谈“集合与函数概念”教学中初高中知识点的几个衔接

近几年我校对高一数学衔接教学进行了一些探索，通过开学初的摸底测试、同学座谈等形式，了解到学生进入高中数学学习所遇到的一些问题.其中函数这一部分，学生普遍反应初高中知识点跳跃性大，衔接度不够，给人有知识“脱节”的感觉.因此，本文就《必修一》第一章的“集合与函数概念”的教学，谈谈初高中知识点的几个衔接教学.

1 情景设置，巧妙衔接，明确概念

集合这一数学概念，学生初中阶段没有接触过.若教师照本宣科，开门见山直接讲解，新知识与初中已有知识衔接不上，不仅枯燥无味，而且学生难以理解和掌握.如果教师能精心设计某一情景，把初、高中的知识内容巧妙衔接起来，由浅入深把学生带到高中数学的课堂，那将是事半功倍的好方法.例如：集合第一节课，我们可以这样设置问题：“某同学第一次到商场买了墨水、日记本和练习本，第二次买了练习本和钢笔，问这个同学两次一共买了几种东西？”学生会马上回答：4种！然而结果为什么不是3+2=5种呢？这里运用了一种新的运算，即集合的并的运算：{a，b，c}∪{c，d}={a，b，c，d}，可见，这一问题中所研究的对象已不仅仅是数，而是由一些具有某种特征的事物所组成的集合，这样自然就导入了集合的教学.因为问题情景熟悉，学生倍感亲切;因为解答涉及到新的运算，学生注意力很快被吸引，课堂教学内容也就自然地过渡到集合的概念上.可以说，正是因为巧妙的构思、合理的问题设置，符合了学生这个年龄的心理特征和学习特点，教师才很好地达到了第一节初高中数学课衔接教学的目标.

2 搭建桥梁，由浅入深，掌握新知

初高中数学知识在教学中的衔接，实际上就是一种承上启下的过渡.针对初高中知识的脱节，尤其断层与跳跃的部分，教师要善于挖掘知识间内在的联系，通过搭建桥梁，做好铺垫，让新旧知识自然过渡，紧密衔接，这样高一学生才能轻松走进高中数学课堂.例如：函数的定义，初、高中“函数的概念”的表述差异很大，初中以学生比较熟悉的“运动”为出发点引入两个变量来描述函数，而高中则以抽象的“集合”为出发点利用“映射”来研究函数.由两个变量“运动”的关系到两个集合“映射”概念的引出，学生确实感觉反差很大，这种跳跃之感学生很难理解.如何在这两者之间搭建一座桥梁，使学生自然接受呢？为此，我们不妨设置这样一个问题：甲、乙两地相距S公里，一辆汽车从甲地匀速地开往乙地，速度为V公里/小时，所需时间为t小时，回答下列问题：

（1）已知V=45公里/小时，写出S关于t的表达式，求出当t=4时甲乙的距离S;

（2）已知S=100公里，写出V关于t的表达式，并求出当V=30时所需时间t;

（3）用集合表示自变量的取值范围.

上面这三个问题学生都能在初中知识的基础上顺利完成.在解答的过程中，教师就已经初步渗透了：“函数值”、“一个t的值唯一对应于一个S的值”，“映射”、“解析式”、“定义域”等函数问题及相关概念.通过上面这些逐步深入、环环相扣的问题的解决，教师再因势利导，逐步地将学生的思维向函数定义靠拢，函数的概念也就自然生成！顺利地完成从“运动”向“集合”的过渡！同时，教学中教师有意识地使用抽象函数符号S=S（t），V=V（t）等更能诱发学生的好奇心与求知欲，更好地搭建“运动”、“集合”、“映射”之间的桥梁.并为将来学习规范书写答题打下了基础.

3 转化语言，化难为易，凸显性质

高一教材对函数单调性的定义表述（叙述）为：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，D∈I，如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）即：（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0或f（x1）-f（x2）x1-x2>0;那么就说f（x）在这个区间D上是增函数;

如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）即：（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0或f（x1）-f（x2）x1-x2<0.那么就说f（x）在这个区间D上是减函数.

从函数单调性定义可以看出，尽管课本定义叙述严谨，但文字冗长，涉及到多个抽象的数学符号及符号语言：“当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）”或“（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0”，“f（x1）-f（x2）x1-x2>0”等.而这与初中“图像上升、下降”形象的文字描述相比，理解起来显然要困难的多！抽象思维的要求明显提高.

如何过渡到高中的“符号语言”的教学呢？老师在学生已有的“图形语言”的基础上，让学生观察课本上的三个图像，再次感受到“图像上升与下降”的印象，然后再以熟悉的、具体的函数y=x，y=x2图像为例，让学生进一步观察图像，发现：“函数y=x的图像在（-∞，+∞）是上升的，函数y=x2在（-∞，0）是下降的，在（0，+∞）是上升的”，老师进一步提问：如何将“函数y=x，y=x2的图像上升或下降”现象用文字语言来描述呢？学生不难回答：“函数y=x的值随着自变量x的增加而增加”，“函数y=x2的值在（0，+∞）上随着自变量x的增加而增加，在（-∞，0）上随着自变量x的增加反而减少”.这就实现了“图形语言”向“文字语言”的转化！紧接着，老师乘胜追击：你能用数学符号的语言来描述这一现象吗？这是学生用文字语言顺利过渡到“函数单调性定义”的符号语言描述的关键！观察图像，在老师的启发下，学生不难得到“当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）”的描述.类比让学生根据“y=x2图像上升与下降”的现象，用符号语言描述函数图像的这一特征：“当x∈（-∞，0），当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），当x∈（0，+∞），当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）”，在此基础上，进一步引导学生可以得到等价的符号语言

“（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0”，“f（x1）-f（x2）x1-x2>0”等式子.

这样的教学，体现了高一学生的认知规律，将初中的画图、识图与高中的辨图、用图有机地衔接.通过第一层图像语言的观察，再到第二层文字语言的描述，最后到第三层符号语言的归纳，环环相扣，步步深入，自然就衔接到函数单调性，“增函数”与“减函数”的概念也就水到渠成了！

设计“各种语言相互转化”的教学，老师要善于分析课本的素材，深入领会教材的意图，充分挖掘其隐含的“各种语言相互转化”的教学的情景.让更多的学生参与课堂，感受到知识形成的来龙去脉.长期这样，不仅较好地衔接新旧知识，而且对学生以后良好的学习方法、学习习惯、学习兴趣的培养也是极其有利的！

4 延伸素材，形数结合，寻找最值

初中生熟悉图像的画法，尤其二次函数的图像，学生非常熟悉.列表时一般找几个对称点，这样，图像迅速图1作出.如何由初中二次函数图像等内容为素材延伸衔接到高中图像变换及函数最值呢？我们的老师在上这节衔接课时，如下设置一题组：

（1）画出y=x2，y=x2-2x+1，y=x2-2x+3的图像.

（2）指出这三个函数图像特征及其区别.

由学生观察，不难得到y=x2-2x+1=（x-1）2的图像

由y=x2的图像向右平移一个单位得到;而y=x2-2x+3=（x-1）2+2的图像是由y=（x-1）2向上平移2个单位得到.归纳出：函数y=a（x-k）2+h的图像可以通过平移函数y=ax2的图像得到，即将函数y=ax2的图像向左（k>0）或右（k<0）平移k单位，得到y=a（x-k）2的图像，再沿y轴向上（h>0）或向下（h<0）平移h单位得到.

至此：由初中二次函数图像的知识适当延伸并顺利地衔接到高中图像变换规律.紧接着，老师继续给出两个问题：

（1）描点法画出函数y=2x的图像，并指出如何利用图像平移得到函数y=2x-1的图像.

（2）求函数y=2x-1，x∈[2，6]的最大与最小值（课本例题）.

图2

问题（2）是课本上一个例题，在另一个平行班听课时，老师照本宣科，没有相关知识的衔接，也没有涉及到求函数值域的知识，而是直接呈现本题，很多学生无从下手！但是，这节课，由于有了图像平移变换的规律的衔接，以及补充问题（1）的垫铺，学生很容易发现函数y=2x-1的图像是由初中熟悉的反比例函数y=2x图像向右平移1个单位得到.再观察函数y=2x-1在[2，6]的图像，学生不难发现：

（1）函数y=2x-1在[2，6]的图像是一段曲线，两个端点分别是A（2，2），B25;

（2）y=2x-1在[2，6]上是减函数（当然教学时还要求学生按照定义给出单调性的证明）.

学生有了（1），（2）的发现，函数最大值与最小值的问题也就圆满解决！

自此，课应该马上可以结束了，但该教师因势利导，继续将二次函数知识延伸并与闭区间、图像性质、抽象字母、最值等知识综合起来，于是老师补充一道衔接练习：设函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m]的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围.

图3

题目一给出，学生立即画图，讨论，其中有几个同学很快能发现对称轴x=1一定要含于闭区间[0，m]内，于是得到m∈[1，2].

课后老师还布置了一道衔接作业：已知函数f（x）=4x2-4ax+a2-2a+2在闭区间[0，2]上的最小值为3，求实数a的取值范围.

从这里可以看出，尽管两个老师教学水平相当，但其中一个老师巧妙地将二次函数相关知识适当衔接延伸到课堂的讲解、练习，作业之中.教学效益明显提高.教师不仅归纳出函数图象平移规律，而且还介绍了寻找函数最值的图像解法.这为下节课最值的进一步研究提供一种重要的方法.从学生的状态来看，课堂气氛活跃，师生配合默契，同学的作业、问题的回答也要明显好于另一个班级！

本文仅通过函数部分几个典型问题的衔接，谈谈高中衔接教学的一些做法.实际上，高初中教学的衔接，不仅在高一、高二，甚至高三的教学也要注意渗透.例如高三“平面几何选讲”的绝大部分内容就是初中平几的衔接与延伸，初中韦达定理在高二的解几教学中常常碰到，初中绝对值的概念是高中分类讨论的一个重要依据，不等式解法、因式分解等内容也是高中数学的重要工具.所以，衔接教学要贯穿于高中数学课堂的始终！但是，由于高一教学很紧，衔接教学又要分担不少的课时，如何处理衔接与进度的关系呢？这就要求老师钻研课本、熟悉衔接的内容，科学设计，将关联的知识化整为零，将衔接的内容渗透到每堂课.这样高一的学生才能跟上老师的节奏，促使师生课堂思维的同频，也只有这样，我们的教学才更有针对性，课堂教学效益才会不断提高.

参考文献

[1] 廖顺宏，数学课堂设计与学生创新思维的培养[J].数学通报.2000（9）.

[2] 高洪武，追求数学课堂的自然高效[J].中学数学杂志，2013（3）.

作者简介 廖顺宏，男，中学数学高级教师.主持并参与《中学数学困难生学习过程评价研究》等市级课题三个.近几年，本人获佛山市骨干教师，禅城区骨干教师，禅城区优秀教师等荣誉称号.主编或参与编写我国权威书籍《中国高考年鉴》——数学分册等教学参考书5部;发表论文近20篇.