高斯曲率绝妙定理的表示公式的几种形式

邢家省, 高建全， 罗秀华

(1.北京航空航天大学 数学与系统科学学院 数学信息与行为教育部重点实验室 北京100191; 2.平顶山教育学院 数学系 河南 平顶山 467000)

高斯曲率绝妙定理的表示公式的几种形式

邢家省1, 高建全2， 罗秀华2

(1.北京航空航天大学 数学与系统科学学院 数学信息与行为教育部重点实验室 北京100191; 2.平顶山教育学院 数学系 河南 平顶山 467000)

考虑高斯曲率绝妙定理的公式表示问题.运用曲面论基本方程的矩阵表示法，直接推导出了高斯曲率绝妙定理的隐式表示公式和显式表示公式，指出了高斯曲率内蕴隐式公式的验证过程，给出了高斯曲率内蕴计算公式的Liouville形式的推导过程.

曲面论基本方程； 矩阵表示法; 高斯曲率； 内蕴量； 高斯绝妙定理; 高斯曲率的Liouville记忆形式

0 引言

曲面上的高斯曲率是曲面上的内蕴量[1-7]，这个重要结果是高斯于1827年发现的著名定理，称为高斯绝妙定理[2,6]或曲面论的高斯方程.由于现有文献中给出的推导过程相当繁杂，导致人们难以弄清楚其本质.人们一直在追求高斯曲率内蕴量的具体表达式.我们发现采用曲面论基本方程的矩阵表示法[8-10]，运用矩阵运算就可以很简明地推导出高斯曲率绝妙定理的隐式表示公式和最终显式表达公式[11-12].对高斯曲率计算公式的Liouville记忆形式亦给出了推导过程[5].这里给出的新的处理方法，有利于人们理解和掌握，从而推进人们的认识.

1 曲面论的基本方程的矩阵方程表形式

按照文献[1-6，9-10]中的符号体系，给出如下一系列记号，

曲面论基本方程的矩阵形式为[1-6,8-10]:

(1)

(2)

其中:

2 曲面论的基本方程中系数矩阵满足的方程

利用式(1)，得

(3)

经过代入运算，最后比较左右两端的系数[9-10]，可得

(4)

(5)

3 高斯曲率内蕴定理隐式表示公式的矩阵推导方法

经过对式(4)右端进行代入运算[9-10]，可得

(6)

由式(6)两边矩阵中右上角和左下角的元素对应元素相等，可得[1-6,9-10],

于是,高斯曲率有如下的计算公式[1-6,9-10]:

(7)

(8)

4 高斯曲率内蕴定理的最终显式表示公式的矩阵推导方法

在式(6)左端，经过代入运算[9-10]，可得式(6)等价于[9-10]

(9)

由式(9)两边矩阵的右上角对应元素相等，可得

(10)

再由

可得

[(Γ121g22-Γ221g12)Γ112+(-Γ121g12+Γ221g11)Γ212]}.

(11)

利用

(12)

从而得出

(13)

将式(12)和式(13)的对应项代入式(11)，经过计算化简，可得

(14)

式(14)就是曲面论中著名的高斯方程[11].

5 高斯曲率绝妙定理的Brioschi公式表示

关于高斯曲率有如下的Brioschi公式[1-6,10],

(15)

将式(15)展开，则得

(16)

显然式(14)与式(16)是一致的.

6 高斯曲率绝妙定理隐式表示公式的验证

文献[9-10]给出了如下公式的来源,

(17)

公式(17)在文献[1-7]中已出现并给予了验证，现在给出另一种简便验证方法.

事实上， 由

(18)

将式(18)代入式(17)的右端，得到

(19)

对式(19)经过求偏导数计算，可以得出式(19)与式(16)是相同的，于是式(17)成立.

将式(17)写为显式公式，则为

(20)

类似地，在一般坐标曲线网下，直接验证[1-2,7,9-10]，成立

(21)

事实上，注意到

(22)

将式(22)代入式(21)的右端，得到

(23)

对式(23)经过求偏导数计算，可以得到与式(16)同样的式子，从而式(21)成立.

于是，有显式公式

(24)

7 高斯曲率计算公式的Liouville记忆形式的发现推导过程

(25)

下面，我们给出式(25)的发现性推导过程.将式(20)和式(24)的两端相加，得到

(26)

经过逐项求偏导数运算及化简，可得到

(27)

(28)

将式(27)和式(28)相加，得到

(29)

将式(29)代入式(26)，就得到式(25)成立.

8 常用参数坐标网下高斯曲率定理的最终表示公式

高斯绝妙定理的最终显式公式,

G(EuGu-2EuFv+Ev2)-2(EG-F2)(Evv-2Fuv+Guu)].

(30)

高斯绝妙定理的Brioschi显式公式,

(31)

将式(31)展开，可得到式(30).

高斯曲率内蕴计算的Liouville记忆形式为

(32)

其中:g=EG-F2.

在文献[12]中，叙述引用时，写出了如下的一个公式，

(33)

由标准的式(30)，易知式(33)是错误的.用球面方程的基本量去验证，可以发现式(33)是不成立的；文献[12]中试图用显式曲面的基本量去验证式(33)，若仔细套用式(33)，也是验证不出来的.文献[12]中的式(33)应更正为式(30).

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[2] 陈维桓.微分几何[M].北京:北京大学出版社,2006：193-228.

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[12]华罗庚.高等数学引论(第二册)[M]. 北京: 科学出版社,2009：301-302.

(责任编辑：王浩毅)

Formula Forms of Theorema Egregium of Gaussian Curvature

XING Jiasheng1, GAO Jianquan2， LUO Xiuhua2

(1.DepartmentofMathematics,LMIBoftheMinistryofEducation,BeihangUniversity,Beijing100191，China; 2.DepartmentofMathematics,PingdingshanInstituteofEducation,Pingdingshan467000,China)

The formula expression of Theorema Egregium of Gaussian curvature was discussed. The implicit and explicit formula expression of Theorema Egregium of Gaussian curvature was directly derived by means of the matrix expression of the fundamental equation on curved surface. The proof procedure of Gaussian curvature intrinsic implicit formula and the derivation of the calculation formula of Gaussian curvature in Liouville form were demonstrated.

fundamental equation of surface theory; matrix expression; Gaussian curvature; intrinsic quantities; Gauss Theorema Egregium; Gaussian curvature in Liouville form

2015-05-16

国家自然科学基金资助项目，编号61271010；北京航空航天大学校级重大教改项目，编号201501.

邢家省(1964—)，男，河南泌阳人，博士，副教授，主要从事偏微分方程、微分几何研究，E-mail:xjsh@huaa.edu.cn.

邢家省,高建全，罗秀华.高斯曲率绝妙定理的表示公式的几种形式[J].郑州大学学报：理学版，2015,47(4)：17-23.

O186.1

A

1671-6841(2015)04-0017-07

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.004