谈数形结合在高中数学中的应用
2015-03-13李春长
李春长
【摘要】用数形结合来解题，不仅是高中数学的重要解题方法，而且是一种重要的思维方法，也是衔接代数与几何的纽带，数形结合方法的应用有助于教师提高教学的效果，有助于学生提升解题的效率和速度。
【关键词】数学 数形结合 效率
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）01-0156-01
“数”与“形”反映了数学两个方面的属性。数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合方法的应用有助于学生理解题意，探求解题思路，检验解题结果，避免冗繁的代数运算，从而能迅速准确地作出解答。
一、数形结合思想对高中数学的意义
（一）数形结合能够提高教学效果
高中数学是对学生抽象思维和具体思维的全方位考验，教材和试题的编写侧重对学生的锻炼与启发，出题的过程中，只是单独给出数据或者图形，这就需要教师在展现解题步骤的过程中，补充相应的图形或数量，数形结合方法的运用有助于学生理解题目的含义，准确地分析和把握解题思路，实现思维的转化。同时规范的图形可以对教师正确传达解题方法、启发和培养学生思维、提高教学效果起到事半功倍的效果。
（二）数形结合能够提高解题速度和效率
从高中数学的知识体系来看，复杂、抽象的知识比较多，学生单凭教师的口头描述和自己的苦思冥想是无法解出习题答案的，尤其是在课下做题的时候，如果缺少恰当的方法，只能是事倍功半。但事实上，一些看似复杂的方程或等式，都可以图象来找到思路。例如给出等式（x-3）2+y2=9，求y/x的最大值时，如果单靠代数法解方程是不容易得出答案的，但如果先画出图形以（3，0）为圆心、以3为半径的圆，通过看图形的位置，就能轻易看出求的是斜率。
三、数形结合的应用范围
高中数学中数形结合是最常用的解题方法，该方法适用的范围包括代数、几何与解析几何题型，基本涵盖了整个高中数学的知识模块，具体应用范围如下：
（一）解决集合问题：即在集合运算中借助于数轴、维恩图来处理集合交、并、补等运算。
（二）解决函数问题：即借助于图象来研究函数的性质，例如对称性、周期性。
（三）解决方程与不等式的问题：在处理方程问题时，有两种方法可以求得方程的根，一种是算术法计算，第二种就是通过画图看图象与X轴的交点个数确定方程的根；处理不等式时，从题目的条件出发，联系相关函数，从图形上找出解题的思路。
（四）解决三角函数问题：三角函数的单调区间与周期问题是学生学习的难点，数形结合的应用可以处理此类问题，通过图象的走向可以准确确定三角函数的增区间与减区间。
（五）解决线性规划问题：线性规划问题往往解决的是实际应用问题，即在约束条件下求目标函数的最值的问题，数形结合能准确判断最值出现的区域和交点。
（六）解决数列问题：即通过研究数列的特征，根据通项公式以及给出的前n项分析数列的基本规律，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
（七）解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，它是数形结合存在的基本依据。它主要将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
（八）解决立体几何问题：立体几何中通过用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系用代数运算的方式代替，简化了运算步骤，减小了抽象思维带来的困难。
四、数形结合的实施原则
数形结合在高中数学中的应用范围广泛，并且就效果而言，无论是对于教师授课，还是学生自己解题，数形结合都简化了解题过程、化抽象为具体，提高了解题的速度和效率。但是要想更好地掌握数形结合的思想，教师还应该在方法传授的过程中注意以下几点：
（一）根据题中给出辅助图形的情况，教师要指导学生仔细读题，分析给出的条件，认真观察图形，分析图形中所包含的数量关系。
（二）根据纯文字题型，教师要引导学生学会画相关的辅助图，并且是准确的绘制图形，以便清晰地表现出数量间的关系。
（三）在整个过程中，教师要始终把“数”与“形”的对应关系作为传授方法的关键点，只有让学生明白数形结合的精髓，才能使其将数形结合灵活应用于数、形间的转化。
综上，数形结合的实质就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，将抽象思维和形象思維结合起来，尽量实现抽象思维到形象思维的转化。数形结合的方法提高了教师的数学教学效果，同时提高了学生的解题速度和效率，它的应用贯穿高中数学知识的各个模块，它也是学生学好、学通数学的关键。作为教师应把传授学习方法作为授课的主要任务，尽量帮助学生做到在解决代数问题时立即想到它对应的图形、找准数量间的关系，从而启发思维，找到解题之路。
参考文献：
[1]阎月娈，张军峰.数形结合在解题中的应用[J].保定师范学院，2003，（2）
[2]隋新.函数图像解析[D].吉林大学，2008
[3]崔文华.数学教学中培养学生良好的思维品质[J].科技信息.2009
