基于观测器的非线性广义马尔科夫跳变时滞系统的鲁棒H∞控制

马跃超, 胡秀玲

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

基于观测器的非线性广义马尔科夫跳变时滞系统的鲁棒H∞控制

马跃超, 胡秀玲

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

研究了非线性广义Markov跳变时滞系统的H∞控制问题.得到了增广系统全局指数稳定且具有H∞性能指标的基于观测器的反馈控制器存在的充分条件.通过求解线性矩阵不等式得到了控制器和观测器的增益矩阵.最后用数值算例验证了所提出设计方法的有效性.

H∞控制； 指数稳定； 观测器； 马尔科夫跳变； 线性矩阵不等式

0 引言

广义系统可以描述许多实际系统，如电力系统，经济系统，机器人系统等[1-3].近年来，广义系统的稳定性分析与控制综合问题已被广泛研究[4-6]，由于其要求所得闭环系统不仅稳定，且正则无脉冲，比普通系统的研究更加复杂.

Markov跳变系统是一类特殊的混杂系统，信号可以随时间变化在不同的模式间进行切换，文献[7-10]中呈现了该系统的一些研究成果，文献[11]讨论了不确定离散Markov跳变系统的鲁棒稳定性问题，文献[12]研究了Markov跳变系统的无源性问题，文献[13]研究了随机时滞神经网络的稳定性问题.

系统的指数稳定性问题也很重要，它能够确定系统状态的收敛速度达到平衡点.文献[14]研究了不确定奇异时滞系统的时滞相关鲁棒指数稳定性问题，文献[15]研究了一类离散非线性广义Markov跳变系统的均方指数稳定性问题.

本文研究了带有Markov跳变参数和非线性项的广义时滞系统的H∞控制问题，主要目的是设计一个基于观测器的状态反馈控制器以保证所得闭环系统全局指数稳定且满足H∞性能指标.

1 系统的描述与准备

考虑如下广义随机非线性系统

(1)

其中:x(t)∈Rn是系统的状态向量;u(t)∈Rm是控制输入;y(t)∈Rp是测量输出;z(t)∈Rq为控制输出;ω(t)∈Rt为系统扰动输入;d是时滞且d≥0;E是奇异矩阵,且rank(E)=r≤n;ηt是一个在有限集合Λ={1,2,…,r}中随时间取值的Markov随机过程，转移概率矩阵为Π=(πij)r×r，描述如下:

(2)

(3)

其中,ki>0是Lipschitz常数.

建立如下观测器和状态反馈控制器,

(4)

其中：H(i)，K1(i)，K2(i)是观测器和状态反馈控制器的增益矩阵，得到闭环系统,

(5)

其中：

定义3 广义Markov跳变系统(5)是鲁棒H∞稳定的，对于常数γ且在零初始条件下Z(t)满足

2 主要结果

(6)

(7)

(8)

其中:

证明 首先证明系统(5)是正则无脉冲的，

(9)

(10)

由于rank(E)=r≤n，可选择非奇异矩阵M，N使

(11)

根据(11)式，可令

因此，对于上述常数λ>0,有

构造如下形式的Lyapunov函数，

故

故有

其中:

由Ω<0可知JV<0,可得

其中:

因此可知，在ω(t)=0时，系统(5)是全局指数稳定的.

(12)

(13)

其中:

其他变量同定理1.

证明 类似于定理1的推导，能得到

JV+ZT(t)Z(t)≤γ2ωT(t)ω(t),

故有,

可以看出满足定义3，证明完成.

定理3 对于给定的d，当ω(t)=0时，系统(5)是全局指数稳定的，如果存在常数α1，α2，β1，β2和矩阵X(i)，Y(i)，Z(i)，一组对称正定矩阵{S(i),i∈Λ}和对称正定矩阵R，S，W，有如下线性矩阵不等式成立:

(14)

(15)

(16)

(17)

其中:

证明 首先验证条件(14)和(16)等价于条件(7).

定理4 对任意给定的d，γ>0，广义Markov跳变系统(5)是全局指数稳定的且具有H∞性能指标γ，如果存在常数α1，α2，β1，β2和矩阵X(i)，Y(i)，Z(i)，一组对称正定矩阵{S(i),i∈Λ}和对称正定矩阵R，S，W，有如下线性矩阵不等式成立:

(18)

(19)

(20)

(21)

其中:

Π6=W-α1I，Π7=W-α2I，Π8=-W-β1I，Π9=-W-β2I，

(22)

备注4 定理3和定理4的可行解约束条件可转化为如下含参数μ的线性不等式的优化问题

X(i),Y(i),Z(i),Si,R,S,W,α1,α2,β1,β2,μ,Φi, s.t.(16),(17),(22),

(23)

minγ2,X(i),Y(i),Z(i),Si,R,S,W,α1,α2,β1,β2,μ,Φi， s.t. (20),(21),(22) .

(24)

3 数值算例

例1 考虑参数如下的系统：

Mode 1

Mode 2

例2 考虑参数如下的系统:

其他矩阵变量同例1，令d=2，0

例3 考虑参数如下的系统(1)

Model 1

Mode 2

4 结论

本文解决了非线性广义Markov跳变时滞系统的H∞控制问题,得到了增广系统全局指数稳定且具有H∞性能指标的基于观测器的反馈控制器存在的充分条件.通过求解线性矩阵不等式得到了控制器和观测器的增益矩阵，最后，用数值算例验证了所提出方法的有效性.

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(责任编辑：方惠敏)

Observer-based RobustH∞Control for Nonlinear Singular Markovian Jump System with Time Delay

MA Yuechao, HU Xiuling

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The problem of observer-basedH∞control for nonlinear singular Markov jump system with time delay was studied. Firstly, a sufficient condition for the existence of the observer-based controller which can ensure the augmented system globally exponentially stable and satisfy a prescribedH∞performance level was given. Then, the gain matrices of the controller and observer were achieved by solving some linear matrix inequalities. Finally, numerical examples were given to demonstrate the effectiveness of the proposed design approach.

H∞control; exponential stabilization; observer; Markovian jump; linear matrix inequalities (LMIs)

2015-07-07

国家自然科学基金资助项目,编号61273004；河北省自然科学基金资助项目,编号F2014203085.

马跃超(1963—)，男，辽宁凤城人，教授，博士，主要从事广义系统、鲁棒控制、复杂系统等研究；通讯作者：胡秀玲(1990—)，女，山西吕梁人，硕士研究生，主要从事随机系统、鲁棒控制的研究， E-mail:1398881688@qq.com.

马跃超,胡秀玲.基于观测器的非线性广义马尔科夫跳变时滞系统的鲁棒H∞控制[J].郑州大学学报：理学版，2015,47(4)：24-32.

O231

A

1671-6841(2015)04-0024-09

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.005