从近五年高考谈高师数学分析教学策略

潘永会（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义563000）



从近五年高考谈高师数学分析教学策略

潘永会
（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义563000）

摘要：如何在数学分析的教学中有机地融入中学数学的具体内容是高师数学分析教师长期研究的问题。作者对2010～2014年全国高考课标卷理科数学一元微积分试题的解答方法进行了分析，列出了高中数学函数的教学内容，对高师数学分析的教学提出了若干建议。

关键词：高考；微积分；数学分析；教学

培养学生驾驭中学教材的能力，是高等师范院校（简称高师，以下同）各专业课程的教学目的之一。如何在高师数学分析的教学中有机地融入中学数学的具体内容是数学分析教师长期研究的问题。在基础教育课程改革的背景下，近年来不少教师分析了高师数学分析教学与中学数学教学相结合的重要性，但这些文献都是从理念、意识、思想和教学手段等方面进行理论论述，很少涉及在数学分析教学中有机地融入高中数学的具体内容，尤其是结合高考试题研究数学分析教学的文献还未见发表。高考试题对高中数学教学具有重要的指导作用，研究高考试题，有利于拓宽高师教师的视野，提高对重点内容的把握。比如，近五年来在全国及各省（区、市）试卷中出现的一元微积分内容，就为高师数学分析联系高中函数与导数的教学提供了具体素材。鉴于教育部从2015年起增加了使用全国统一命题试卷的省份，因此作者选择了近五年全国课标卷理科微积分试题作为研究对象，分析了一元微积分试题的解题方法，列出了高中数学函数的教学内容（见图1），并对高师数学分析教学提出若干建议。

1近五年高考全国课标卷理科数学一元微积分试题解题方法分析

在近五年的高考全国课标卷理科数学试卷中，考核一元微积分（函数、导数、定积分）的试题约有27分，占整套试题的18%，鉴于篇幅所限，以下叙述只给出试题题号，具体内容从略。

1.1理解函数的概念，掌握函数的基本性质

此类试题以选择题或填空题的形式出现（约15分），主要考查学生理解函数概念、掌握函数基本性质的情况，试题分为以下四类。

图1人民教育出版社A版教科书高中函数内容

1.1.1判断函数的大致图形

2010年第4题和2014年一卷第6题都需要根据已知条件建立对应关系，从而判断函数的大致图形；2012年的第10题需要根据函数表达式，利用单调性判断大致图形。从试题的解答方法来看，重点考查学生理解函数的对应关系、单调性概念与图形特征的情况。

1.1.2根据分段函数确定参数的取值范围

2010年第11题和2013年一卷第11题都以含对数函数的分段函数为条件，解答需根据函数值确定参数。分段函数是在不同范围有不同对应关系的函数，这类试题利用对数函数的绝对值，结合分段函数考查学生理解函数的对应关系和利用对应值求参数的能力。

1.1.3根据函数的零点确定参数

2014年一卷第11题的解答需根据函数的零点确定参数；2011年第12题求两个函数图形的交点的横坐标之和。函数的零点是函数等于零的方程的根，两个函数交点的横坐标是两个函数相等的方程的根。这类试题主要考查学生理解“方程的根与函数的零点”的概念和掌握函数零点存在性定理的情况。

1.1.4理解函数的奇偶性、单调增减性

2011年第2题要求根据已知函数判别其奇偶性和单调性；2014年一卷第3题需根据函数奇偶性确定乘积的奇偶性；2013年一卷第16题需根据函数图形的对称性确定最大值；2014年二卷第15题需根据函数的奇偶性、单调性和定点的取值确定复合函数的定义域。这类试题主要考查学生对奇、偶函数的性质与相应图形对称性的掌握情况。

1.1.5掌握三角函数的周期与恒等变换

2011年第11题需利用三角横等变换先把函数化简，再根据最小正周期确定参数，最后求出单调区间；2013年15题需经过三角恒等变换化简函数后，根据最大值点，利用诱导公式求函数值；2012年第9题需利用正弦函数的图形特点，根据单调递减区间确定参数的取值范围。这类试题主要考查学生对诱导公式、恒等变换化简函数的掌握情况以及求最小正周期的方法。

1.2理解导数的几何意义，掌握导数在研究函数中的应用

近五年的高考试题是以综合题（12分）的形式考查学生理解导数的几何意义、掌握复合函数的求导法则和导数在研究函数中的应用情况。

1.2.1理解导数的几何意义，掌握初等函数的求导法则

2010年第3题要求根据分式函数求曲线过定点的切线方程；2011年第21题（Ⅰ）、2013年一卷21题（Ⅰ）和2014年一卷第21题（Ⅰ），都要求根据过曲线已知点的切线方程求曲线方程的参数；2013年二卷21题（Ⅰ）和2014年二卷第12题要求根据函数极值点满足的条件求参数。这类试题都需先求其导函数，再确定函数在某定点的导数，最后根据导数的几何意义求函数的参数，试题含盖了幂函数、指数函数、对数函数等初等函数以及由它们复合构成的分式函数。因此，理解导数的几何意义，掌握初等函数的求导法则是解此类试题的要点。

1.2.2利用导数讨论函数的单调性，根据单调性解不等式，确定参数的取值范围

2010年第21题（Ⅰ）、2012年第21题（Ⅰ）、2013年二卷第21题（Ⅰ）和2014年二卷第21题（Ⅰ）都需要利用导数讨论初等函数的单调性，确定单调区间；2010年第21题（Ⅱ）、2012年第21题（Ⅱ）、2013年两套试卷的第21题（Ⅱ）和2014年两套试卷的第21题（Ⅱ）都需要利用导数确定函数的单调增、减区间，再通过单调增、减性研究不等式，从而确定待定参数的取值范围。

1.3理解定积分的几何意义，掌握简单定积分的计算方法

2010第13题考查定积分的计算方法，2011年第9题考查用定积分计算平面图形的面积。

2对高师数学分析教学的几点建议

显然，上述高考内容也是高师数学分析一元微积分的基础内容。“高师数学教育专业课程改革要与中小学课程改革同步[7]”，应当“将数学应用的重点摆在服务于基础教育、引导学生以高观点理解中学数学的相应内容、指导基础教育课程改革的实施等方面[8]”。因此，作者认为可从以下方面入手，将高考内容有机地融入高师数学分析的教学。

2.1指导学生对比分析高中数学的相关内容

指导学生对比分析数学分析与高中数学在认识原理、解决问题的思想和方法之间的联系和差异。如：高中函数的概念与数学分析中函数定义之间的联系；函数的导数的几何意义、物理意义，函数极值点的几何意义等，这样就可以让学生进一步理解高中阶段学习微积分初步的意义、目标和要求，把握高中阶段微积分初步和数学分析课程中相关概念呈现方式不同以及本质的一致性，为今后从事高中数学教学打下基础。

2.2加强高考重点内容的教学，提高教学的针对性

从上述高考试题分析可知：利用函数的对应规则判断函数的大致图形、利用分段函数加深对函数对应关系的认识、根据函数的零点确定待定参数、掌握函数的奇偶性与图形特点、利用三角恒等变换化简函数后求最小正周期、理解导数的几何意义、掌握初等函数的求导法则、用导数讨论函数的单调性、根据单调性解不等式从而确定参数的取值范围、理解定积分的几何意义和掌握定积分的计算方法等是高考的重点内容。高考的这些重点内容都是数学分析的基础内容，往往不被教师重视，高师学生对这部分内容也认识肤浅，这就导致学生在从事中学数学教学时不能以高观点驾驭教材。指导学生认识这些内容的重要性，既能结合中学数学教学内容激发学生学习的积极性，又能利用高考试题提高学生驾驭中学教材的能力。

2.3选取渗透高等数学思想的典型高考试题作为教学内容

近年来，在高考数学试卷中出现了很多融入高等数学思想的试题，随着课改的深入，这类试题在高考试卷中的比例有明显提高的趋势。在数学分析教学中将高考试题特别是将蕴含抽象数学语言、极限、无穷、微分、积分等高等数学内容的高考试题作为教学内容，指导学生在高观点下认识和解决初等数学问题，不仅有利于提高学生解决问题的能力，也有利于提高学生对中学数学内容本质的认识，还可以加强学生对定量数学与变量数学关系的理解。

2.4指导学生用高观点解答高考难点试题，提高学生的解题能力

从上述高考试题的解法分析来看，结合图形认识函数的本质、根据函数性质求待定参数、分析复合函数的复合过程以掌握其求导法则、利用函数单调性解不等式并求待定参数、利用积分求平面图形的面积等内容是高中数学学习的难点，而这些内容都是体现高等数学思想的初等数学问题。如果在数学分析教学中，教师能够让学生对这些问题有足够的认识，让学生认识到这些问题设置的目的和意义，指导学生在今后的教学中突破难点，将有利于提高学生的中学数学教学能力。

3结束语

上述建议仅仅是根据对近五年高考全国理科课标卷数学试题的解答分析所得，由于篇幅所限，不能对其他各省（区、市）的试题作一一分析，所以见解难免肤浅,也未能将其他版本的高中数学教科书脉络列出。建议高师数学分析教师结合教学需要，查阅相关资料，充实自己的教学内容，也希望有不同见解的教师提出宝贵意见。

参考文献:

[1]胡洪萍,马巧云.新课标体系下高师数学分析教学与中学数学衔接的探索[J].教育探索,2008,(9):63-64.

[2]何天荣.新课程理念在高师《数学分析》教学中的实施[J].科技信息,2010,(33):593.

[3]黄永辉,盖功琪,宋士波.新课标下高师数学分析课程的教学改革[J].哈尔滨学院学报,2012,33(10):116-118.

[4]盛兴平,王海坤.新课标下高师数学分析教学实践与研究[J].大学数学,2013,29(1):11-14.

[5]刘剑.浅谈数学分析对中学数学的指导作用[J].课程教育研究,2012,(27):9-11.

[6]邱勇.数学分析对中学数学的指导作用[J].时代教育,2013, (7):147.

[7]杨慧娟.数学教育价值的重新审视[J].数学教育学报,2010,19 (4):96-97.

[8]赵兴杰.论西部地方高师数学专业课教学的师范性与学术性[J].数学教育学报,2010,19(4):85-87.

[9]郭玉峰,刘佳.师范院校学生“导数”内容知识和教学内容知识理解情况的调研[J].数学教育学报,2014,23(1):57-62.

（责任编辑：朱彬）

On the Teaching Strategies of Math Analysis in Normal Colleges from the Past Five College Entrance Exams

PAN Yong-hui
(School of mathematics and computer sciences, Zunyi Normal College, Zunyi 563002,China)

Abstract:How to integrate the specific contents of the middle school mathematics into the teaching of mathematical analysis is supposed to be a problem worthy to be looked at by math teachers. The author of this paper makes an analysis of the solutions to calculus questions from Math Paper in the national college entrance exams from 2010 to 2014, lists the teaching contents of function in senior high school, and puts forwards several suggestions as to how to teach math analysis in normal colleges.

Key words:college entrance exam; calculus; math analysis; math

作者简介：潘永会，女，贵州遵义县人，遵义师范学院数学与计算科学学院副教授，主要从事数学教学研究。

基金项目：贵州省教育科学院基础教育科研课题（2012B280）；遵义师范学院教研课题（13-39）

收稿日期：2015-06-12

中图分类号：G642.0

文献标识码：A

文章编号：1009-3583（2015）-0083-03