压实膨润土膨胀变形的分形计算方法

项国圣，姜 昊，徐永福

（上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海 200030）

1 引言

压实膨润土因具有极低的渗透性、极高的吸附性和膨胀自愈性能，是理想的缓冲回填材料[1－2]。计算膨润土膨胀特性常用的理论为双电层（DDL）理论[3－5]。然而采用DDL理论计算膨胀特性具有一定的局限性。Tom等[6]指出，DDL理论低估了蒙脱石的初始膨胀变形，在初始阶段DDL理论与试验数据之间有所偏离。

Laird[7]总结出膨润土的膨胀有6种过程：晶体膨胀、双电层膨胀、蒙脱石颗粒的分解与形成过程、交换性阳离子的分层、体积协同膨胀和布朗膨胀。Liu[8]认为，压实膨润土的膨胀状态可分为晶层膨胀和双电层膨胀，而其他过程对于压实膨润土膨胀状态不重要，并指出DDL理论在研究双电层扩散时具有较好的实用性，能准确计算膨润土的膨胀特性，但对于晶体膨胀的情况，DDL理论计算误差较大。

DDL理论预测膨润土的膨胀性质时将膨润土颗粒的表面作为光滑平板，但实际上膨润土表面具有复杂的形貌。膨润土在纯水中的吸水膨胀过程与膨润土的表面特性密切相关。Xu等[9]指出，单位体积蒙脱石吸附的水的体积与垂直上覆压力p 之间的关系为，式中Vw为膨润土浸水饱和稳定时所吸收的水的体积，Vm为膨润土中蒙脱石的体积，Ds为膨润土的表面分维。根据此关系可推导出一定压力下的膨润土的最大膨胀率计算公式，并通过试验验证该方法在计算压实膨润土膨胀特性时吻合度较好。然而在该关系中未能给出系数K 的明确物理意义及其有效计算方法，限制了该方法在计算膨润土膨胀性质中的广泛应用。

本文根据DDL模型和分形方法在压实膨润土双电层膨胀时计算结果等效的理论事实，在双电层膨胀条件下通过DDL模型推导出分形方法的系数K 值，并采用N2吸附法测定了商用膨润土的表面分维，利用分形计算方法计算了该膨润土的最大膨胀率，为计算膨润土的膨胀变形，尤其是在晶层膨胀条件下提供一个精度较高的计算方法。

2 计算理论

2.1 双电层理论

DDL理论认为，在膨润土膨胀稳定时，外部施加的压力与颗粒间的净相互作用力相等，表达式为[3－5，8]

式中：p为在某一膨胀变形下的颗粒间的净相互作用力，一般为斥力；fr为颗粒间的相互排斥力；fa为范德华力，fa可由Hamaker方法计算[3，10]

式中：Ah为Hamaker常数（2.2×10_20J）；d为两蒙脱石层间距的一半；t为蒙脱石层厚。对于颗粒间的相互排斥力fr由Gouy-Chapman理论计算[3－5，8，10]

式中：k为Boltzmann常数（J/K）；T为绝对温度（K）；n为孔隙水的离子浓度（个/m3）；u为两蒙脱石层中点处的电势。[3，10]

式中：κ为双电层参数，特征长度（1/κ ）为双电层的厚度；Z为中间变量。它们的计算公式为[3－5，8，10]

式中：e为电子电荷（C）；ν为蒙脱石表面吸附的阳离子的电子价；ε为孔隙水的介电常数(C2J-1m-1)；CEC为膨润土的阳离子交换量（mmol/g）；S为膨润土的比表面积（m2/g）。

式（1）～（6）即为计算膨润土膨胀性质的DDL模型，由此可以得出外部施加压力p 与晶层间距2d之间的关系。

2.2 分形方法

Xu等[9]基于固体吸附理论公式认为，单位体积的蒙脱石所能吸附的水的体积与相对湿度之间的关系可由表面分维Ds表示为

式中：Vw为膨润土中蒙脱石吸附水的体积；Vm为膨润土中的蒙脱石体积；Ds为膨润土的表面分维；为孔隙水中的部分蒸气压；为饱和蒸汽压。根据Kelvin方程，吸力Ψ与相对湿度之间的关系为

式中：ρw为水的密度（kg/m3）；R为气体常数8.314 462 J/(mol·K)；Mw为水的摩尔质量（g/mol）。

膨润土吸水饱和膨胀后，外部施加的压力p 须由膨润土的吸力Ψ承担。因此，可假设外部施加压力等于吸力，即

则由式（7）～（9）可得

式中：p为外部施加压力（kPa）；系数K 不随施加压力变化，对于给定的膨润土其值为一常数，可定义为蒙脱石膨胀系数。

对于以上所描述的两种计算方法，前面已指出，DDL理论适用于双电层膨胀的情况而不适用于晶层膨胀。而分形方法在晶层膨胀和双电层膨胀中都适用。因此，对于双电层膨胀的情况，可认为两种方法计算结果是等效的。因此，可在双电层膨胀情况下，通过DDL理论推导出分形方法中的膨胀系数K。

众所周知，膨润土膨胀是由其中蒙脱石矿物的吸水膨胀引起的。膨胀稳定时，在特定的应力条件下，单位体积蒙脱石吸水量是一个常数。与试样的初始干密度、初始含水率及混合物中膨润土含率无关。图1为膨润土在竖向施加压力p 作用下体积变化示意图，图中Vnm为膨润土中非膨胀性组分体积；Vm为蒙脱石体积；Vw1为试样初始时水的体积；Vv1为试样初始时孔隙体积；Vw为试样浸水饱和稳定时所吸收的水的体积，该体积与饱和时孔隙体积Vv2相同；A为膨润土试样底面积；H1和H2分别为试样初始高度和饱和稳定后高度。

图1 膨润土在竖向施加压力p 作用下的体积变化示意图Fig.1 Schematics of volumetric change of compacted bentonite under vertical pressure

Komine等[3]引入蒙脱石的膨胀体积应变，

则，由式（10）和（11）可得

且在微观条件下有[3]

式中：Rion为无水条件下蒙脱石表面所吸附的阳离子的半径。

在双电层膨胀情况下，扩散双电层能得以充分发展，当颗粒间间距足够大且颗粒间的范德华力可或略不计时，颗粒间的相互作用力可简化为[11]

代入式（12）可得

由式（15）可计算出系数K，然后根据得到的K 值进行膨润土的膨胀变形计算，施加一定压力p下的膨润土的最大膨胀率计算公式为

式中：εmax为最大膨胀率；Cm为膨润土中蒙脱石的含量；ρd0为初始干密度；ρs为膨润土的密度。上式为采用分形方法计算膨润土膨胀变形的计算公式，其中的K 可由DDL模型计算得到，表面分维Ds可由氮吸附试验测定。

3 试 验

3.1 氮吸附试验

采用N2吸附测定膨润土的表面分维时，在进行吸附测量前将1 g左右的膨润土粉末在真空条件下于105 ℃加热脱气4 h预处理。将处理好的样品接入测试系统，套上液氮冷阱，在ASAP 2010M+C比表面测定仪上于77 K温度下利用可定量转移气体的托普勒泵向吸附剂导入一定数量的吸附氮气。吸附达到平衡时，由压力传感器可测得氮气压力值，根据压力值可算出未吸附氮气量。用已知的导入氮气总量扣除此值，便可求得此氮气压力下的吸附量。继续定量导入氮气，测出一系列平衡压力下的吸附量，便可获得膨润土试样的等温吸附线。在导入氮气达到饱和蒸气压后用托普勒泵定量移走氮气，再测出一系列平衡压力下的吸附量，即可获得等温脱附线。

图2 商用膨润土试样的N2吸附-脱附等温线Fig.2 N2adsorption-desorption isotherms of commercial bentonite

图2为商用膨润土试样的N2吸附-脱附等温线。由图可知，该膨润土的吸附等温线属于Brunauer分类中的第Ⅳ种类型[12]，具体表现为：在P/P0低于0.45时，氮气填充试样中的微孔孔隙（孔径小于2 nm）填充速度较慢，曲线较平缓，随后随着氮气压力增大，N2开始填充介孔孔隙（孔径在2到50 nm之间），填充速度逐渐增大，吸附质发生毛细管凝聚，从该阶段开始，氮气脱附时的等温线与吸附时的等温线不重合，脱附等温线在吸附等温线的上方，发生吸附滞后现象，产生滞后回线。随后在P/P0大于0.8时，N2填充大孔孔隙（孔径大于50 nm），氮气吸附量随相对气压急剧上升。

3.2 膨胀变形试验

本文所采用的商用膨润土产自浙江安吉县，其主要的物理指标如表1所列。

表1 商用膨润土典型物理性质Table 1 Typical physical properties of commercial bentonite

对商用膨润土采用蒸馏水配制试样，随后装入双层塑料袋中静置24 h，使得土样中的水分均衡后测量土样的含水率。制成高为1.5 cm、直径为6.18 cm的不锈钢圆柱垫层，在试样的制作过程中将其放入环刀中，以保证膨润土试样的高度约为0.5 cm。称量试样的质量，并测量其厚度。将试样装入普通固结仪中，在环刀的上、下两端分别放置一块透水石，盖上盖板，安装百分表，将百分表长针读数置0，记录短针所指位置，随后一次性施加所需荷载，并向固结仪水槽中注入蒸馏水。每12 h读数一次，至两次读数相差为0时（即膨胀变形恒定时）为止，此时所对应的膨胀变形为最大膨胀变形。膨胀率试验条件和结果如表2所列。

表2 膨润土膨胀率试验条件及结果Table 2 Experimental condition and results for bentonite swelling

4 计算与结果分析

4.1 表面分维计算

根据氮吸附等温线数据，测量物质的表面分维常用FHH方程。FHH方程由Avnir等[14]提出，是对多层吸附理论的一种改进形式，能够通过N2吸附等温线确定颗粒物表面的分形维数。该理论认为，在多层吸附区域，吸附相对压力P/P0与吸附体积Vads符合如下方程：

式中：P为氮气分压（kPa）；P0为液氮温度下氮气的饱和蒸汽压（kPa）；Vads为试样表面氮气的实际吸附量（cm2/g）。系数B 和指数S 是与具体吸附剂和吸附质有关的常数。在多层吸附早期阶段，吸附剂与气体间的吸附作用主要受分子间的范德华力控制：

当吸附作用主要由吸附剂与气体界面的液/气表面张力控制，吸附质发生了毛细管凝聚时：

根据FHH方程，对lnVads-ln[ln(P0/P)]作图，如图3所示。由斜率，即上述各式中的S 可求出膨润土的表面分维Ds。由商用膨润土的吸附等温线可知，在吸附过程中，毛细凝聚占主导地位，表面分维应采用式（20）计算，表面分维Ds值为2.65。

图3 商用膨润土的lnVads-ln[ln(p0/p)]关系图Fig.3 Linear chart of lnVads-ln[ln(P0/P)]

4.2 系数K 值计算

计算K 值所需物理量如表3所示，其中离子价和离子半径分别为Na+和Ca2+的平均值。孔隙水中的离子量n 与孔隙水体积中的蒙脱石矿物量浓度有关。吸水膨胀后，每单位体积孔隙水中的蒙脱石含量减小，则孔隙水中的离子量n 也降低了，其计算公式为

表3 计算所需物理参数Table 3 Physical parameters used in the calculation

式中：n0为试样初始时孔隙水中的离子浓度（mol/m3）；NA为Avogadro常数，NA=6.02×1023mol-1。

一般认为，在晶层膨胀阶段，水分子嵌入到蒙脱石各层之间，最终水分子的层数可达到4层，此时层间间距2d为2.16 nm[6，15]，该值可认为是发生双电层膨胀的最小间距。笔者认为，d 可在2.5～5 nm之间取值，对应的蒙脱石层间间距为5～10 nm，可满足扩散双电层发展的要求。K 值的计算结果如表4所示，最终的K 值取平均值为9.15。

表4 系数K 计算结果Table 4 Calculation of coefficient K

4.3 膨胀变形计算

将已得的表面分维Ds值2.65和系数K 计算值9.15代入式（16）进行膨润土的膨胀变形计算，计算结果如图4所示。由图对比可知，分形方法计算结果与试验数据更为接近，尤其是在施加压力大、膨胀变形较小的情况下。

图4 分形方法与双电层模型计算结果对比图Fig.4 Comparison between the estimation of fractal model and DDL model

由式（16）可知，最大膨胀率 εmax受试样初始干密度 ρd0的影响较大，当p 一定时，εmax随ρd0呈线性增加。图5为p 一定时最大膨胀率 εmax随初始干密度 ρd0变化图，图中散点为试验数据，实线为分形理论计算值，由图中可以看出，理论计算值与试验数据之间吻合度较好。

图5 最大膨胀率随初始干密度变化图Fig.5 Relationship between maximum swelling pressure and initial dry density

5 结论

（1）对计算膨润土膨胀变形的双电层模型和分形方法进行了对比分析，提出在双电层膨胀下可根据双电层理论计算出分形方法中系数K 的方法，并计算出商用膨润土的K 值为9.15。

（2）对商用膨润土进行氮吸附试验，采用FHH方程计算出该膨润土的表面分维为2.65。

（3）采用分形计算方法计算了膨润土的最大膨胀率，并与膨胀试验作对比，结果表明，理论计算值与试验数据吻合度较好，尤其是在施加压力较大、膨胀变形较小的情况下吻合程度更好，该方法为膨润土的膨胀变形提供了一个较准确的计算方法。

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