其斜率k与点P坐标有关，且k=-x0λy0.

证明 λ>1，曲线表示以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上的椭圆，

设过P（x0，y0）的直线斜率为k，则l的方程为y-y0=k（x-x0）.

联立方程组：x2λb2+y2b2=1，

y-y0=k（x-x0），

消去y得：

（1+λk2）x2+2（λky0-λk2x0）x+（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0. （1）

因为l为过P（x0，y0）的椭圆的切线，

所以有Δ=4（λky0-λk2x0）2-4（1+λk2）（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0

整理得：

λ（λb2-x20）k2+2λx0y0k+

λ（b2-y20）=0.（2）

又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以x20λb2+y20b2=1.

所以λb2-x20=λy20，b2-y20=x20λ.

将结果代入（2）式，得到λ2y20k2+2λx0y0k+x20=0，

也即（λy0k+x0）2=0，所以k=-x0λy0.

可以看出：过焦点在x轴上的标准椭圆上异于长轴端点外的任意一点所做椭圆的切线的斜率与坐标有关，也与a2，b2的比值有关系.

在结论1和结论2的支持下，我们来证明性质1就不难了.

因为a>b>0，a2b2=λ，所以椭圆方程即x2λb2+y2b2=1，

P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，

所以由结论2，过P所做椭圆的切线的斜率k=-x0λy0，所以1k=-λy0x0.

焦半径PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，所以由结论1得：1k1+1k2=2x0y0，

由上面的结果，容易得到：1k1k1+1k2=-λy0x02x0y0=-2λ，性质1得到证明.

有些与直线和圆锥曲线的位置关系有关的题目中，经常进行一些类似的定量计算，如2013年高考山东卷理科数学试题22题第三问，就考查了如下问题：

椭圆C：x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，P（x0，y0）为其上异于长轴端点外的任意一点，过点P做斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个交点.设PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明：1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.

可以看出，这是以上性质的特殊情形，单从结论的角度，不难得到：a2=4，b2=1，λ=a2b2=4，所以1k（1k1+1k2）=-2λ=-8.计算过程参照定理的证明，不难得到结果.

如果椭圆是中心在原点，焦点在y轴上的标准椭圆，模仿以上结论，进行以上步骤的计算研究，不难得到上面定理的另一种形式下的结论： 图2

性质2 如图2，若P（x0，y0）为椭圆y2a2+x2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，如果两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，设过P（x0，y0）的椭圆的切线l的斜率为k，则k（k1+k2）为定值，且定值为-2λ.

定理2的算式部分形式与定理1稍有区别，但最后的结果完全一样.证明过程与定理1的证明类似，从略.

综合性质1和性质2，可以看出，它们的共同特点是：结果形式简单，关系直接明确，易于理解掌握，便于实践应用.

圆锥曲线的学习过程中，老师们经常会遇到大量的涉及直线和圆锥曲线的定量运算的题目，解答这些题目的过程中，多加用心反思和对比，也许就会发现一些隐藏其中的有用的规律，规律的探索过程和成就感也是数学美的重要方面吧.

参考文献

[1] 杨云显，孟艳双.直线和椭圆相交状态下的一个通用性质[J].中国数学教育，2012（6）：21-22.

作者简介 庄志刚，男，山东青岛人，1966年9月生，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学，曾获全国教研工作先进个人，在各类刊物发表十几篇论文;杨云显，男，山东即墨人，1971年6月生人，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学，曾获青岛市教学能手，在各类刊物发表多篇论文.