六圆弧蛋形断面共轭水深计算方法的研究

张志昌，贾 斌，李若冰

(西安理工大学 水利水电学院，陕西 西安 710048)

六圆弧蛋形断面共轭水深计算方法的研究

张志昌，贾 斌，李若冰

(西安理工大学 水利水电学院，陕西 西安 710048)

【目的】 建立明渠六圆弧蛋形断面水跃共轭水深的计算方法，为该断面的设计提供支持。【方法】 通过分块计算六圆弧蛋形断面不同水深时的面积、分块形心位置和总形心位置，并以此为依据分析相对面积、相对形心位置与相对水深的关系，根据动量方程研究并建立水跃共轭水深的计算方法。【结果】 给出了不同水深时六圆弧蛋形断面形心和面积的计算公式以及水跃共轭水深的试算方法；拟合了相对断面形心和相对面积与相对水深的关系，给出了水跃共轭水深的简化迭代计算公式，并验证了公式的收敛性。与采用理论公式的试算法相比，简化计算方法对同一算例的跃前、跃后水深计算误差分别为0.04%和0.16%。【结论】 推导的水跃共轭水深的试算法和简化计算方法，其计算精度完全可以满足工程实际要求，可为工程设计提供参考。

六圆弧蛋形断面；水跃；共轭水深；简化计算

水跃是明渠水流从急流向缓流过渡时发生的一种水面突然跃起的局部水流现象。对于矩形断面,水跃共轭水深已有理论计算公式[1]，而对于其他断面，由于形状复杂，水跃共轭水深不易计算。近年来，学者们对复杂断面的水跃共轭水深进行了很多研究。王学斌等[2]通过求解一元四次方程，得到了梯形断面水跃共轭水深的精确解，但其计算过程仍比较繁琐。为了简化计算，刘计良等[3]根据水跃函数曲线的性质和几何意义，提出了梯形断面水跃共轭水深的简化计算公式；孙道宗[4]给出了梯形断面水跃共轭水深的迭代方法；赵延风等[5]通过引入单位水面宽度的概念，提出了梯形断面共轭水深的直接计算公式；马吉明等[6]研究了城门洞型及平底马蹄型隧洞内的水跃计算方法，由于计算比较复杂，仅给出了水跃共轭水深的计算曲线。张志昌等[7]和李若冰等[8]研究了U型渠道、标准Ⅰ型马蹄型断面水跃的共轭水深，并给出了详细的推导过程和计算步骤。

常见的蛋形断面分为四圆弧和六圆弧2种形式，被认为是最优的受力断面[9]。四圆弧蛋形断面常用于城市排水，关于其过流能力和临界水深已有一些研究成果[10-12]。六圆弧蛋形断面常用于大型的水利工程，例如湖南省临澧县青山水轮泵站灌区的冉铺湾隧洞[13]、湖南衡东县的白莲灌区武家坳隧洞[14]均采用六圆弧蛋形断面，但目前对于其水力计算的研究甚少，仅有文献[15]给出了临界水深的计算方法，对于水跃共轭水深的研究尚未见相关文献报道。为此，本研究详细推导了六圆弧蛋形断面不同水深时断面面积和断面形心的计算过程，并从水跃的基本方程出发，给出了水跃共轭水深的试算计算方法；为了简化计算，还拟合了相对断面形心和相对面积与相对水深的关系，给出了共轭水深的简化计算公式，以期为六圆弧蛋形断面的设计与计算提供参考。

1 六圆弧蛋形断面的形状及参数

六圆弧蛋形断面如图1所示，该断面由6段圆弧组成，其中弧ab、ce、df半径最大，均为r1，弧ef的半径r2=0.426 042r1，弧ac、bd的半径r3=(17/56)r1，弧ab的半角α1=25.375°，弧ef的角度α2=121.183 8°，弧ce、df的角度α3=29.408 1°，弧ac、bd的角度α4=40.128 11°，渠道最宽处宽度cd与最大半径r1相同。由于六圆弧蛋形断面的复杂性，现以图1中的ab、cd、ef处作为分界线，对应的水深分别为hab、hcd、hef，因此可以将断面水深分为4个部分，即h≤hab、hab≤h≤hcd、hcd≤h≤hef和hef≤h。

由图1可以看出，底部弓形的高度hab和两侧扇形断面的高度h2分别为：

hab=r1-r1cosα1=r1(1-cos 25.375)=0.096 478r1，

h2=r3sinα4=r3sin 40.128 11=0.644 499r3=0.195 651 4r1。

2 六圆弧蛋形断面不同水深时面积和形心位置的计算

2.1 水深处于底部弓形断面(h≤hab)

如图2所示，φ为水深处于底部弓形断面时对应的半圆心角，0<φ≤25.375°，A0为计算区域断面面积，yc0为计算区域形心距水面的距离。当h≤hab时，断面面积A和形心距水面的距离yc为：

(1)

yc=yc0=4r1sin3φ/[3(2φ-sin 2φ)]-r1cosφ。

(2)

水深计算公式为：h=r1-r1cosφ。

(3)

2.2 水深处于最大宽度(含最大宽度)以下(hab≤h≤hcd)断面

水深处于最大宽度以下断面时，断面面积和形心距水面的距离如图3所示。将计算区域分为底部、两侧弓形和中央梯形4个部分计算，其面积分别为A1、A2、A3、A4，对应形心距水面的距离分别为yc1、yc2、yc3、yc4，则由图3的几何关系可得：

ab=2r1sinα1=2r1sin 25.375=0.857 082r1，

c1d1=r1-2r3(1-cosβ)=[11/28+(17/28)cosβ]r1，

A4=0.5(ab+c1d1)(h2-r3sinβ)=

[0.624 969 5+(17/56)cosβ][0.195 651 4-

h3=(r1/2)tanα3=(r1/2)tan 29.408 1=0.281 829r1。

将A1、h3、r2=0.426 042r1、r3=(17/56)r1代入yc1得：

则断面面积A和形心距水面的距离yc为：

(4)

yc=(A1yc1+A2yc2+A3yc3+A4yc4)/A=(A1yc1+2A2yc2+A4yc4)/A。

(5)

水深计算公式为：

h=hab+h2-r3sinβ=0.292 129 4r1-(17/56)r1sinβ。

(6)

式中：0≤β≤40.128 11°。

2.3 水深处于ef线(含ef线)以下(hcd≤h≤hef)断面

将r3=17r1/56，h2=0.195 651 4r1，α1=25.375°，α4=40.128 11°代入以上各式，整理得断面面积A为：

(7)

则断面形心距水面的距离为：

(8)

水深计算公式为：

h=hab+h2+r1sinβ1=0.292 129 4r1+r1sinβ1。

(9)

式中：0≤β1≤α3。

图4 水深处于ef线(含ef线)以下断面
Fig.4 Water depth at theefline of cross section

图5 水深处于ef线以上断面内
Fig.5 Water depth in the upper bow of cross section

2.4 水深处于顶部弓形ef线以上(hef≤h)断面

则断面面积A为：

(10)

形心距水面的距离分别为：

断面形心距水面的距离yc为：

(11)

水深的计算公式为

h=hab+h2+r1sinα3+r2[cos (α2/2-β2)-

cos (α2/2)]=0.292 129 4r1+r1sinα3+

0.426 042r1[cos (α2/2-β2)-cos (α2/2)]。

(12)

式中：0≤β2<α2/2。

3 共轭水深的计算

水跃共轭水深的一般计算公式[1]为：

(13)

式(13)可以写成：J(h′)=J(h″)。

(14)

式中：h′、h″分别为跃前、跃后断面水深。

水跃方程的计算一般采用试算法，根据跃前和跃后水深位置的不同，其组合形式见表1。

4 断面面积和形心的简化计算方法

由以上推导过程可以看出，除了水深处于底部弓形断面内时，断面面积和形心计算比较简单外，当水深处于底部弓形断面以上时，水跃共轭水深的计算十分复杂，计算工作量大。为了简化计算，本研究分析了水深大于底部弓形断面时的相对形心、相对面积与相对水深的关系，结果见图6和图7。由图6和图7拟合可得：

yc/r1=0.126 3(h/r1)3-0.052 7(h/r1)2+
0.460 7h/r1-0.005 5，

(15)

(16)

公式(15)和(16)的相关系数均为0.999 9。在h/r1=0.095～0.960时，公式(15)的平均误差为0.585%，最大误差为1.7%；公式(16)的平均误差为0.337%，最大误差为0.71%。

(17)

式中：y″c和A″用公式(15)和公式(16)计算，计算时公式(15)、(16)中的h用h″代替。

如果已知跃后断面水深h″，则可由公式(13)计算出J(h″)，跃前断面相对水深的迭代公式为：

(18)

由式(17)、(18)可以看出，h″/r1和h′/r1均小于1，所以迭代的初值在0到1之间选取。

下面证明公式的收敛性。先证明公式(17)，公式(17)可以写成下面的函数关系

(19)

对式(19)求导数，得：

式中:φ′(h″/r1)为函数φ(h″/r1)对h″/r1的求导。

将上式写成：

由水跃方程可知：

由上面的水跃方程可得：

由此得：

(20)

对公式(15)和公式(16)求导数，得：

(y″c/r1)′=0.378 9(h″/r1)2-0.105 4(h″/r1)+0.460 7，

(21)

(22)

式中：Ak为临界水深对应的面积，Bk为临界水深对应的水面宽度。

将上式变形为：

(23)

将公式(23)代入公式(20)，得：

(24)

现证明公式(18)的收敛性，与公式(17)的类似，设：

(25)

对式(25)求导数，得：

(26)

由水跃方程可知：

Q2/(gA′)+A′y′=J(h″)。

上式可以变形为：

(27)

(28)

将公式(16)、(27)和(28)代入公式(26)，可得：

(29)

需要强调的是，公式(17)、(18)适应于跃前和跃后断面水深在底部弓形断面以上(图1中ab线以上)的情况。跃后水深大多数情况下均在底部弓形断面以上(图1中ab线以上)，在用公式(18)计算时，如果求得的跃前断面水深h′

算例 某泄洪隧洞采用六圆弧蛋形断面，已知六圆弧蛋形断面的最大半径r1=10 m，消力池以上总水头E0=50 m，流速系数φ=0.86，渠道通过的流量Q=150 m3/s，试判断是否会发生水跃，若发生水跃，试计算跃后水深。

已知六圆弧蛋形断面参数如下：

r2=0.426 042r1=4.260 42 m，

r3=17/56r1=3.035 71 m，

α1=25.375°，α2=121.183 8°，

α3=29.408 1°，α4=40.128 11°,

hab=r1(1-cosα1)=0.964 78 m，

h2=0.195 651 4r1=1.956 51 m。

解法一：用理论公式计算水跃共轭水深。坝趾收缩断面以上的总水头E0为：

临界水深用公式(23)计算，假定临界水深处于最大宽度以上且顶拱以下的断面内，临界水深对应的面积Ak和临界水深hk分别用公式(7)和公式(9)计算，计算时将公式中的β1用β1k表示，其中下标k表示临界关系，则：

hk=0.292 129 4r1+r1sinβ1k。

临界水深对应的水面宽度Bk由图4的几何关系获得：

Bk=r1(2cosβ1k-1)。

由以上公式试算得β1k=2.403 6°，临界水深为3.341 m，大于跃前断面水深，因此会发生水跃。

即当跃后水深为9.384 1 m时，计算的J(h″)与J(h′)近似相等，此时的水深即为跃后水深。

解法二：用简化公式计算水跃共轭水深。仍假定跃前水深大于底部弓形断面，跃前断面面积用公式(16)计算，则跃前断面相对水深的迭代公式为：

将跃前断面的水跃函数J(h′)、流量Q和r1代入公式(17)，迭代得h″/r1=0.939 916 7，即跃后水深为h″=9.399 167 m，验算得J(h″)=410.269 m3。求得的跃后水深与理论公式计算的跃后水深相差0.16%。

5 结 语

本研究根据水跃的一般方程和断面分割法，研究了六圆弧蛋形断面水跃共轭水深的计算方法，给出了详细的推导过程，通过优化拟合，得出了六圆弧蛋形断面底部弓形以上的相对形心和相对断面面积的简化计算公式。与采用理论公式的试算法相比，简化计算方法对同一算例得到的跃前水深相差0.04%，跃后水深相差0.16%，表明该计算结果与传统试算法一样精确，但该公式形式简单，计算方便，计算精度完全可以满足工程实际要求。

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Calculation method of conjugate water depth of egg-shaped cross section with six arcs in open channel

ZHANG Zhi-chang,JIA Bin,LI Ruo-bing

(InstituteofWaterResourcesandHydro-electricEngineering,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an,Shaanxi710048,China)

【Objective】 The calculation method of conjugate water depth of egg-shaped cross section with six arcs in open channel was established to support the design of this kind of section.【Method】 Blocking method was used to calculate areas and centroids under different water depths,and the relationships between relative area,relative centroid position and relative depth were analyzed.Then the calculation method of conjugate water depth of egg-shaped cross section with six arcs was established according to momentum equation.【Result】 The computational formulas of centroids and areas of egg-shaped cross section with six arcs under different water depths and trial method of conjugate water depth were established.The relationships between the relative area,relative centroid position and relative depth were fitted,the simplified calculation method and processes of conjugate water depth were supplied and the convergence was verified.Compared with the theoretical formula of trial method,the errors of depths before and after water jump by simplified calculation method were 0.04% and 0.16%,respectively.【Conclusion】 The accuracy of simplified calculation method for conjugate water depth met the requirement of actual projects.

egg-shaped cross section with six arcs;hydraulic jump;conjugate water depth;simplified calculation

2013-09-22 [作者简介] 张志昌(1954-)，男，陕西西安人，教授级高级工程师，主要从事明渠测流、高速水流等研究。 E-mail:zhangzhichang1954@163.com

时间:2014-12-12 09:30

10.13207/j.cnki.jnwafu.2015.01.025

TV133+.1

A

1671-9387(2015)01-0220-09

网络出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1390.S.20141212.0930.025.html