M-张量的更多性质

王 翔，杨瑞娟

(天津大学 理学院 数学系，天津300072)

M-张量的更多性质

王 翔，杨瑞娟

(天津大学 理学院 数学系，天津300072)

在实际问题中，张量有着非常广泛的应用，因此张量性质的研究尤为重要.M-张量是张量的一种，对超图研究很有帮助，研究M-张量并得出一些性质，定义了超图的Laplacian张量，举例说明M-张量的性质有利于对超图的研究.

M-张量；谱半径；超图

许多科学领域，我们常常把数据表示成高维数组的形式，这就很自然的提出了张量这个工具，而高阶张量是矩阵的推广，在实际问题中有着非常广泛的应用，像经济学、计算数学、数据挖掘及分析、信息科学、信号处理、图像处理、网页排序、超图等. 高阶张量的特征值问题首先是由Qi和Lim 在文献[1-2]中分别独立的提出来的. 在最近几年，非负张量的最大特征值问题备受关注. Chang等在文献[3]中将P-F定理从非负矩阵推广到了非负不可约张量上，并且将非负不可约矩阵的Collatz最小最大值定理也推广到了非负不可约张量上. 在P-F定理的进一步结果中[4]，Yang等进一步的证明了非负张量Perron-Frobenius定理，并且给出了张量的谱半径的定义. 随之求张量谱半径的算法也相继被提出. 近来具有各种特殊特征的张量被广泛研究， 如正张量、素张量、非负不可约张量、本质正张量、弱正张量等， 对这些张量的研究主要集中在谱半径的几何单性， 各种张量之间的关系，计算谱半径的算法.

文献[5]基于M-矩阵推广定义了M-张量并研究了其性质，同时也说明了测试一个偶次多元函数的正定性等价于验证其对应的偶阶张量是否为一个M-张量. 在此基础上，本文给出更多M-张量的性质，并提出研究M-张量的性质对超图的研究很有帮助.

1 预备知识

定义 张量是一个多维数组，一个实的m阶n维张量A是由nm个元构成:ai1…m∈R,其中j=1,…,m,ij=1,…，n. 一个m阶n维张量称为非负的(正的)，如果(ai1…im≥0)(ai1…im>0).

定义 一个m阶n维非负张量称为可约的，如果存在一个非空真子集I⊂{1,…,n}使得

ai1…im=0,∀i1∈I,∀i2,…,imI

否则为不可约张量.

定义 如果存在(λ,x)∈C×Cn使得Axm-1=λx[m-1]，那么称λ为张量A的一个特征值，x为张量A的一个特征向量.

定义 张量A的谱半径ρ(A)=max{|λ|:λ是A的特征值}.

定义 一个实的m阶n维张量A称为M-张量， 如果存在一个非负张量B使得A=cI-B， 其中c≥ρ(B).

定理 如果A是一个m阶n维的非负张量， 那么存在一个特征值λ0≥0及特征向量x0≥0.

定理 如果A是一个m阶n维的不可约张量， 那么存在一个特征值λ0>0及特征向量x0>0.

2 主要结论

证明：假定y0是张量A对应于ρ(A+B)的特征向量， 即

则

又因为B是非负对角张量， 所以上式

结论成立.

定理5 设A是一个m阶n维M-张量，任意一个m阶n维的正对角张量D，那么A+D也是M-张量.

定义7 令非空子集I⊂{1,2,…,n}，如果A(I)是一个m阶|I|维张量，其中元素al1…lm∈A且ii,…im∈I，那么A(I)称为张量A的主子张量.

定理6M-张量的主子张量仍未M-张量.

证明:由M-张量和主子张量的定义可以得到结论.

定理7 设A是一个m阶n维M-张量，A=cI-B，c≥ρ(B)，其中B是不可约张量，那么

1)存在一个n维向量x>0，使得Axm-1≥0.

2)若c=ρ(B)，那么0是A的一个特征值.

证明：1)因为B是不可约张量，根据定理3[3]，存在向量x>0，使得

Bxm-1=ρ(B)x[m-1]=(cI-A)x[m-1]，

则有Axm-1=(c-ρ(B))x[m-1]≥0.

2)若c=ρ(B)， 由1)知Axm-1=0=0×xm-1，则结论成立.

3 举 例

由图的Laplacian 矩阵，我们推广定义m一致超图的Laplacian 张量.

定义8 一致超图的Laplacian 张量Q=D-A，其中D是对角张量且D的对角线上元素di…i是顶点vi的价(1≤i≤n).

根据M-张量的定义和定理1知超图的Laplacian 张量是M-张量.

Laplacian 张量的谱包含了超图的重要信息， 如超图的连通性， 半径， 生成性质， 极大分割， 独立数，等等. Laplacian 张量又属于M-张量， 所以M-张量的研究对研究超图有很大作用.

[1] QI L Q. Eigenvalues of a real supersymmetric tensor [J]. Journal of Symbolic Computation, 2005, 40(6): 1302-1324.

[2] LIM L H. Singular values and eigenvalues of tensors: a variational approach [J]. Proceedings of the IEEE international workshop on computational advances of multi-tensor adaptive processing, 2005, 1: 129-132.

[3] CHANG K C, PEARSON K, ZHANG T. Perron Frobenius Theorem for nonnegative tensors [J]. Comm. Math. Sci., 2008, 6 (2): 507-520.

[4] YANG Y N, YANG Q Z. Further results for Perron-Frobenius theorem for nonnegative tensors [J]. SIAM Journal on Matrix Analysis Application, 2010, 31(5): 2517-2530.

[5] ZHANG L, QI L, ZHOU G. M-tensors and the positive definiteness of a multivariate form [R] .arXiv: 1202. 6431 [math. NA], 2012.

Further properties ofM-tensors

WANG Xiang, YANG Rui-juan

(Department of Mathematics, School of Science, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Tensors have a wide range of applications in actual problems,the study for properties of tensors is very important.M-tensor is one of tenors and is helpful for the study of hypergraph. This paper gave further results about property ofM-tensor, define Laplacian tensor of hypergraph and illustrate it that the properties ofM-tensor were good for study of hypergraph.

M-tensor;spectral radius; hypergraph

2014-03-23.

王 翔(1988-)，女，硕士，研究方向：张量.

O151

A

1672-0946(2015)01-0087-03