数学公式的教学应关注公式的来龙去脉（三）

笔者在文[1]和文[2]中提出“数学公式的教学应关注公式的来龙去脉”这一观点.具体而言，文[1]以“扇形面积公式”的教学为例，指出在公式教学中，推导公式、明确公式的意义以及公式的应用上要下功夫;文[2]以“等差数列前n项和”的教学为例，提出公式的推导要顺、公式的几何意义要明确、公式的应用要关注数学思想.本文就“公式的推导要顺”（或者更广泛地讲，是“数学教学要讲顺”）做进一步的叙述.

郑毓信教授多次提到要把数学课“讲活”“讲懂”和“讲深”.所谓“讲活”，是指教师应通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识;所谓“讲懂”，则是教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背;所谓“讲深”，是指教师在数学教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也能很好地领会与把握内在的思想方法[3].

在笔者看来，数学教学要讲活、讲懂和讲深，前提是讲顺.讲顺了，各个知识点才可以活起来，展现出知识的发生发展过程;讲顺了，学生才听的懂，记的住，而且理解了;讲顺了，可以掌握其思想方法，并顺着知识点将其拓展、延伸和深入.那么，什么是讲顺？讲顺的数学课应该是有逻辑（讲因果、有条理、成系统），连贯的（知识点与知识点之间连贯而不跳跃），也就是讲清楚来龙去脉.

下文，我们以对数运算性质为例，进行分析说明.

人民教育出版社《数学（必修1）》是这样处理的：首先利用指数与对数的关系以及指数的运算性质，得到logaMN=logaM+logaN，书中写出了完整的推导（证明）过程.然后，要求学生仿照这一过程，得出logaMN=logaM-logaN和logaMn=nlogaM（n∈R）.

对于教科书的这一处理，我们作如下简单的分析和评价.

顺序：教科书主要呈现了三个作为知识结果的公式.三个公式按照加、减、乘、除、乘方的顺序，依次呈现.

联系：三者是并列关系，而不是“衍生”关系.公式之间是孤立的，而不是一个“浑然一体”的整体.公式之间的联系在于它们的推导方法.即利用第一个公式的推导方法，简单迁移，得到另两个公式.

优点：简洁明了，且第三个公式有很大的包容性，不需要将n为单位分数和-1时的情况分别罗列，学生的记忆负担不重.

不足：

（1）书本上的“仿照”要求，限制了学生的思维.事实上还有其他推导方法，不应“关门”而应帮助学生打开思路.

（2）按书本的要求去做，另外两个公式的推导，只是机械的模仿、低水平的重复.学生的思维没有任何提高.

（3）学生容易获得三个公式，但是否明白：公式间的深层联系在哪里？是不是一个整体？如果学生对这些问题有清晰的理解，那么，通过这节课的学习，他们不仅有知识容量的增加，还有思维水平的提高.

（4）这样的设计，以及依此而行的教学，是重“证明”还是重视公式的“应用”？答案是很显然的，“重用轻理”的教学使公式本身所蕴含的思维价值被大大抹杀.

针对以上的问题，该如何来处理和改进呢？

在数学教学中，应呈现知识发生发展的顺序，自然而然，有逻辑、连贯地展开.教科书这样设计，制约了我们的教学;我们要做的是，从“教教科书”到“用教科书教”，经历“教学重建”.“教学重建”的突破点在哪里？突破点就在公式之间的深层联系！——这是本课教学设计的线索.

基于上述认识，我们对此进行如下的教学设计.

先按教科书上的方法得到第一个公式，然后根据几个公式之间的联系依次推出.

①logaMN=logaM+logaN

→②logaMn=logaMM…M=logaM+logaM+…+logaM=nlogaM

→③当n=-1时，loga1M=logaM-1=-logaM

→由①和③得，④logaMN=logaM·1N=logaM+loga1N=logaM-logaN

→当②中的n取1n时，⑤loganM=logaM1n=1nlogaM.

图1

可由图1来表示这些公式间的关系：

这样的处理就非常地“顺”.更进一步，我们可以做如下分析：

（1）由“打包”到“串线”，并形成知识网络.

原有的教科书，仅仅是简单地罗列几个公式;或者说，仅是将几个公式打包后呈现给学生，几个公式之间是孤立的.而我们的设计，则通过“线索”——公式之间的深层联系，将它们紧密地串在了一起，而学生对它们的理解和记忆是深刻的，形成了良好的知识结构（认知结构），这也会影响到其后对这些公式的提取和应用.

郑毓信教授认为，对于所谓的“数学基础知识”我们就不能理解成各个孤立的知识点，恰恰相反，以下即应被看成相关的数学与学习活动的关键所在：“不应求全，而应求联”;类似地，为了帮助学生很好地掌握“数学基本技能”，我们也“不应求全，而应求变”，从而就能在各种变化了的情况下很好地加以辨识和应用[4].

这里的五个公式，是数学基础知识，是个联系的整体，而不是一个个孤立的、割裂开的个体.公式的证明方法，是数学基本技能，不应单纯模仿，而应灵活地运用.借助已知的方法和结论，去简便地获得新的结果.有效地掌握了公式及其证明，由于有了“联”与“变”的基础，其后灵活的应用也会顺理成章地展开.（对于此，我们也可以类似地提出，对于数学知识应用的教学，“不应求全，而应求通”.）

（2）从“教教科书”到“用教科书教”，教师进行教学深加工.

教师要正确处理好教科书和教学的关系，做到“用教科书教，而不是教教科书”.或者说，教师不是教科书的执行者，而是教学方案（课程）的开发者.教师教教科书，不需要太多的创造，只要按照教科书和教学参考书的方法和步骤，按序进行，就可以顺利地完成教学任务.但是，教师的工作绝对不是机械的，不是单纯模仿和重复他人的工作，教师应利用自己的知识和经验，去创造具有个性色彩，更合适、更有效的教学.

教科书提供的是“蓝本”，而不是“剧本”;教科书不是权威，它只是教师在教学过程中被加工和重新创造的对象，是教师在教学活动中需要加以利用的课程资源.教师要根据教学内容和学生的情况对教科书进行选择、组织和排序等方式的“再度开发”，对课程内容进行“校本化”、“生本化”的处理，并适当引入一些与生活联系紧密的实例，使课堂内容更贴近学生的生活和经验，特别要精心设计“知识与能力”的教学过程和方法，保证课堂教学中能“突出重点、突破难点”，并从人力、物力、时间、方法与过程上保证重点内容的教学与难点的突破.

在教学中，教师应关注那些对学生终身发展起着“基础”和“核心”作用的知识技能，创造性地使用教科书是教学内容与教学方式综合优化的过程，是课程标准、教科书内容与学生生活实际相联系的结晶，是教师智慧与学生创造力的有效融合.张奠宙教授认为：一个数学教师的职责，是把数学的学术形态转化为学生容易接受的教育形态.那么，究意该如何创造性地使用教科书呢？可以从学的层面对教科书进行“学习化”的加工，对教科书从内容、结构、顺序、呈现方式、教学方法等多个角度做出理性重构，力图使学生手中的数学教科书成为一本能有效激发学生数学学习潜能、引导学生自主探索的“学习资源”.

笔者在文[5]、文[6]中提出数学教学“要在教材的深加工上下工夫”.具体而言，数学是中学课程中最富有系统性和内部联系的学科，教学设计应让学生充分感受数学内部的联系以及运动与变化.考虑到教材的编写是线性的、封闭的体系，而真正的教学是生动的、灵活的，这就需要教师根据学生的认知水平，深入挖掘数学内部的联系，对教材进行处理，设计出一个既以教材内容为基础的，又不同于教材编排顺序的教学过程，使之成为非线性的、开放的教学.

（3）优化学生的CPFS结构，促进知识的深入理解.

对于上文（1）中提及的知识网络，我们还可以进一步从CPFS结构理论进行分析.

喻平教授将概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称作CPFS结构.CPFS是一种优良的数学认知结构，有助于学生数学理解水平的提升和远迁移的产生[7].吴庆麟认为数学理解的本质是学习者在头脑中建立了关于这个知识的图式，即形成了该知识的内部网络[8].学生理解水平的高低是由该内部网络中知识点之间联系的数目和强度来确定的.优良的CPFS结构可以促进学生对数学的理解，事实上，学生头脑中的CPFS结构不断优化、完善的过程就是学生的数学理解水平层次不断提升的过程.因而，在数学教学时，教师可通过优化学生的CPFS结构来促进学生对数学知识的深入理解.

学生所学习的数学知识与经验在头脑中的稳固程度直接影响到迁移的发生.学生必须对所学知识做到深入的理解与内化，才有可能在遇到新的问题情境时快速准确地辨认出“相同要素”和“共同原理”.换言之，学生若拥有完善的CPFS结构，更容易实现应用过去的知识经验来解决当前问题的迁移[9].因此，教师在教学实践中应有意识地去完善学生的CPFS结构：一方面需要丰富学生头脑中储存的陈述性知识与程序性知识，另一方面需要明晰这些知识点之间的联系以及在长时记忆中的定位，完善知识网络.

本文中的五个公式，通过相互之间的关系推导出来，明晰了各个公式之间的联系，这些公式构成了如图1的命题网络，该命题网络均与对数的运算有关，学生如果能对该命题网络进行内化，完善关于对数运算的命题系，那么以后在解决与对数运算有关的命题时就能迅速激活长时记忆中的相关知识点，有效调用适当的模式来解决问题.

参考文献

[1] 朱哲.数学公式的教学应关注公式的来龙去脉[J].中学数学杂志，2011，（6）：35-37.

[2] 朱哲.数学公式的教学应关注公式的来龙去脉（二）[J].中学数学杂志，2012，（3）：12-14.

[3] 郑毓信.数学哲学与数学教育哲学[M].南京：江苏教育出版社，2007：280.

[4] 郑毓信，谢明初.“双基”与“双基教学”：认知的观点[J].中学数学教学参考，2004，（6）：1-5.

[5] 刘智强，朱哲.圆锥曲线概念教学重新设计[J].数学教学，2003，（10）：5-7.

[6] 朱哲.教师成长：以教学案例为载体的行动研究[J].数学教学，2005，（4）：5-8.

[7] 喻平.数学学习心理的GPFS结构理论[M].南宁：广西教育出版社，2008.

[8] 吴庆麟.认知教学心理学[M].上海：上海科学技术出版社，2000.

[9] 喻平.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010.