“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”结论的证明及应用

方向瑛

〔关键词〕 物理教学；球壳；质量分布；均匀；壳内物体；

引力

〔中图分类号〕 G633.7 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）23—0120—01

牛顿用微积分的知识证明了两个结论：第一个结论——当物体在均匀球体的表面或外部时，将球体简化成质量集中于球心的质点，则r 为质点与球心之间的距离，这是中学阶段解决天体问题时直接应用该公式的原因；当物体在均匀球体内部时所受引力大小的问题，多只停留在定性分析的层面上，而在有些高考理综试题中，要求计算物体在均匀球体内部时所受引力大小，题目中给出的条件“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”——这是第二个结论.

例 已知一个均匀带电的球壳在壳内任意一点产生的电场强度均为零，在壳外某点产生的电场强度等同于把壳上电量全部集中在球心处的点电荷所产生的电场强度，即E=0，（rR）式中R为球壳的半径，r为某点到球壳球心的距离，Q为球壳所带的电荷量，k为静电力常量.在真空中有一半径为R、电荷量为+Q的均匀带电球壳，球心位置O固定，P为球壳外一点，M为球壳内一点，如图所示，以无穷远为电势零点，关于P、M两点的电场强度和电势，下列说法中正确的是（ ）

A.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变

B.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的电势升高

C.若Q不变，M点的位置也不变，而令R变小（M点仍在壳内），则M点的电势升高

D.若Q不变，M点的位置也不变，而令R变小（M点仍在壳内），则M点的场强不变

分析：均匀带电的球壳，壳外某点的电场强度则可由点电荷的电场强度公式求解，是将带电量的球壳看成处于O点的点电荷来处理.而壳内任一点的电场强度，全是零.对于电势则可以由该点移动电势为零处电场力做功与电量的比值来确定. A.若Q不变，P点的位置也不变，属于处于球壳外的某一点，无论球半径怎么变小，P点的电场强度仍不变，故A正确；B.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，由于P点的电场强度不变，所以电荷从该点移到电势为零处，电场力做功不变，因而P点的电势不变.故B错误；C.若Q不变，M点的位置也不变，令R变小（M点仍在壳内），根据题意可知，M点的电场强度仍为零，因此球壳内的电势处处相等，由于球壳的变小，导致电荷从球壳移到电势为零处电场力做功增加，所以球壳处的电势增加，故C正确；D.若Q不变，M点的位置也不变，令R变小（M点仍在壳内），根据题意可知，M点的电场强度仍为零，故D正确.

编辑：谢颖丽

〔关键词〕 物理教学；球壳；质量分布；均匀；壳内物体；

引力

〔中图分类号〕 G633.7 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）23—0120—01

牛顿用微积分的知识证明了两个结论：第一个结论——当物体在均匀球体的表面或外部时，将球体简化成质量集中于球心的质点，则r 为质点与球心之间的距离，这是中学阶段解决天体问题时直接应用该公式的原因；当物体在均匀球体内部时所受引力大小的问题，多只停留在定性分析的层面上，而在有些高考理综试题中，要求计算物体在均匀球体内部时所受引力大小，题目中给出的条件“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”——这是第二个结论.

例 已知一个均匀带电的球壳在壳内任意一点产生的电场强度均为零，在壳外某点产生的电场强度等同于把壳上电量全部集中在球心处的点电荷所产生的电场强度，即E=0，（rR）式中R为球壳的半径，r为某点到球壳球心的距离，Q为球壳所带的电荷量，k为静电力常量.在真空中有一半径为R、电荷量为+Q的均匀带电球壳，球心位置O固定，P为球壳外一点，M为球壳内一点，如图所示，以无穷远为电势零点，关于P、M两点的电场强度和电势，下列说法中正确的是（ ）

A.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变

B.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的电势升高

C.若Q不变，M点的位置也不变，而令R变小（M点仍在壳内），则M点的电势升高

D.若Q不变，M点的位置也不变，而令R变小（M点仍在壳内），则M点的场强不变

分析：均匀带电的球壳，壳外某点的电场强度则可由点电荷的电场强度公式求解，是将带电量的球壳看成处于O点的点电荷来处理.而壳内任一点的电场强度，全是零.对于电势则可以由该点移动电势为零处电场力做功与电量的比值来确定. A.若Q不变，P点的位置也不变，属于处于球壳外的某一点，无论球半径怎么变小，P点的电场强度仍不变，故A正确；B.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，由于P点的电场强度不变，所以电荷从该点移到电势为零处，电场力做功不变，因而P点的电势不变.故B错误；C.若Q不变，M点的位置也不变，令R变小（M点仍在壳内），根据题意可知，M点的电场强度仍为零，因此球壳内的电势处处相等，由于球壳的变小，导致电荷从球壳移到电势为零处电场力做功增加，所以球壳处的电势增加，故C正确；D.若Q不变，M点的位置也不变，令R变小（M点仍在壳内），根据题意可知，M点的电场强度仍为零，故D正确.

编辑：谢颖丽

〔关键词〕 物理教学；球壳；质量分布；均匀；壳内物体；

引力

〔中图分类号〕 G633.7 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）23—0120—01

牛顿用微积分的知识证明了两个结论：第一个结论——当物体在均匀球体的表面或外部时，将球体简化成质量集中于球心的质点，则r 为质点与球心之间的距离，这是中学阶段解决天体问题时直接应用该公式的原因；当物体在均匀球体内部时所受引力大小的问题，多只停留在定性分析的层面上，而在有些高考理综试题中，要求计算物体在均匀球体内部时所受引力大小，题目中给出的条件“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”——这是第二个结论.

例 已知一个均匀带电的球壳在壳内任意一点产生的电场强度均为零，在壳外某点产生的电场强度等同于把壳上电量全部集中在球心处的点电荷所产生的电场强度，即E=0，（rR）式中R为球壳的半径，r为某点到球壳球心的距离，Q为球壳所带的电荷量，k为静电力常量.在真空中有一半径为R、电荷量为+Q的均匀带电球壳，球心位置O固定，P为球壳外一点，M为球壳内一点，如图所示，以无穷远为电势零点，关于P、M两点的电场强度和电势，下列说法中正确的是（ ）

A.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变

B.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的电势升高

C.若Q不变，M点的位置也不变，而令R变小（M点仍在壳内），则M点的电势升高

D.若Q不变，M点的位置也不变，而令R变小（M点仍在壳内），则M点的场强不变

分析：均匀带电的球壳，壳外某点的电场强度则可由点电荷的电场强度公式求解，是将带电量的球壳看成处于O点的点电荷来处理.而壳内任一点的电场强度，全是零.对于电势则可以由该点移动电势为零处电场力做功与电量的比值来确定. A.若Q不变，P点的位置也不变，属于处于球壳外的某一点，无论球半径怎么变小，P点的电场强度仍不变，故A正确；B.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，由于P点的电场强度不变，所以电荷从该点移到电势为零处，电场力做功不变，因而P点的电势不变.故B错误；C.若Q不变，M点的位置也不变，令R变小（M点仍在壳内），根据题意可知，M点的电场强度仍为零，因此球壳内的电势处处相等，由于球壳的变小，导致电荷从球壳移到电势为零处电场力做功增加，所以球壳处的电势增加，故C正确；D.若Q不变，M点的位置也不变，令R变小（M点仍在壳内），根据题意可知，M点的电场强度仍为零，故D正确.

编辑：谢颖丽