参数空间中非自治四阶发展方程全局吸引子的存在性

徐海平， 李晓军 ， 周康宝

(河海大学 理学院，江苏 南京210098)

1 引言及预备知识

考虑下面非自治四阶发展方程:

其中I = (0，1)，W(p)= (p2－1)2，f(x)∈H10(I)，ε(t)∈C1(I)为一非负有界递减函数满足:

且存在L ＞0，使得

此方程在弹性原理、相转换、图像处理等领域有着广泛的应用。当ε(t)= 0 时，系统是一个简单的模型描述了来自固-固相变在特定弹性晶体上的微结构，当ε(t)是不依赖于时间t 的常数时，在文献［1-3］中作者研究了(1.1)～(1.3)全局吸引子的存在性。文中考查系统(1.1)～(1.3)中ε(t)与时间t 有关，且由于ε(t)在无穷远处衰减为0，从而方程带有奇异性。这在运用经典的方法得到吸收集及吸引子的存在性时带来一定困难。为得到时间导数项或－Δ 项依赖于时间参数的波方程的全局吸引子的存在性，Temam 等人分别在文献［4-5］中将时间参数并入过程所定义的空间，给出在依赖于参数t的空间中全局吸引子的存在性。文中应用文献［4-5］中的理论，考察式(1.1)～(1.3)依赖于时间t 的全局吸引子的存在性。

对于任意的u ∈H2(I)∩)，令‖·‖表示L2(I)范数，内积为＜·，·＞。则有

首先给出关于含参数空间的一些概念。对于每个对t ∈R，令Xt是一族依赖于时间t 的赋范空间，称双参数映射U(t，τ):Xτ→Xt是一个过程，若它满足:

1)U(t，τ)= U(t，r)U(r，τ)，∀τ ≤r ≤t;

2)U(τ，τ)是Xτ上的恒同映射。

令

设A，B 的Hausdorff 半距离为

若对任意的t ∈R，存在Rt，使得Ct⊂Bt(Rt)成立，则称集族C = {Ct}t∈R在Xt中是有界的。

定义1.1 称有界的一族集合{Bt}t∈R是拉回吸收集，如果对任意的R ＞0，都存在t0= t0(t，R)≤t，使得

称过程U(t，τ)是耗散的，若其拥有一拉回吸收集。定义1.2 称集族{Kt}t∈R，Kt⊂Xt，是拉回吸引的，若对任意的ε ＞0，集族{(Kt)}t∈R是拉回吸收的，其中(Kt)是Kt在Xt中的ε-邻域。若过程U(t，τ)拥有一个非空紧的拉回吸引集，即{Kt}t∈R是拉回吸引的，Kt⊂Xt是Xt中的紧集，则称U(t，τ)是渐近紧的。

定义1.3 称{At}t∈R是过程U(t，τ)依赖于时间的全局吸引子，如果{At}t∈R是拉回吸引的，At⊂Xt是紧集。

为保证吸引子的不变特性，引入下面定义。定义1.4 称U(t，τ):Xτ→Xt是闭的，若对任意给定的t ≥τ，{xn}⊂Xτ，

则有U(t，τ)x = ξ。

若对固定的T ＞0，U(t，t － T)是闭的，则称U(t，τ)是T-闭的。

由上述定义可知，连续过程，强弱连续过程，闭过程都是T-闭的。下面给出关于依赖时间的全局吸引子存在性的抽象结果，证明如同文献［6-8］。

定理1.1 假定过程U(t，τ):Xτ→Xt是渐近紧的，则存在依赖于时间的全局吸引子{At}t∈R，At⊂Xt。进一步假设U(t，τ)是T-闭的，则{At}t∈R满足不变特性:

注:上定理给出的全局吸引子没有唯一性，若过程U(t，τ)拥有一个一致有界的紧的拉回吸收集，则定理1.1 中所描述的全局吸引子在吸引意义下是唯一的。

2 主要结果

对于系统(1.1)～(1.3)，令空间Xt为含参数的L2(I)，定义空间Xt的范数为

同理定义空间Yt= H2(Ω)×(Ω)，范数为

由ε(t)的假设可知，空间Xt与Xτ等价，空间Yt与Yτ等价，当t →+ ∞时，等价常数爆破。

由标准的Galerkin 方法(如见文献［9-14］)，有如下结果。

定理2.1 假设式(1.2)～(1.5)成立，那么问题(1.1)～(1.3)在L2(I)中适定，即对任意的τ ∈R，任意的初值uτ∈L2(I)和任意的T ≥0，方程(1.1)～ (1.3)存在唯一的弱解u ∈C(［τ，t］;L2(I))，且该解连续地依赖于初值。

由上述定理可知，在Xt中可以定义过程U(t，τ):

其中u(t)是系统(1.1)～(1.3)的解。

引理2.1 假设式(1.2)～(1.5)成立，则对Xτ中的任何有界集B = Bτ(R)，存在τ0= τ0(B，t)＞0，使得

证 对式(1.1)两边用ε(t)u 在L2(I)中作内积，可得

由ε(t)的假设，从上式可得

应用函数W 的假设，从式(2.2)可以得到

故由上式得

应用式(1.6)于式(2.4)并运用Gronwall 引理可得

这里，用到ε(t)的假设。令τ →－∞时，由上式可得

由引理2.1 可知，过程U(t，τ)存在一个有界的拉回吸收集{Bt}t∈R，其中

令初值u(τ，x)属于Bτ。应用引理2.1，并对式(2.4)在(t，t +1)上积分可得

令‖·‖4表示L4(I)的范数。由式(2.3)可得

对式(2.7)在(t，t +1)上积分可得

应用式(2.6)于由式(2.8)可得

因此

引理2.2 假设式(1.2)～式(1.5)成立，则对任意的uτ∈Bτ，存在τ0= τ0(t，Bτ)＞0，使得

证 用－ ε(t)uxx对式(1.1)在L2(I)中做内积可得

由此可以推导出

对式(2.11)在(s，t + 1)上积分，且s ∈(t，t +

1)，可得

对式(2.12)再关于s 在(t，t +1)积分得

此外，重新估计式(2.10)可得

固有

对上式在(t，t +1)上积分可得

引理2.3 假设式(1.2)～(1.5)成立，则对任意的uτ∈Bτ，有

其中Ci，i = 1，2，3，为正常数。

证 用ut对式(1.1)在L2(I)中做内积可得

对式(2.15)在(s，t +1)积分，且t ≤s ≤t +1，可得

对上式再关于s 在(t，t +1)上积分得

结合式(2.6)和式(2.9)可得

定理2.2 假设式(1.2)～式(1.5)成立，则式(1.1)～式(1.3)所对应的过程在Xt中有依赖于时间的全局吸引子{At}存在，且At于Yt中有界。

证 由引理2.1 可得过程在Xt中有一个依赖于时间的吸收集。由引理2.2 ～2.3 可得系统所对应的过程在Xt中是渐近紧的。利用定理2.1 及定理2.2，可以得到过程在Xt中有依赖于时间的全局吸引子{At}t∈R存在。

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