声学腔内声波隧穿效应的研究

徐永刚，朱海飞，林富锟，安 斓，林钱兰，郭建中，李永放

（陕西师范大学 物理学与信息技术学院，陕西 西安 710119）

20世纪30年代初，物理学家Zener［1］研究了有关固体电介质中电子隧穿现象，指出在外加电场的作用下，电子可以从低能态穿过禁带到达高能态，也可从高能态跃迁到低能态.过去几十年来，人们在不同领域里发现了各种器件中隧穿的物理过程，例如，在国外有光学波导中的Landau-Zener隧穿效应［2－3］.绝热通道中的相干隧穿效应［4］以及在半导体超晶格中的Zener共振隧穿效应［5］.近年来人们又将这一物理现象进一步拓展到不同领域［6－10］，并研究了声波在声子晶体（Phononic Crystals，PC）传输过程中的隧穿问题［11－14］.Yang Suxia小组［15］利用三维声学声子晶体研究了超声波的隧穿问题.武汉大学的柯满竹等人［16］利用二维声子晶体研究了表面声波的隧穿现象.而 Helios Sanchis-Alepuz小组［17］则通过利用在构成层厚度以梯度变化为规律的声子晶体中研究了类似于电子在晶体中的 Wannier－Stark阶梯现象和Bloch振荡等声学效应.A Van Der Biest等人［18］利用在二维和三维声子晶体中建立的谐振腔，研究了共振隧穿效应以及与此相关的群时间问题；检测了群时间与声子晶体厚度的变化关系.由此可见，声波在声子晶体传输过程中的隧穿效应已成为人们关注的热点问题之一.

由声学声子晶体构建的PC-Bulk-PC结构与量子系统中的电子双势垒结构具有相似性，如图1所示.在位于声学谐振“腔”层中的振动模式实际上是一种受限的局域模式（即是通过破坏声子晶体结构中的晶格周期的“腔”层，也称“缺陷”层），它与声子晶体中的局域态相对应.在前面所述的声波隧穿效应研究中，大多与受限模式相关.因此通过研究局域态本征频率问题不仅可以系统地理解具有声学腔层声子晶体中局域声学声子特征，而且是研究形如双势垒系统的声子隧穿效应的重要内容.因此人们将这样的系统作为能够探测和产生准单色声学声子的潜在研发领域［19－20］.

图1 类比声子的双势垒系统（a）和具有腔层的声子晶体的原理图（b）Fig.1 Analog of a double-barrier system for phonons（a）Schematic of the phononic crystal with a cavity layer（b）

为了更好地理解和研究声波在声子晶体中的能量耦合过程和隧穿行为，我们利用声子晶体制备具有PC-Bulk-PC结构的连续可调的声波谐振腔系统.在此系统声波能量强度谱中，由于导带与禁带边缘处是声波能量耦合的敏感区域，通过改变谐振腔层的厚度，可以研究声波能量由禁带边缘处逐渐耦合到禁带内部的全过程，从而揭示腔层内局域态本征频率的变化规律；进而研究入射声波的隧穿动力学行为，以及腔层厚度的变化对声子晶体能态的影响.本文从理论和实验两方面研究腔层中受限振动模式本征频率的特征，并探讨声学隧穿过程中的物理机理和演化过程.

1 理论分析

本文所考虑的系统是由两组完全相同且平行周期交替排列的塑料板组成的一维声波谐振腔系统［21］，这个声学腔层的厚度可通过螺旋推进器进行人为地连续可调（如图2所示），并将此系统放置在水中.该系统中所使用的塑料板密度为ρA＝1.12kg/m3，纵波声速为vA＝2.65km/s；水的密度是ρB＝1.0 kg/m3，相应的纵波声速是vB＝1.48km/s；晶格常数为d＝dA＋dB，dC为腔层厚度.本实验装置的优点是该实验系统中的声学腔层厚度是连续可调的，以此可研究声波隧穿效应的物理机理和观测其动力学演化过程.

图2 声学声子晶体谐振腔系统Fig.2 Phononic crystal system containing a cavity

如果声学声子晶体是一个镜面对称的平面，且在此只考虑声波的纵向模式，则对于频率在太赫兹以下范围来说，就可认为构成声子晶体的每一构成层都是连续性模式.在连续性模型中，晶格位移和应力在相邻层的界面处是连续的，这样决定声子晶格位移的递推方程为［20，22］其中Un是第n个界面处介质的位移，下角标j表示每个晶格周期排列数，如图1b所示.它和第n个与第n＋1个界面之间部分转移矩阵的矩阵元相联系［23］:

其中α＝ωdA/vA，β＝ωdB/vB，dA和dB分别是构成层A（B）的厚度，Zi＝ρivi（i＝A，B，C）为声学阻抗.如果第j个部分是由单层C构成的腔层（即是两个声子晶体之间的声学谐振腔层部分），那么有，λj＝μj＝cosγ，σj＝sinγ，ξj＝－sinγ，其中γ＝ωdC/vC，dC是腔层的厚度.实验中选取的材料和B层的材料一样，即ZC＝ZB.令（1）式的解具有如下的形式:

其中要求参数Λ满足条件:｜Λ｜＜1，它确保声学谐振腔层中的晶格位移是局域，且收敛.为了求得（1）式的解，将（3）式代入到（1）式中化简可得到:

根据（4）式中的第一式可以得到衰变参数Λ的两个解为

注意到在腔层中不等式｜Λ｜＜1要求｜（μ＋λ）/2｜＞1.定义（μ＋λ）/2＝±cothθ，变量θ是正值.这时衰减参数Λ可以写为Λ＝±e－θ，其中正负号“±”分别表示对应（μ＋λ）/2＞1和（μ＋λ）/2＜－1的情形；而具有正值的θ表示声波衰减因子或是波数的虚部，那么可将复值波数k表示为kd＝mπ＋iθ，其中d＝dA＋dB表示声子晶体晶格的一个周期单元的长度.将｜（μ＋λ）/2｜＞1所对应的频率范围定义为能量带隙（即声子频率的禁带），而相对应的声子位移在谐振腔中则以指数的形式衰减；如果声子的频率范围满足｜（μ＋λ）/2｜≤1时，即｜Λ｜＝1，表示声子传播没有衰减，因此｜（μ＋λ）/2｜≤1所对应的频率范围就为声子频率的导带.由（2）式计算可得到:

其中ω1＝π（dA/vA＋dB/vB）－1是一阶Bragg频率，ε表示构成层A和B的声学失配［24］.而对于多数声子晶体的情况来说，这个失配参量都非常小ε≪1.因此满足｜（μ＋λ）/2｜＞1条件的频率区间接近于第m阶的Bragg频率范围，即ωm≡mω1，对应于第m个能量带隙区域（声学能量禁带）的中心.将（6）式的右边通过在ωm处级数展开，并且在数学上进行一些近似，就得到:

上式表明满足｜（μ＋λ）/2｜＞1的频率带隙区间:

其中δm＝（ω1/π）｜εsin（ωmdA/vA）｜，它表示第m个频率带隙的半宽度.在这个频率带隙范围内，将（μ＋λ）/2＝±coshθ的右边按照级数展开为

然后，分别对比方程（7）和（9）的右边可以得到θ的表达式:

将Λ＝±e－θ代入方程（4）中第二个方程，通过化简可以得到

此方程的解给出声学局域模的本征频率，其中方程的右边取决于谐振腔层C的基本参数，而左边则取决于声子晶体一个周期的参数，如（2）式所示.在一定近似下，化简（11）式左边有

其中利用θ代替了双曲函数sinhθ，因为在频率带隙中θ的最大值约为ε（≪1）的数量级，将（10）式和（12）式联立，就可以得到局域模式的本征频率表达式为

因为上文中定义了θ为正值，因此满足关系±εsin（ωmdA/vA）sin（ωmdC/vC）＞0，由此可见，方程（1）式的解表示的是一个局域解.最终得到本征频率的表达式为

将上式代入（10）式，经过化简就可得到声学局域模的衰减因子

表达式（14）和（15）是文中的重要结果.从（14）中可以看到，腔模就是局域模，它是在中心频率的两边展开的.对于第一个中心模式ω1＝π（dA/vA＋dB/vB）－1，它是由声子晶体结构和材料特征所决定的.当声子晶体结构和材料确定后，δm是一个确定值，这样局域模的频谱变化则由（14）式中的三角函数所决定，它是由腔层厚度变化所调制的周期函数.因此随着腔层厚度的变化，ωcavity是周期性的变化，它被局限在一定的频率区间之内，如图3a所示.同样，对于局域模的衰减因子来说，当声子晶体系统确定后，它是在一个区间θ＜1内随腔层厚度周期变化，如图3b所示.

图3 本征频率随谐振腔层厚度dC的变化规律（a）和衰减因子随dC的演化行为（b）Fig.3 Eigenfrequencyωcavity（a）and decay factorθ（b）versus the thickness dCof the resonant cavity layer

2 理论模拟与实验

图3a是最低频率带隙（m＝1）内局域模式的本征频率ωcavity随着腔层厚度dC增加时的周期变化关系.图中的黑色实曲线是由（14）式表示的本征频率ωcavity随厚度dC的演化规律画出的；两条竖直实线之间的区域是由频率带隙区间（8）式所确定；与实线重合的两条竖直虚线是由｜（μ＋λ）/2｜所确定的频率带隙宽度.由此可以看出声学本征频率是受限于禁带区间之中的，其演化规律是:随着腔层厚度dC的增加，本征频率从高频向低频方向演化，最终，局域模式出现在低频带隙边缘截止处.此时，其他模式从高的频率带隙中消失.该结果与后面的实验结果相比较，表明局域本征模的演化规律是与共振隧穿的频率相对应.

图3b表明声学局域模衰减因子θ与谐振腔层厚度dC的依赖性关系.当局域模的本征频率处于频率带隙区域的中心时，这个频率正好对应于衰减因子的最大值.根据方程（14）和（15）可以得到，谐振腔层中的ωcavity和θ的周期由dp＝m－1（tA＋tB）vC给出，其中tA＝dA/vA和tB＝dB/vB分别表示声学声子穿过构成层A（B）所需的时间.如果在最低频率带隙中，即m＝1，这个结果意味着厚度dp的增加相当于构成声子晶体的构成层A（B）的厚度增加.m表示在构成声子晶体的双层中的第m个频率带隙中驻波的数目.

图4展示了方程（11）的解，它表示在频率带隙内，方程的两边对频率的依赖关系.方程（11）的左边±（ξ－σ）/（2sinhθ）表示频率从－∞变化到∞时，由于在带隙边缘处sinhθ＝0的缘故，表现出单调递增或递减，图中用实线表示.方程（11）右边是函数（－cotγ）（其中γ＝ωdC/vC）随着频率单调递增，它的周期反比于腔层厚度dC，图中用虚线表示.在每一个频率带隙内都存在至少一个函数交点，即方程（11）的解.在本文中，方程（11）给出两个解，图中显示存在两个交点，即是分立的频率点ω1和ω2.这两个频率点恰好位于由频率带隙区间（8）式所确定两个边缘位置，｜ω2－ω1｜恰好是｜（μ＋λ）/2｜所确定的频率带隙宽度.

如果腔层厚度dC逐渐增加，三角函数（－cotγ）的变化周期就会减少，因此，交点数目就会增多.另一方面，如果腔层的厚度dC逐渐减少，交点数目就会减少.这个结果说明，谐振腔声子晶体类似于电子在单势阱中的束缚态数目随着势阱宽度的增加而增加.

图4 方程（11）的图解Fig.4 Graphical solutions of Eq（11）

图5 透射谱强度对腔层厚度的依赖关系Fig.5 Dependence of the transmitted acoustic intensities on the cavity layer thickness

前面研究了受限局域模的演化规律，而入射平面声波经过这样系统后的传输特性则由转移矩阵方法描述［21］.根据转移矩阵理论，本文设计的谐振系统的转移矩阵表示为TW＝（Td）NTC（Td）N，其中Td表示构成声子晶体的一个周期晶格的转移矩阵［22，24］，TC表示谐振腔的矩阵，N表示每个声子晶体的周期数目，其原理示意图由图1b所示.实验中所选取声源的频率波段恰好覆盖了由（μ＋λ）/2＜－1确定的禁带区间，如图5中两条白色竖直虚线所示.这时正入射的平面声波通过系统的透射率与谐振腔层厚度之间的关系是通过具有周期的三角函数相联系.由两组周期数为N＝4的声子晶体构成的谐振腔系统的透射谱强度随腔层厚度之间的变化关系如图5所示，图中间黑色阴影区对应着由（μ＋λ）/2＜－1确定的单个晶胞的第一个带隙频率区域，图中的黑白相邻区域则是禁带与导带之间的交叠处.图中的黑色阴影区域主要是由（μ＋λ）/2＜－1所确定的单个晶格的禁带区间，这意味着声学谐振腔的作用使得系统禁带区域宽度向两边区间有所展宽.声波隧穿效应则是声学能量从禁带边缘区域向其内部渗透，逐渐地向禁带中心区域不断延伸.在声波隧穿的过程中，声学透射能量却表现为一些分立的频率点，正如图5中的离散的白色点.它表明在宏观尺度的材料中可以显示出类似微观量子隧穿效应的现象.图中的水平白色虚线表示处于不同的腔层厚度情况下在禁带区域中分别产生1个、2个和3个声学隧穿谱通道.随着腔层厚度的增加，透射频率谱向低频段移动，这与图4所示的本征频率的变化行为完全一致，表明共振隧穿频率就是腔层内的局域本征频率之一.图中的两条竖直白色虚线分别处在低频段和高频段，可以看到在透射谱强度中的高低频边缘处的图像各有其特点:在谐振腔厚度变化的一定范围内，高频区域中竖线所在的频率只对应6个透射通道，但在低频段中则有3个透射通道与一个频率相对应.这一现象表明声波在高频区域更容易透过系统禁带从而产生声学隧穿效应.这一数值模拟结果与下文所述的实验观测结果相当吻合.因此，声学能量在一定的腔层厚度情况下明显地耦合到禁带区域之中，且呈现出周期性变化.

为了验证以上关于局域振动模式和声波能量耦合行为的演化规律，我们进行如下实验.将由声子晶体构成的谐振腔系统放置在水槽中［25－28］，通过脉冲信号发生器产生一个电脉冲，然后利用其激励超声换能器产生一个中心频率为ν＝0.70MHz的声学平面波，其原理简图如2所示.由于声波远场是垂直入射到声子晶体平面上，这样就可近似认为入射声波为平面波.实验中，通过改变腔层的厚度变化来获取记录信号，从厚度dC＝0mm开始记录信号数据，腔厚度每增加0.20mm，测量5次透射声谱信号数据并对其取平均值，腔层厚度dC变化的取值范围是0～5.00mm，最终共记录数据5×25次.激励声源经过声子晶体构成的谐振腔系统之后，时域中的透射声波强度信号经过傅里叶变换得到了透射声波在频域中的演化规律.

图6 激励声学波和不同腔层厚度振腔系统透射谱强度的比较图Fig.6 Comparison of the transmitted intensities of an excited acoustic wave in PCs for different cavity layer thicknesses

实验中利用超声换能器产生一个中心频率为ν＝0.70MHz的声波通过无样品的系统，并由探测器测量频谱响应曲线，如图6中黑色实线所示.图中的点线是由两个具有5周期的声子晶体的透射谱（此时的声学腔层厚度为dC＝0mm），从图中明显的可以看到，在区间为（0.55～0.78）MHz的声学透射谱强度为零，可见此区间为谐振腔系统的禁带区域，它和图5的模拟计算结果相吻合，而与禁带相邻的两边为谐振腔系统的导带区域.图6中的点虚线和虚线则分别表示声学腔层厚度为dC＝2.20 mm和2.40mm的两种情况下的系统透射谱强度，而有腔（dC≠0mm）时的透射谱强度（虚线）要弱于无腔（dC＝0mm）时的单一声子晶体的强度（点线）.从禁带边缘处的谱线强度变化可以看出，不同腔层厚度对应的微小透射峰有着明显的变化特征.

声源经过声子晶体构成的谐振腔系统后的实验和理论模拟结果的比较如图7所示，它揭示出透射声波随腔层厚度变化在频域中的演化规律.在图7a中，腔层厚度每增加约1.40mm，低频段的透射声波信号强度呈现周期性变化；而两平行黑色实线之间为系统禁带区域，声波经过声学系统后透射强度在这一区域中变成了多个离散且分立的峰，这说明声学腔系统对入射平面声波具有一定的调制作用.还可以看到，随着腔层厚度的增加，透射声波的波峰向禁带区域周期性地移动，并且会有一部分透射声波出现在禁带边缘处.实验中由于探测器的高频部分响应大于低频部分，正如图中的右边信号大于左边，并且在右边区域中穿过禁带内部的信号强度数目明显多于左边，这与图5中的理论模拟结果相一致，说明实验系统的高频区域更容易产生声学隧穿效应.

图7b是对应图7a的理论模拟结果，激发信号选取中心频率为0.66MHz，宽度为0.32MHz的高斯线型.两图对比可以看到，理论模拟结果与实验结果的演化规律完全相吻合.理论模拟结果表明，当构成谐振腔系统的声子晶体周期数目较多时，声波隧穿强度较弱；而在某一定的腔层厚度情况下，系统的禁带边缘处的能量耦合强度明显大于禁带中心区域，并且隧穿通道呈现周期性的变化行为.在禁带区域的边缘处，谐振腔系统对入射的声波具有一定的调制作用，使得透射声谱出现了多峰的特征现象.

图7 透射声学波谱的实验（a）和理论模拟（b）比较图Fig.7 Comparison of experimental results（a）and theoretical simulation（b）for the transmitted acoustic spectra

3 声学腔层厚度变化的物理效应的讨论

理论计算模拟与实验结果表明，声波隧穿效应和能量耦合是与谐振腔系统的能态分布有密切联系.当入射声波位于禁带频率区间且声学腔层厚度不同于声子晶体的周期长度（晶格常数）时，可以将此腔称作为一个声波谐振腔.这时只有形成驻波的声波能够在腔内形成稳定状态，而所形成驻波的频率便是受限局域模.当入射声波频率与其一相等时就可产生声波隧穿效应，这就是在声学谐振系统的禁带区域中产生共振隧穿效应的物理实质.驻波的形成必须满足条件:腔层厚度为半波长的整数倍即dC＝nλ/2，其中n为正整数（n＝1，2，…），代表纵声波的模式.根据波长与频率之间关系λ＝Tv，其中T是平面声学波周期，v是声波的传播速度，这样就有2dCν＝nν，其中ν为声波频率.对某种特定的均匀材料而言，声速v具有一个确定的值，因而频率ν一定，每增加腔层的厚度dC时，则必然会导致n的增加（对应于高阶模）；同样，对具有一定的腔层厚度dC，低频则对应着n的减少（对应于低阶模），而高频段则会导致n的增加.这就是实验结果产生的物理机理.

4 结论

本文的理论和实验研究结果揭示了受限局域模的演化规律与系统的隧穿频率相对应.谐振腔层厚度的变化效应，导致谐振腔系统的禁带宽度和透射声波频谱强度呈周期性的变化，并且在系统的禁带区域中周期性地出现分立的透射声波，也说明腔层厚度的变化有效地调节了声波在谐振腔系统禁带中的传输过程.理论模拟计算和实验观测结果相吻合，说明声波在谐振腔系统禁带边缘处的透射频谱强度随腔层厚度变化的动态演化规律，且可清楚地看到系统禁带边缘处的能量耦合过程.最后，研究了声波在声子晶体中的能量耦合过程，并讨论了声学腔层厚度与声学波长之间的关系，从声子学角度揭示了声学谐振腔系统中产生声学隧穿的物理机理.声子晶体导带与禁带边缘处的能量过渡规律及其隧穿效应属于基础科学问题，文中所述结果实现对声波的调制、制备窄带声波滤波器件的研究具有一定的应用和指导意义.

［1］Zener C.A theory of the electrical breakdown of solid dielectrics［J］.Proceedings the Royal of Society A，1934，145:523-529.

［2］Longhi S.Landau-Zener dynamics in a curved optical directional coupler［J］.Journal of Optics B，2005，7:9-12.

［3］Khomeriki R.Nonadiabatic Landau-Zener tunneling in waveguide arrays with a step in the refractive index［J］.Physical Review Letter，2005，94:113904-113908.

［4］Longhi S，Della Valle G，Ornigotti M，et al.Coherent tunneling by adiabatic passage in an optical waveguide system ［J］. Physical Review B， 2007， 76:201101-201104.

［5］Sibille A，Palmier J F，Laruelle F.Zener interminiband resonant breakdown in superlattices［J］.Physical Review Letter，1998，80:4506-4509.

［6］Fan L，Zhang S Y，Zhang H.Transmission characteristics in tubular acoustic metamaterials studied with fluid impedance theory［J］.Chinese Physics Letters，2011，28（10）104301-104304.

［7］Guo G C，Chai J H.Quantum nondemolition measurements of to phonons via detecting anti-stokes field［J］.Chinese Physics B，1997，6（7）496-503.

［8］高东宝，曾新吾，周泽民，等.一维亥姆霍兹共振腔声子晶体中缺陷模式的实验研究［J］.物理学报，2013，62（9）:094304-6.

［9］魏琦，程营，刘晓峻.点缺陷阵列对声子晶体波导定向辐射 性 能 的 影 响 ［J］.物 理 学 报，2011 ，60（12）:124301-5.

［10］郭建中，张婷，赵琳瑶，等.声波在声子晶体禁带边缘处的动态演化［J］.科学通报，2013，58（1）:63-68.

［11］刘启能.多层介质的转移矩阵及其在声子晶体中的应用［J］.应用声学，2009，28:378-383

［12］曹永军，董纯红，周培勤.一维准周期结构声子晶体透射性质的研究［J］.物理学报，2006，55:6470-6473.

［13］Wang Gang，Yu Dianlong，Wen Jihong.One dimensional phononical crystal with locally resonant structures［J］.Physics Letters A，2004，327:512-521.

［14］刘启能.一维声子晶体中弹性波的全反射贯穿效应［J］.振动与冲击，2012，31:173-176.

［15］Yang Suxia，Page J H，Liu Zhengyou，et al.Ultrasound Tunneling through 3Dphononic crystals ［J］.Physical Review Letter，2002，88:104301-104304.

［16］Ke Manzhu，He Zhaojian，Peng Shasha，et al.Surface resonant-states-enhanced acoustic wave tunneling in two-dimenshional phononic crystals［J］.Physical Review Letter，2007，99:044301-044304.

［17］Helios Sanchis-Alepuz，Kosevich Y A，Jose Sanchez-Dehesa.Acoustic analogue of electronic bloch oscillation and resonant zener tunneling in ultrasonic superlattices ［J］. Physical Review Letter， 2007， 98:134301-134304.

［18］Van Der Biest A，Sukhovich A，Tourin A，et al.Resonant tunneling of acoustic waves through a double barrier consisting of two phononic crystals［J］.Europhysics Letters，2005，71:63-69.

［19］Narayanamurti A.Phonon optics and phonon propagation in semiconductors［J］.Science，1981，213:717-723.

［20］Khourdifi E M，Djafari-Rouhani B.Localised acoustic waves associated with a planar defect in a superlattice［J］.Journal of Physics:Condensed Matter，1989，1:7543-7553.

［21］赵琳瑶.可调谐声学谐振腔中声波遂穿效应的研究［D］.西安:陕西师范大学物理学与信息技术学院，2012.

［22］罗斯.固体中的超声波［M］.北京:科学出版社，2004:143.

［23］Seiji Mizuno，Shin-ichiro Tamura.Theory of acousticphonon transmission in finite-size superlattice systems［J］.Physical Review B，1992，45:734-741.

［24］Mizuno S，Tamura S.Resonant interaction of phonons with surface vibrational modes in a finite-size superlat-tice［J］.Physical Review B，1996，53:4549-4552.

［25］Seiji Mizuno，Shin-ichiro.Tamura impurity levels and resonant transmission of acoustic phonons in a doublebarrier system ［J］.Physical Review B，1992，45:13423-13430.

［26］徐永刚.周期与非周期一维声子晶体能带特性研究［D］.西安:陕西师范大学物理学与信息技术学院，2013.

［27］Boudouti E H E，Djafari-Rouhani B，Khourdifi E M，et al.Surface and interface elastic waves in superlattices:Transverse localized and resonant modes［J］.Physical Review B，1993，48:10987-10997.

［28］Camley R E，Djafari-Rouhani B，Dobrzynski A A D.Maradudin transverse elastic waves in periodically layered infinite and semi-infinite media［J］.Physical Review B，1983，27:7318-7329.