基于HPM视角数学归纳法教学后学生的认知研究

夏芳

基于HPM视角数学归纳法教学后学生的认知研究

夏芳

数学归纳法是证明数学命题的一种方法，是中学数学的重要内容，同时也是教学的难点。有些学生能发现其中的规律，做到举一反三，真正理解数学归纳法并将其深记于心；有些学生只会死记步骤，而不会具体应用。近年来，随着中学教育的改革，HPM理念逐渐应用于数学教学中。本文以数学归纳法为载体，将数学史融入数学归纳法教学中，对学生的认知进行研究。

HPM；数学归纳法；学生认知

一、研究背景

数学归纳法在数学上通常是用来证明与自然数N有关命题的一种特殊方法，主要研究的是与正整数相关的数学问题，在高中数学教学中常用来证明等式成立或数列通项公式的成立。数学归纳法历来作为高中数学教学中的难点，仅有极少数的学生能够真正掌握数学归纳法的原理、发现其中的规律并将其应用于不同形式的数学问题中。大多数学生对数学归纳法的掌握仅限于死记硬背公式及解题步骤的生搬硬套，没有真正理解，不能做到灵活应用。

近年来，HPM在我国数学教学中发展迅速，许多关于HPM的研究性文章及综述性文章出现于HPM领域，基本上包括了HPM的研究现状及未来的发展趋势。本文主要从HPM的视角对学生进行数学归纳法教学，进而研究教学后学生的认知。

二、学生在数学归纳法学习过程中的难点

数学归纳法作为数学教学的难点，让每位教师又爱又恨，爱的是数学归纳法证明题规律的巧妙性，恨的是使学生理解数学归纳法的原理是多么的困难。数学归纳法证明一般包括运用所掌握的数学归纳法知识进行的基础步骤和运用数学归纳法对规律进行的递推步骤。对学生能力的要求较高，即在掌握一定数学归纳法知识的基础上证明基础步骤的能力，在掌握了数学归纳法一般规律及相关原理的基础上证明递推步骤的能力，在两者的基础上将题目的答案以正确形式展示出来的能力。鉴于以上种种能力要求，学生在学习数学归纳法的过程中出现很多困难和错误，导致对数学归纳法的认知水平存在较大差异。

首先，对数学归纳法的概念理解困难。很多学生对于由P（k）推导P（k+1）的概念不理解，经常会出现“若不知道P（k）能否成立，又怎样去推导P（k+1）”这样的问题。相关研究表明，很多学生认为递推就是把一个关于n的等式，在等号的两边添加某些项使其变成一个关于n+1的相似等式。因此，他们将数学归纳法理解为由单个数学例子得出一个一般化结论的技术性操作。在解题过程中，大多数学生并不能理解数学归纳法的内涵，只是单纯地套用一个例子的模式。学生学习数学归纳法的概念时，不能理解从P（1）跳跃到P（k）进而推导出P（k+1），解题过程中常常漏掉这一步，而丢掉这一步证明得到的结果是错误的。

其次，有些学生具有基础步骤理解的能力，可以理解第一步n=1的情况，但是对于复杂一点的情况却不能应用数学归纳法给予证明。第二步是数学归纳法教学中的难点，学生在学习的过程中容易形成思维定式，认为数学归纳法就是由P（k）成立去推导P（k+1）也成立，而没有意识到这种情况有时候是不成立的，有些题目是由P（k）成立去推导P（k+2）也成立，这些疏忽会给学生对数学归纳法的学习带来一定的困难。

再次，部分学生不能正确使用总和符号，不能正确使用基本代数论证，他们在递推步骤中，应用n去代替k+1的过程中出现困难。除了上述提到的困难之外，Ernest把学生学习数学归纳法时出现的错误理解分为6大类。我国学者认为，这些困难与相关错误出现的主要原因是学生对数学归纳法的原理理解不够透彻，而且在递推步骤的证明过程中存在多变、不易操作及学生对归纳假设存在疑虑等原因，导致在使用数学归纳法进行数学题证明的过程中常常出现错误。

三、HPM视角下数学归纳法教学

为使学生更好地理解掌握数学归纳法的相关知识，培养学生应用数学归纳法解决数学问题的能力，应将数学知识的历史演进脉络（数学史）有效融合到数学归纳法教学中，使学生在理解相关数学知识的基础上，更加科学准确地理解数学归纳法的原理与本质。将数学史融入数学归纳法的教学中，可以使教学更加符合学生的认知水平，避免数学归纳法的相关原理抽象地出现在学生面前，更利于他们对数学归纳法的理解，提高其学习兴趣，激发探索数学知识的情趣，增强自信心。

融入HPM的数学归纳法教学案例。

引入历史，呈现问题：在印度，有一个古老的传说，大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。教师拿出课前准备好的汉诺塔模型，通过游戏引导学生探索问题，并进行归纳猜想，寻找其中的规律。

教师提出是否可以运用比较简单的方式来代替这个烦琐的递进关系，进而运用递推证明教师所提出的一般性规律。首先验证n=1时规律的成立，再假设n=k时规律也成立，这时k大于等于1，由n=k时成立我们推导出n=k+1时也成立，那么得出该规律对于所有的正整数都成立。

提出数学问题，进行猜想验证：比较n2与2n的大小。首先让学生进行归纳猜想，老师通过引导使学生对猜想进行验证。

通过以上的教学及学生思考，教师对数学归纳法的原理进行叙述。根据以上的解题思路，可以将其分为两步，一是基础步骤，也就是n取第一个值的时候，这里需要注意的是n的第一个取值不一定都是1，咱们将其设为n0，这时命题成立；二是递推步骤，也就是假设n=k时，命题成立，n=k+1时，命题也成立，这时k必须满足k大于等于n0，且属于自然数，这时就可以将该命题从n=n0开始都成立，这就是我们今天要学习的数学归纳法。

最后通过练习来巩固数学归纳法。

四、基于HPM视角数学归纳法教学后学生认知的研究

把古老的汉诺塔传说引到数学归纳法教学中，可以有效激发学生的学习兴趣及强烈的探知欲望，极短的时间内就可以让学生经历挫折的沮丧及成功的喜悦，亲身体验从猜想到结论规律论证的整个过程，进而培养学生科学严谨的数学学习态度及发散思维。课程融入数学史之后，学生普遍对数学归纳法的原理掌握较好。学生通过探究问题认识到了数学的价值，认识到数学问题存在于日常生活之中，来自于平凡的生活，也应用于平凡的生活，认识到数学知识的灵活性。同时也了解到历史上的先人早就在应用这些知识，可以有效激发学生的探究欲望。在课堂中教师运用古代传说引出问题，激发学生进行猜想，使课堂上的每一位学生都激情四射，积极进行思考。同时，也有利于其在日常生活中发现数学问题，激发学生的好奇心，增强数学逻辑思维能力；融入数学史的数学归纳法教学在一定程度上促进学生的情感态度及价值观念的发展。传统的数学归纳法教学及固定模式的题型，教给学生的只是标准的答案，使学生在问题解答的时候，只能依照固定的答题步骤，生搬硬套，不利于他们个性的发展及优势的发挥。而融入数学史的教学方法，可以使学生展开想象，真正感悟数学学习的兴趣、乐趣与价值，体会数学知识与日常生活的联系，在获得成功经验的同时，增强学习数学的自信心。

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责任编辑：苏航

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1671-6531（2015）23-0094-02

夏芳/镇江高等职业技术学校讲师（江苏镇江212001）。