一道二元最值题解法的探究

2015-01-31甘肃省秦安县第二中学罗文军

中学数学杂志 2015年19期

关键词：极坐标元法原点

☉甘肃省秦安县第二中学罗文军

一道二元最值题解法的探究

☉甘肃省秦安县第二中学罗文军

近年来，二元最值问题备受命题者的亲睐，也是高中生学习中的一个“老大难”，本文对杭州学军中学高三2014学年第七次月考理科数学第8题进行了探究，得出了8种精彩解法，现介绍如下，以期达到对中学生计算二元最值问题起引导作用.

一、题目

实数x、y满足（x-y）2+y2=2，则x2+y2的最小值为__________.

二、解法探究

解法1：三角换元法.

x2+y2=（cosθ+sinθ）2+（sinθ）2= 4sinθcosθ+2sin2θ+2=2sin2θ-cos2θ+3=sin（2θ+φ）+3，其中

所以当sin（2θ+φ）=-1时，x2+y2取得最小值

评析：通过观察发现已知条件的左边为两个式子的平方和，由（x-y）2+y2=2联想到三角函数的平方关系式sin2θ+cos2θ=1，进而采用三角换元法，再利用辅助角公式求解.

解法2：齐次化法.

当x=0时，y2=1，x2+y2=1.

当y=0时，x2=2，x2+y2=2.

整理为关于m的方程（t-2）m2-2tm+（2t-2）=0.

当t≠2时，因为Δ=（-2t）2-4（2t-2）（t-2）≥0，所以t2-6t+4≤0，解得≤

所以x2+y2的最小值为

评析：已知条件是一个二元二次方程，x2+y2中每项的次数也都是2，利用齐次化首先要考虑到xy≠0，避免分母出现0的情形.

解法3：齐次化法.

设x=ky，则（ky-y）2+y2=2.

所以［（k-1）2+1］y2=2，则

所以x2+y2=（k2+1）·

整理为关于k的方程，得（m-2）k2-2mk+2m-2=0.

当m≠2时，因为Δ=4m2-4（m-2）（2m-2）≥0，所以m2-6m+4≤0，解得

所以x2+y2的最小值为

评析：由于已知条件是齐次式，设y=kx后很容易用k表示x与y，实现双变量的分离，将问题转化为关于k的函数，再求解.

解法4：换元法.

设x2+y2=t2（t>0）.

令x=tcosθ，y=tsinθ，代入（x-y）2+y2=2，得：

t2cos2θ-2t2sinθcosθ+2t2sin2θ=2.

所以t2（cos2θ-2sinθcosθ+2sin2θ）=2.

所以x2+y2的最小值为

评析：抓住待求式为平方和这一结构特点，采用三角换元法，再利用辅助角公式求解.

解法5：换元法.

设x2+y2=u，则y2=u-x2，代入（x-y）2+y2=2中，可得：

2xy=-x2+2u-2.

将（1）代入x2+y2=u，整理可得：

5x4+（4-8u）x2+（2u-2）2=0.

于是以x2为未知数的一元二次方程必有正根，故方程的两个根若存在都必为正根，当且仅当Δ=（4-8u）2-4× 5（2u-2）2≥0.整理得u2-6u+4≤0.所以≤u≤3+所以x2+y2的最小值为

评析：换元后，构造出以x2为未知数的一元二次方程，再利用判别式法求解.

解法6：坐标变换.

则x2+y2=（x′cosθ-y′sinθ）2+（x′sinθ+y′cosθ）2=x′2+y′2.

由（x-y）2+y2=2，得x2-2xy+2y2=2.所以（x′cosθ-y′sinθ）2-2（x′cosθ-y′sinθ）（x′sinθ+y′cosθ）+2（x′sinθ+y′cosθ）2=2.整理得（cos2θ-2sinθcosθ+2sin2θ）x′2+（sin2θ+2sinθcosθ+2cos2θ）y′2+ x′y′（sin2θ-2cos2θ）=2.

由此可见在新坐标系下，该曲线为焦点在x′轴上的椭圆，x′2+ y′2表示曲线上的动点到原点距离的平方，由图形可知x′2+y′2的最小值为短半轴长的平方，故x2+ y2的最小值为

评析：本题中的待求式x2+y2让人联想到曲线上的动点到原点的距离的平方，利用高中选修4-2中的坐标旋转的知识，数形结合，可解决问题.

解法7：极坐标法.

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则（x-y）2+y2=2化为极坐标方程为（ρcosθ-ρsinθ）2+ρ2sin2θ=2.

所以x2+y2的最小值为

评析：利用极坐标法，令人耳目一新.

解法8：主元法.

（2）×k-（1）×2，得（k-2）x2-2kxy+（2k-2）y2=0.

当k≠2时，将x视为主元，所以Δ=4k2-4（k-2）（2k-2）≥0.即k2-6k+4≤0，所以≤k≤3+.所以x2+y2的最小值为

评析：把x看成主元后，问题化归为一元二次方程有实根的问题，利用判别式求解.