利用二次型理论精确求解双模耦合谐振子本征能级

林 蓉

(菏泽学院 物理与电子工程系，山东 菏泽，274015)

利用二次型理论精确求解双模耦合谐振子本征能级

林 蓉

(菏泽学院 物理与电子工程系，山东 菏泽，274015)

当两粒子在势场中运动时，由于两粒子之间存在相互作用，所以体系的哈密顿量必然会多出一项相互作用的耦合项.由于此耦合项的存在，使得体系本征能级的求解出现困难.本文主要介绍利用线性代数中的二次型定理，作一个线性变换消除其中的耦合项，并且此变换也不会引起本征能级的改变，也因此使其变成一个一般的二维势场问题，便可以精确求出其本征能级.

二次型；对角化；变换矩阵；耦合项

0 引 言

在量子力学、量子光学、分子光谱及介观耦合电路量子化等领域，经常遇到一系列耦合谐振子问题，因此研究耦合谐振子的解显得尤为重要，解决此类问题的关键是将体系的哈密顿算符对角化，进而去除耦合项.近年来，研究此问题的文献[1-6]众多，比如利用微扰论和坐标变换研究两个坐标耦合谐振子的能量本征值问题[4],文献[5]研究了3个非全同谐振子哈密顿量的退耦问题，文献[6]研究了n模坐标耦合问题.本文利用二次型理论，通过一个线性变换消除其中的耦合项，使其变成一个一般的二维势场问题，从而可以求出谐振子体系能量本征值的精确解.对于一般的相互作用的耦合谐振子体系的哈密顿量可表示为

其中，m为谐振子的质量，x为坐标，p为动量算符.

1 表象变换

1.1 求幺正变换矩阵

于是得幺正变换矩阵为：

(1)

1.2 变换后的哈密顿量

(2)

对复合函数求偏导可得：

由上式复合函数的偏导可以看出：

(3)

由(2)和(3)可得：

(4)

将(4)式代入体系的哈密顿量中得

2 证明变换后表象的完备性

同理可得

(5)

由此证新表象满足正交完备的关系因此可以用新表象来作变换代替原来的表象

3 体系的本征能级

3.1 体系的本征函数

变换得到的哈密顿量我们可以设体系的波函数

(6)

将(2)代入(6)中得

3.2 体系本征能级

所以体系哈密顿量精确求解的本征能级

4 结 论

利用二次型定理通过表象变换可简便的求出体系的本征能级.这为量子力学增加了新的活力.如果是n模的耦合谐振子也可以用此方法利用二次型定理求出变换矩阵通过表象变换得到n维谐振子的形式便可以很容易的求出本征能级.

[1] 琚泽志，李文波.二模谐振子能谱研究[J].大学物理，2013，32(8)：35-40.

[2] 李凤敏.磁场中三维各向异性谐振子哈密顿量的对角化[J].物理与工程，2015,25(1)：39-43.

[3] 胡孔云，孔曌君，徐园，杨涛，等.耦合谐振子体系能谱的不变本征算符求解法[J].安徽工业大学学报(自然科学版),2013,30(2):178-181.

[4] 曾谨言. 量子力学[M].北京：科学出版社,1999.512-518.

[5] 稽英华，雷敏生.三个非全同耦合谐振子哈密顿量的退耦合[J].大学物理，2001，20(10):24-25.

[6] 逮怀新，张永德.各向异性n模耦合谐振子的精确求解[J].大学物理，2000,19(5):19-20.

[7] 同济大学数学系.工程数学线性代数(第5版)[M].北京：高等教育出版社，2007.124-127.

[责任编辑：徐明忠]

Solving quadratic precision using mode coupling theory of intrinsic energy levels of harmonic oscillator

LIN Rong

(Department of Physics and Electronics, Heze University, Heze 274015,China)

When two particles moving in the potential field, due to the interaction between two particles. Therefore, the Hamiltonian system is bound to a more interaction coupling. Since the existence of this coupling term system will be in demand when the intrinsic difficulty level, this paper is to introduce the use of linear algebra in the secondary type theorem for a linear transform in which the coupling term, and the nature of this transformation does not lead to changes in the intrinsic energy level, and therefore it becomes a normal two-dimensional potential field problem, we can precisely calculate its intrinsic energy level

quadratic; diagonalization; transformation matrix;coupling term

2015-03-26;

2015-04-20

菏泽学院自然科学基金项目(XY13KJ04)

林蓉(1989-)，女，山东定陶人，菏泽学院助教，硕士，主要从事非线性光学方向和量子力学的研究.

O413.1

A

1672-3600(2015)06-0044-03