脉冲依赖状态的发展方程初值问题解的存在性

刘 旭

关于脉冲微分方程解的存在性问题研究已经有很多的结果［1］，但主要集中在固定时刻的脉冲微分方程，对脉冲依赖状态的微分方程发展的比较缓慢，只有很少的几个结果［2－7］.受文献［7］和［8］的启发，论文考虑脉冲依赖状态的发展方程初值问题，即

其中：A：D（A）⊂Rn→Rn是Rn中的稠定闭线性算子，－A 生成Rn的等度连续C0－算子半群T（t）（t≥0），即T（t）在t＞0上（不含t＝0点）按算子范数连续.f：J×Rn→Rn，τk：Rn→R，Ik：Rn→Rn，k＝1，2，…，m.

1 引 理

众所周知对于J上等度连续的C0－算子半群T（t），∃M＞0，使得

记C（J，Rn）为定义于J取值于Rn的全体连续函数空间，按范数‖u‖＝｜u（t）｜构成 Banach空间.

考虑线性发展方程初值问题

当u0∈D（A），φ∈C1（J，Rn），方程（2）存在唯一古典解u∈C1（J，Rn）∩C（J，E1）（E1为D（A）按图像范数‖u‖1＝‖u‖＋‖Au‖构成的Banach空间）且其解可表示为

对于一般的u0∈Rn，φ∈C（J，Rn），由（3）式确定的u∈C（J，Rn）是问题（2）的一种广义解，称为mild解.

定义1 对于非线性发展方程初值问题

若u∈C（J，Rn）满足积分方程

则u称为问题（4）在J上的mil d解.

定义2 映射f：J×Rn→Rn称为L1－Carat heodory，如果

（i）对每个u∈Rn，f（t，u）关于t是可测的；

（ii）对几乎所有的t∈J，f（t，u）关于u是连续的；

（iii）对每个r＞0，存在hr∈L1［J，R＋］，使得｜f（t，u）｜≤hr（t），∀｜u｜＜r和几乎所有t∈J.

下面假定f是L1－Caratheodory，同时给出论文使用的Schaefer不动点定理.

定理1［9］设X是Banach空间，N：X→X是全连续映射，如果集合

有界，则算子N至少有一个不动点.

2 主要结果

为了考虑问题（1），先作如下假定：

（H1）函数τk∈C1（Rn，R），且

（H2）∃ck＞0，使得｜Ik（u）｜≤ck，∀u∈Rn，k＝1，2，…，m.

（H3）存在连续不减函数ψ：［0，∞）→（0，∞），p∈L1［J，R＋］，a.e.t∈J，∀u∈Rn，使得

且ψ满足

（H4）∀（t，u）∈［0，a］×Rn，k＝1，2，…，m，有

（H5）∀u∈Rn，τk（Ik（u））＜τk（u）＜τk＋1（Ik（u））.

定理2 若（H1）～（H5）成立，则初值问题（1）在［0，a］上至少有一个 mil d解.

证明 将证明分以下4步：

第1步：定义算子Q如下

Q：C（J，Rn）→C（J，Rn）是全连续的，这是因为

①Q连续

∀un⊂C（J，Rn），un→u，则

由于f是L1－Caratheodory，根据Lebesgue控制收敛定理知，当n→∞时，有

②Q在C（J，Rn）中将有界集映成有界集

∀u∈Br＝｛u∈C（J，Rn）：‖u‖≤r｝，由（6）式知

③Q将C（J，Rn）中有界集映成等度连续的有界集

设l1，l2∈J，l1＜l2，∀u∈Br，则

因为T（t）u0在J上连续，从而一致连续，而T（t）在t＞0上按算子范数连续，当l1→l2时，由Lebesgue控制收敛定理，上式右端趋于零，与u无关，故Q将C（J，Rn）中有界集映成等度连续的有界集.

由①，②，③ 及 Arzela－Ascoli定理，证明了Q：C（J，Rn）→C（J，Rn）全连续.

第2步：下证集合ε（Q）＝｛u∈C（J，Rn）：u＝λQu，0＜λ＜1｝有界.

设u∈ε（Q），则u＝λQu，∀t∈J，0＜λ＜1，

由（H3）知对每个a.e.t∈J，

令μ（t）＝sup｛｜u（s）｜：0≤s≤t｝，0≤t≤a，则

利用函数ψ的不减性，有

于是

因此存在一个常数K＞0，v（t）≤K，a.e.t∈J，即μ（t）≤K，于是，有

其中：常数K′依赖a，M，函数p和函数ψ，即集合ε（Q）有界.

令X＝C（J，Rn），由定理1即Schaef er不动点定理知Q有一个不动点，此不动点是初值问题（4）的mil d解，记为u1.

定义函数rk，1（t）＝τk（u1（t））－t，t＞0.

由（H1）知rk，1（0）≠0，∀t∈J，k＝1，2，…，m.若rk，1（t）≠0，∀t∈J，则u1是初值问题（1）的mil d解.

下面考虑r1，1（t）＝0，∀t∈J.由于r1，1（0）≠0且r1，1（t）连续，则∃t1＞0，使得r1，1（t1）＝0和r1，1（t）≠0，t∈［0，t1），因此按（H1），有

第3步：考虑

将问题（7）转化为不动点问题，定义算子Q1如下

类似第1，2步可以证明算子Q1至少有一个不动点，即问题（7）有一个mil d解，记为u2.

定义

如果rk，2（t）≠0，即t≠τk（u1（t）），∀t∈（t1，a］，k＝1，2，…，m，则

是初值问题（1）的解.

仍然考虑r2，2（t）＝0，t∈（t1，a］的情形，按（H5），有

由于r2，2连续，存在t2＞t1，使得r2，2（t2）＝0和r2，2（t）≠0，t∈（t1，t2），显然按（H1），有

若∃¯s∈（t1，t2］，r1，2（¯s）＝0.按（H5），有

因此，函数r1，2在s1∈（t1，a］达到非负最大值点，则

于是

这与（H4）矛盾.

第4步：重复上述步骤，令um＋1：＝u｜［tm，a］是下述初值问题

的mild解，则初值问题（1）的mild解，为

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