SINS/GPS组合导航系统解析性能分析

王振凯，黄显林

(哈尔滨工业大学控制理论与制导技术研究中心，黑龙江哈尔滨150080)

通常在设计SINS/GPS组合导航系统时，都要对导航系统的性能进行预估，以期望设计出的组合导航系统能够达到所要求的精度。一般情况下此过程都是通过Monte-Carlo仿真［1］和方差分析的方法［2］对误差模型进行分析。Kalman滤波技术也是分析INS/GPS组合导航系统性能分析的有效手段，文献［3］提出自适应Kalman滤波算法来分析INS/GPS组合导航系统，并和传统的Kalman滤波方法进行了比较，徐慧娟等［4］分别采用了EKF和UKF算法处理非线性INS/GPS组合导航系统的误差方程，得出了UKF更实用的结论。由于INS的误差模型是时变的并且与载体的动态特性以及轨迹紧密联系［6］，绝大部分组合导航系统分析都是基于仿真得出结论，还没有相关文献对组合导航系统从解析角度进行分析。

本文从SINS/GPS组合导航系统的滤波模型出发，经过简化得到定常组合导航误差模型，利用Kalman滤波的稳定性，通过代数Riccati方程的解把组合导航系统的误差方差和IMU品质、GPS测量噪声建立联系，得到一个解析解和一个半解析解。这样就把导航误差与IMU品质、GPS品质和辅助方式之间建立联系。最后通过仿真验证了本文提出的方法的可行性和有效性。

1 SINS/GPS组合导航系统滤波模型

根据文献［5，7］，SINS误差方程:

式中:φ为姿态误差，δVn为速度误差，δVE、δVN、δVU为δVn在地理坐标系中的分量，δL、δλ、δh分别为纬度误差、经度误差、高度误差，VE、VN分别为东向、北向速度分量，为载体角速度在地理坐标系中的投影，ωie为地球自转角速度，为地理坐标系相对于地球的旋转角速度在地理坐标系中的投影，εn、▽n为陀螺漂移、在加速度计误差地理坐标系的投影，fn为比力在地理坐标系中的投影，L为当地纬度，RM、RN分别为沿当地子午圈、卯酉圈的曲率半径。

加速度计和陀螺误差模型通常都取一阶马尔科夫过程，都具有如下表达形式:

式中:i分别代表地理坐标系的东(E)、北(N)、天(U)方向，τi为相关时间常数，wi为均值为零的白噪声。

则SINS的误差方程可以进一步描述为

式中:

f(X，W)分别对应式(1)～(6)的右侧，W为均值为零的白噪声。

在SINS/GPS组合导航系统中，有2组测量: SINS和GPS接收机相应的位置差，以及SINS和GPS接收机相应的速度差，即量测方程可以表示为

式中:

VP、VV分别为GPS位置和速度测量误差。

综上，SINS/GPS组合导航系统的Kalman滤波模型可以表示为

当对式(9)做不同的处理时，可以使用不同的Kalman滤波算法进行处理，本文主要集中于通过简化，采用传统的Kalman滤波得出解析解。

文献［8］指出，由于GPS/SINS系统Kalman滤波的初始误差协方差阵容易满足正定性条件，而且系统的转移矩阵又是满秩的，因而系统是完全可控的，并且根据分段线性定常系统(piecewise constant system，PWCS)可观测性分析，组合导航系统可以通过增加机动方式提高可观测性，成为完全可观测系统［11-12］。因此，可以从组合导航系统Kalman滤波稳定出发，寻求解析表达形式，由于还没有一种成熟的方法求取代数Riccati方程的解析解，尤其是高维情况，因此本文从模型简化的方面进行研究。

2 简化Kalman滤波模型及解析解

2.1 加速度计误差模型

SINS误差模型(1)～(5)当仅考虑位置误差、速度误差，并且不考虑陀螺误差以及三通道之间的耦合时，误差模型可以进一步简化为

当只考虑其中一个通道时，各个通道的误差模型可以统一表示为

式中:wan∈N(0，Qa)。

式(12)所示误差模型写成状态空间方程的形式为

其中

当仅考虑相应通道GPS位置辅助时，测量方程为

其中:HP=100 [ ]，wGPS∈N(0，RGPS)。

则Kalman滤波模型为

由于该模型完全可观测和完全可控，可知滤波稳态值P存在。结合文献［9］，本文给出了由式(13)、(14)所描述SINS/GPS组合导航系统Kalman滤波代数Riccati方程解析解PSA:

从PSA可以看出，单通道仅含加速度计的误差模型的稳态误差仅仅由IMU参数Qa、GPS测量误差方差RGPS决定，这也在一定程度上揭示了SINS/ GPS组合导航系统采用位置反馈时的误差本质。

当考虑GPS位置和速度同时辅助时，Kalman滤波方程为

其中

且wp∈N(0，RP)，wV∈N(0，RV)不相关。

由于式(17)所描述Kalman滤波模型完全可控和完全可观测，Kalman滤波稳态值P存在，根据文献［10］中的解法，给出SINS/GPS组合导航系统Kalman滤波代数Riccati方程解析解P:

其中

从P可以看出，单通道仅含加速度计的误差模型的稳态误差仅仅由IMU参数Qa、GPS参数RP和RV共同决定，这也在一定程度上揭示了SINS/GPS组合导航系统采用位置、速度反馈时的误差本质。

由上述分析可以得到，同一个误差模型，当采用不同的辅助方式时，SINS/GPS组合导航系统的误差仅取决于IMU与GPS参数，尽管采用误差模型的精确度不高，但也一定程度上揭示出这个本质。

2.2 单通道陀螺误差模型

SINS误差模型(1)～(5)不考虑加速度计误差及三通道之间的耦合并且假定φU=0、fU=g(h)，误差模型可以简化为

进一步，考虑将单通道陀螺误差模型写成状态空间模型的形式:

此处φ为姿态误差，δbg为陀螺漂移，为一阶马尔科夫过程，满足下式:

式中:τg为陀螺相关时间常数，wgn为高斯白噪声。

2.3 单通道误差模型

把单通道陀螺误差模型式(20)扩充到单通道加表模型式(12)中，可获得简单的单通道INS模型:

此时，无论是采取位置辅助还是位置、速度同时辅助的组合方式，单通道模型都是不完全可观测的，Kalman滤波非渐进稳定，又由于单通道误差模型的为五维，代数Riccati方程的解析解无法得到。然而根据PWCS可观测性定理，SINS/GPS组合导航系统在增加机动方式的条件下为完全可观测系统。因此，可以采取半解析的方法来预测单通道全状态误差方差:把单通道加速度计模型的解作为基础解PSA，通过一个系数矩阵［κ］来修正PSA，得到单通道INS模型的误差方差阵PSC如下

3 仿真与分析

为对上述得到2种Kalman滤波模型解析方法进行验证，采用数值仿真的办法，仿真飞行方案如表1，飞行轨迹如图1所示。

表1 飞行方案Table 1 Scheme of the flight

图1 仿真轨迹Fig.1 Trajectory of simulation

仿真条件设为:初始位置误差分别为0.3″，0.3″，12 m;初始速度误差为0.1 m/s，初始姿态误差分别为1°，1°，1°。陀螺一阶马尔科夫相关时间常数为1 800 s，常值偏差为0.1(°)/h，随机漂移为0.1(°)/h，加速度计一阶马尔科夫相关时间为1 200 s，常值偏差为1 mg，随机误差为500 μg。GPS更新速度为0.1 s，位置测量误差为12 m，速度测量误差为0.1 m/s。

图2～5为不同辅助方式下解析解和数值解的仿真曲线。通过图4、5可以看出，当采用位置和速度组合时，解析方法获得的位置误差的解析解能很好的匹配数值结果，同时，高度方向的速度信息比其他两个方向的结果匹配的好，这可以由高度通道与其他两个通道基本没有耦合或者耦合较小来解释。

图2、3为位置组合的解析解与数值解。从中可以看出，位置仍能很好的匹配，但是由解析解获得的速度误差都不能很好的匹配，这是因为当减少速度观测信息时，虽然解析方法仍然是完全可观测的，但是缺少速度观测量，致使可观测度不高。

对于单通道模型误差，可以通过式(23)以及采用位置速度组合时的解析解来获得。图6、7分别给出了不同测量噪声时的校正因子曲线。

图2 位置辅助时的位置误差Fig.2 Position error with position aided

图3 位置辅助时速度误差Fig.3 Velocity error with position aided

图4 位置速度辅助时位置误差Fig.4 Position error with position and velocity aided

图5 位置速度辅助时速度误差Fig.5 Velocity error with position and velocity aided

图6 kp、kv随位置误差变化曲线Fig.6 Curve of kpand kvchanging with position error

图7 kp、kv随速度误差变化曲线Fig.7 Curve of kpand kvchanging with velocity error

通过图6可以看出，当加表和陀螺选定后，在速度测量误差给定的条件下，随着位置测量误差的增大，位置误差校正因子也在变大，而对速度误差的影响较小，图7则说明位置误差一定的条件下，随着速度误差的增大，kp逐渐减小到一定水平后将不再减小，而速度误差将保持在一定水平，这也揭示出速度和位置之间的线性关系，增加速度测量可以改变系统的可观测程度，提高INS/GPS测量精度，也从侧面揭示出速度测量对于组合导航系统的重要性。

4 结束语

由于SINS/GPS组合导航系统误差对IMU品质、GPS测量误差以及轨迹的依赖性，无法获得误差方程的解析解，往往都是经过数值仿真运算来获得组合导航系统的精度信息，本文从Kalman滤波稳定性的角度出发，提出了一种简单的预测SINS/GPS组合导航系统误差精度的解析方法，得到了两个解析表达式和一个半解析表达式，把组合导航的精度归结到IMU品质、GPS测量误差以及组合方式(位置、位置和速度)上来，大大减少了计算量，最后经过仿真验证了该解析方法的可行性，为导航工作者进一步设计SINS/GPS组合导航系统提供了新的途径。

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