定义在锥K上的张量互补问题解集的性质研究*

郑红茹，谷伟哲

（天津大学数学学院，天津 300350）

0 引 言

互补问题是指决策变量之间达到某种平衡的一类问题.与博弈论、极大与极小、有限维变分不等式[1]等数学分支有密切联系，在结构工程、力学、交通和经济等领域有着广泛的应用[2-5].而张量互补问题则是一种特殊形式的互补问题.生活中很多问题都可以归结为张量互补问题，如 Huang和 Qi[6]将n人非合作博弈重新定义成张量互补问题，并应用光滑型算法得出了数值结果，这在管理科学中是一个有趣的应用.

给定一个数学模型，其是否有解或有唯一解，一般情况下是不容易弄清楚的.迄今张量互补问题解的存在性、唯一性、有界性以及误差界在很多文献中都有研究[7-12].Song 和 Qi[8]讨论了（严格）半正张量涉及的张量互补问题解的存在性，以及半正对称张量和协正对称张量的等价性；Che等[10]讨论了协（对称）正定张量以及可对角化张量涉及的张量互补问题解的存在性和唯一性；Song和Qi[12]讨论了Q-张量和主对角元素均为正数的非负张量的等价性，并证明了当q≥0时，非负Q-张量涉及的张量互补问题只有唯一的可行解为0.

在上述文献研究基础上，本文在尖闭凸锥K上定义了K-协正张量、K-严格协正张量、K-ER张量、K-R0张量以及K-R张量，并讨论了其涉及的张量互补问题解集的性质.

1 预备知识

2 结构张量

3 解集的性质

4 结 论

本文在尖闭凸锥K上定义了K-协正张量、K-严格协正张量、K-ER张量、K-R0张量以及K-R张量这5种结构张量，并讨论了相互关系.同时，证明了K-（严格）协正张量涉及的张量互补问题解集的唯一性、K-R0张量涉及的张量互补问题解集的有界性以及K-R张量涉及的张量互补问题解集的紧性.后续将进一步研究尖闭凸锥K上的张量互补问题解的稳定性和连续性.