有限群的πFΦ-超中心和πFΦ-可补子群

张 丽

(中国科学技术大学 数学学院 安徽 合肥 230026)

有限群的πFΦ-超中心和πFΦ-可补子群

张 丽

(中国科学技术大学 数学学院 安徽 合肥 230026)

群G的正规子群N称为πFΦ-超中心的(πFΦ-hypercentral)，如果N=1或者N≠1且N的每个阶数可被π中某些素数整除的非-FrattiniG-主因子是F-中心的. 群G的所有πFΦ-超中心子群的积称为G的πFΦ-超中心，并记为ZπFΦ(G). 应用πFΦ-超中心定义了πFΦ-可补(πFΦ-supplemented)子群： 群G的子群H称为πFΦ-可补的，如果存在G的子群T,使得G=HT且(H∩T)HG/HG≤ZπFΦ(G/HG)，其中HG是G的包含在H中的最大的正规子群. 研究了πFΦ-超中心的一些性质,并利用πFΦ-可补的概念给出了p-幂零和超可解的几个判断准则.

Sylow子群；πFΦ-超中心；πFΦ-可补；p-幂零群

0 引言

如果F关于同态像和次直积封闭,群类F称为一个群系，群系F称为饱和的,如果由G/Φ(G)∈F,总有G∈F.U表示由超可解群组成的饱和群系.如果H/K×G/CG(H/K)∈F，G-主因子H/K称为F-中心的.H/K称为U-中心的当且仅当H/K是素数阶. 根据文献[4-6]，广义超中心ZπFΦ(G)定义如下.

定义1 群G的正规子群N称为πFΦ-超中心的(πFΦ-hypercentral)，如果N=1或者N≠1且N的每个阶数可被π中某些素数整除的非-FrattiniG-主因子是F-中心的,群G的所有πFΦ-超中心子群的积称为G的πFΦ-超中心，并记为ZπFΦ(G).

当π=P是所有素数的集合，ZPF(G)称为群G的F-超中心,并记为ZF(G)，显然对任意非空素数集合π，ZF(G)≤ZπFΦ(G).

近年来，许多学者通过讨论子群的可补性来研究有限群的结构，并得到了许多新的成果. 群G的子群H称为可补充的，如果存在的子群K使得G=HK并且H∩K=1. 文献[7]中引入F-可补子群的概念: 设F是一个群系，群G的子群H称为F-可补的，如果存在G的子群K使得G=HK，并且(H∩K)HG/HG≤ZF(G/HG),其中ZF(G/HG)是G/HG的F-超中心. 之后，学者们陆续研究了超中心对群结构的影响并定义了Fn-可补子群[8]和F-z-可补子群[9].利用这些概念，本文给出πFΦ-可补的概念.

定义2 群G的子群H称为πFΦ-可补的(πFΦ-supplemented)，如果存在G的子群T使得G=HT且(H∩T)HG/HG≤ZπFΦ(G/HG)，其中HG是G的包含在H中的最大的正规子群.

显然，每个F-可补子群都是πFΦ-可补子群，但反之不一定成立.

例 取G=A4×S3而H={1，(12)(34)}×1 是G的2阶子群.Φ(G)=1而HG=1. 计算知ZU(G)=1×S3而Z3UΦ(G)=Z3U(G)=G. 显然子群H是G的3UΦ-可补子群. 如果H在G中是U-可补的，则存在G的子群T使得G=HT且H∩T≤ZU(G). 易见A4∩T是A4的6阶子群. 但A4没有6阶子群, 所以H不是G的U-可补子群.

1 πFΦ-超中心的性质和引理

性质1 设F是群系. A和B是群G的正规子群而K≤G.

(1) 如果A是G的πFΦ-超中心子群，那么AB/B是G/B的πFΦ-超中心子群；

(2) ZπFΦ(G)是G的最大的πFΦ-超中心子群；

(3) ZπFΦ(G)B/B≤ZπFΦ(G/B)，如果B≤ZπFΦ(G)，那么ZπFΦ(G)/B= ZπFΦ(G/B)；

(4) ZπFΦ(K)B/B≤ZπFΦ(KB/B)；

证明 (1) 令1=A0

(2) 只需要证明：若A和B均是G的πFΦ-超中心子群，AB也是G的πFΦ-超中心子群. 因为AB的每个G-主因子G-同构于A或者B的某个G-主因子，故类似于(1)，可知(2)成立.

(3) 正确性可由(1)和(2)立得.

(4) 显然，存在从K/(K∩B)到KB/B的典范同构，由(3)知，ZπFΦ(K)(K∩B)/(K∩B)≤ZπFΦ(K/(K∩B))，从而同构像满足ZπFΦ(K)B/B≤ZπFΦ(KB/B).

性质2 设F是一个饱和群系，Gπ′表示所有π′群组成的群类.

(1) 如果Gπ′F =F且G/ZπFΦ(G)∈F，那么G∈F.

(2) 设F包含所有超可解群,而N是G的可解正规子群，如果Fp(N)≤ZπFΦ(G)，那么，N≤ZπFΦ(G).

引理1 设F是一个群系,而H≤G.

(1) H在G中πFΦ-可补当且仅当存在G的子群T满足G=HT，HG≤T且(H∩T)/HG≤ZπFΦ(G/HG)；

证明 (1) 设H在G中是πFΦ-可补的,且G的子群T满足G=HT且(H∩T)HG/HG≤ZπFΦ(G/HG)，那么只需取T0=THG即可证明(1)的正确性.

引理4[7]设F是包含所有超可解群的饱和群系，G存在正规子群E使得G/E∈F，如果E是循环的，那么G∈F.

引理5[12]设F是任一群系,而E是G的正规子群，若F*(E)≤ZF(G)，则有E≤ZF(G).

2 主要定理

(1) 设N是G的极小正规子群，那么G/N是p-幂零群.

(2) ZpUΦ(G)=1.

假设ZpUΦ(G)>1,取N是G的包含在ZpUΦ(G)中的极小正规子群，那么N≤Φ(G)，N≤Op′(G)或者N是p阶循环群,与(1)矛盾. 于是(2)成立.

(3) G的极小正规子群是唯一的，记为N (正确性由(1)立得).

(4) 如果Op(G)>1，那么N=Op(G).

由(3)知N≤Op(G).由(2)知，存在G的极大子群M使得G=N×M.子群Op(G)∩M的正规性表明，Op(G)∩M=1,于是Op(G)= N(Op(G)∩M)= N.

(5) 最后的矛盾.

由(3)和(4)知，对P的任一n-极大子群Pn， (Pn)G=Op(G)=N或者1,如果(Pn)G=Op(G)，那么G=PnM，其中M≈G/N是p-幂零群. 现在设(Pn)G=1,由假设及(2)知，存在G的子群T使得G=PnT且Pn∩T=1,从而由引理2知，T是p-幂零群,综上所述，P的每个n-极大子群在G中有p-幂零的补子群,进而P的每个极大子群在G中有一个p-幂零的补子群，由引理3知，G是p-幂零的. 定理得证.

证明 假设定理不成立且G是极小阶反例,通过下列步骤给出矛盾.

(1) G是可解群.

设q是G的最小素因子而Q是G的Sylowq-子群,使得Q的每个极大子群在G中是qUΦ-可补的,由定理1知，G是q-幂零的，从而G可解.

(2) 设N是G的极小正规子群，那么G/N是超可解的.

(4) ZrUΦ(G)=1.

(5) N不是G的Sylowr-子群.

(7) NG(Mp)=M，其中Mp是M的Sylowp-子群从而也是G的Sylowp-子群.

(8) 最后的矛盾.

定理3 设H是G的可解正规子群，使得G/H是超可解的,那么G是超可解群当且仅当对于任意的素因子p∈π(F(H))，F(H)的非循环Sylowp-子群的任一极大子群在G中是pUΦ-可补的.

证明 充分性. 假设必要性不成立并取G是极小反例,通过下列步骤给出矛盾.

(1) Φ(G)∩F(H)=1.

(2) F(H)=N1×N2×…×Nt，其中t≥1是正整数，Ni(1≤i≤t)是G的素数阶正规子群.

(3) 最后的矛盾.

由(2)知，F(H)=F*(H)≤ZF(G),根据引理5，H≤ZF(G),因为G/H是超可解群，因而G是超可解群. 矛盾表明定理成立.

[1]DoerkK，HawkesT.FiniteSolvableGroups[M].Berlin:WalterdeGruyter,1992.

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[13]GuoWenbin.TheTheoryofClassesofGroups[M].Beijing:SciencePress，2000.

(责任编辑：方惠敏)

OnπFΦ-hypercentre andπFΦ-supplemented Subgroups of Finite Group

ZHANG Li

(DepartmentofMathematics,UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230026,China)

A normal subgroupNofGis calledπFΦ-hypercentral inGifN=1 orN≠1 and every non-FrattiniG-chief factor belowNwith order divided by at least one prime inπ, isF-central. The product of all the normal subgroups which areπFΦ-hypercentral inG, is called theπFΦ-hypercentre ofGand denoted byZ(G). Using theπFΦ-hypercentre ofG, theπFΦ-supplemented subgroup was defined: a subgroupHofGwas calledπFΦ-supplemented inGif there existed a subgroupTofGsuch thatG=HTand (H∩T)HG/HG≤ZπFΦ(G/HG), whereHGwas the largest normal subgroup ofGcontained inH. The propertie ofπFΦ-hypercentre were studied. And obtain some new criterion forp-nilpotency and supersolvability of finite groups were obtained.

Sylow subgroup；πFΦ-hypercentre；πFΦ-supplemented subgroup；p-nilpotent

2015-07-28

国家自然科学基金资助项目，编号11371335．

张丽(1991—)，女，安徽阜阳人，博士研究生，主要从事有限群论研究，E-mail:zhang12@mail.ustc.edu.cn.

文本:张丽.有限群的πFΦ-超中心和πFΦ-可补子群[J].郑州大学学报：理学版，2015,47(4)：1-5.

O152

A

1671-6841(2015)04-0001-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.001