“知识与认知相结合”在高中数学教学中的应用

罗燕平

摘    要： 数学知识构建和形成的过程其实就是“知识与认知相结合”、构建数学认知结构的过程，与固定化的数学知识比较而言，认识策略有很大的研究和拓展空间。由此，高中数学教师应结合各阶段学生的个性特征，倾力培养和提高他们建立自我认知策略的能力，这样既能提高学生掌握数学知识、运用数学知识的能力，又能为学生终身学习奠定坚实的基础。

关键词： 高中数学教学    数学知识    认知结构    教学应用

引言

通过对高中数学教学情况的实际调查，笔者发现了这样一种现象：大多数学生对于教师课堂所授的知识内容都能听懂和掌握，却无法准确将其应用于现实生活中解决实际问题，这种现象并未因课程改革的深化而得到解决，究其根源就在于我们忽视了对学生自我认知能力的培养。对于大多数高中生而言，数学知识学习无非就是知识的理解和掌握及数学学习能力的增强，而依据实际调查的现状分析，学生应用数学知识处理问题的能力、对于现实生活实践的认知能力都存在一定的问题，这些问题成为阻碍学生数学能力提高的最大障碍。针对这样的问题，笔者认为只有将“知识与认知相结合”的学习策略有效应用到高中数学教学中，才能真正提高学生的数学学习能力及应用数学知识解决问题的能力。

一、阐明数学认知结构的涵义

显而易见，数学认知结构与数学知识结构是两个完全不同的概念，数学认知结构是一个主观的动态过程，而数学知识结构则是以静态的、客观的状态存在。本文所阐明的数学认知结构，则是指数学知识结构通过学生头脑的反复思维和不断加工形成的一种模式。总体来说，就是学生在不断学习的过程中培养和形成的知识构建能力、自我认知能力和数学学习能力的能力系统。这些能力包括以下三类：一是对于数学知识概念、公式的概括能力;二是学生在解决数学问题的过程中，选择切实可行的数学方法的能力;三是数学知识结构建模的能力及解决数学问题的能力。

二、高中数学知识的特征

（一）较强的抽象性。

譬如函数、集合等这些数学知识内容都不是具体的、直观的，而且立体几何的内容也都缺乏直观性和具体性，这给学生预留了思维想象的空间，推进了学生想象和思维能力由直观型、经验型向理论型、抽象型的转变。

（二）较大的密集性。

高中数学知识内容过于纷繁芜杂，每一章节的知识密集性加大，对于学生来讲，上一节的新授知识还未来得及掌握和消化，又一节新的知识接踵而至，给学生的感觉是看似听懂和掌握了新授知识，但是做课后作业时却显得捉襟见肘。

（三）较强的独立性。

高中数学知识各章节的内容都具有相对的独立性，具有各自鲜明的个性特征，由此必须努力发掘各章节内容和各部分内容之间的关联，这是提高学生数学学习能力的着力点。

（四）较强的应用性。

高中教材知识内容都是借助于大量的实地取材、一些实际问题而实现新知识的引入，为基础知识的讲授提供基础的实际背景，使学生切实感受到应用数学知识解决实际问题的成功体验，加深学生对数学知识的理解，形成数学学习的应用意识。

三、“知识与认知相结合”在高中数学教学中的应用

（一）教师积极引导学生不断强化自身的认知策略。

居于高中数学内容复杂性的特征，也不是所有学生都能自主形成一定的认知策略，这就需要通过教师的有效引导实现，教师可借助于客观的载体或采取切实可行的措施，指引学生自主进行“知识与认知的结合”，在头脑中构建起解决问题的知识系统模型，促使他们形成一定的认知策略。譬如，在讲授“几何概型”的教学中，笔者就注意到学生对于“拿一段长度3m的绳子，将其拉直，随意在哪个位置剪断，那么所剪两段的长度都不小于1m的概率有多大”这个问题存在理解上的偏差，他们无法理解将绳子三等分的意义，而教师可以就此引导学生实现知识与认知的结合，逐渐培养他们形成一定的认知策略。笔者将问题中的1m变为0.5m，并引导学生逐渐掌握此类问题计算概率关键在于如何构建剪断模型，可借助作图的方式认识到所剪位置处于绳子的具体哪段。这种具体化几何面、几何体的概率计算，可采用类似的方式，学生对于测度的概念便有了深刻理解，于是就掌握了几何概型中如何计算概率的方式。接下来，对于几何概型的概念和概率计算的公式进行“回顾”，使学生逐渐领悟如何构建一个系统的数学概念，这与教师的积极引导是分不开的。

（二）着力构建起旧知识向新知识过渡的认知结构。

有效学习其中关键一点就是学生自主将所学新知识与其认知结构中存在的旧知识进行紧密联系，这就需要构建起旧知识向新知识过渡的认知结构。首先要激发学生构建认知结构的兴趣。兴趣是最好的老师，有了极大的兴趣，才能发掘出内在的灵感和智慧。由此，教师应将抽象化的理论知识尽量具体化、直观化，可借助于直观的图形、贴切的比喻和恰当的实例。例如，在“算法初步”一章教学中，可借助于典型实例（一元二次方程求解、二元一次方程求解、函数作图等），引入基本算法的思想和结构，接下来通过“秦九韶算法”、“进位制”等为例，指引学生自主开始模仿和操作，构建起新旧知识的认知结构;此外，还可以利用连续的定义与植物的生长形成认知结构，利用导数的概念与运动变化形成认知结构，这样能最大限度地激发学生建构认知结构的兴趣，加强学生对于新概念和新知识的理解和掌握。其次，应积极营造适宜的问题情境，只有切实从学生所熟悉的现实生活中捕捉实例，才能唤醒学生的问题意识，才能使学生自主构建起他们脑海中的认知结构。教师所设计的问题情境的方式和难度要适中，在讲授函数连续性的内容时，可设计这样的问题：温度呈连续变化状态，那么，10分钟、1分钟或0.01秒的时间我们能感受到其变化吗？让他们逐渐领悟函数连续性的概念，还可以用“多米诺骨牌”帮助学生构建起数学归纳法的概念模型。

（三）利用数学知识的外在、内在美学构建认知结构。

数学知识蕴含了深刻的美学特性，具备外在的美、内在的美，具备形式的美、内容的美，具备思想的美、方法的美。由此，在高中数学教学中，就需要有效利用数学知识的美激发学生的兴趣，陶冶学生的情操，同时应积极引导学生从数学美的角度构建起稳固的认知结构。首先，善于利用数学的外在美，无论代数中的公式，抑或是几何中的图形都会给人一种和谐的美感，可以借助于数学计算软件绘制平面或立体图形，在展现这些知识外形美的同时，可以引入欧拉公式加强对于数学公式的理解和掌握。其次，挖掘数学知识的内在美，可利用罗比达法则感受求出极限的快捷，利用幂函数促进强对于函数研究的深入，便能构建起知识与认知结合的认知结构。此外，应善于发现数学神奇的美，数学知识神奇的美往往是“出人意料”，例如，将两个圆柱体沿上端往下垂直截开，将此截面展开后，发现其截线对应的曲线竟是一条正弦曲线;所谓“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…这个数列竟然诠释了大自然中的很多奥秘，像向日葵的圆盘、花朵的瓣数，等等;而且，这个数列还使黄金比例1.618的分割率得以验证，就是说此数列每一项与其后面相邻一项比的极限为黄金分割律，学生被这些令人震叹的美深深吸引。

结语

总体来看，高中数学知识有其一定的复杂性，而认知策略才具备丰富的研究和拓展空间，由此，我们必须依据高中生的个性特征，帮助他们实现知识与认知的有效结合，培养他们形成自我认知策略的意识和能力，从而为学生的终身学习和发展奠定坚实的基础。

参考文献：

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