三维向量空间中线性变换的特征向量的几何意义＊

2014-12-25纪永强

湖州师范学院学报 2014年10期

关键词：特征方程原点特征向量

纪永强

（湖州师范学院理学院，浙江湖州313000）

0 引言

关于线性变换的特征向量的定义及有关性质，在文献［1～3］中都有讨论.文献［4］给出了平面上线性变换的特征向量的几何意义.对于空间中线性变换的特征向量的几何意义还没有人具体研究过，本文给出了它们的几何意义，对特征向量有了直观的认识.

1 空间R3 中非对称矩阵对应的线性变换的特征向量的几何意义

其中：x＝（x1，x2，x3）∈R3；∈R3.R3中的元素（x1，x2，x3）也是空间中某点的坐标，因此称R3是空间.设F：R3→R3是空间R3中的线性变换，即

其中：x，x∈R3；a，b∈R.由文献［1］中的定理1.2.2得如下定理成立.

定理［1］设F：R3→R3为F（（x1，x2，x3））＝（y1，y2，y3），则F是空间R3中的线性变换的充要条件是：

即

由此可知，空间R3中的线性变换F与三阶实矩阵A＝（aij）3×3是相互确定的，即给出了线性变换就可得出矩阵A，反之给出了矩阵A就可写出线性变换.

线性变换的几何意义是：设A的行列式，则线性变换（3）式是空间R3中非退化的线性变换，它将空间R3中的点（x1，x2，x3）变为唯一的一点，此点的坐标是：

其中：（a11，a21，a31），（a12，a22，a32）和（a13，a23，a33）分别是向量F（e1），F（e2）和F（e3）关于基e1，e2，e3的坐标.（5）式写成矩阵形式是：

设α＝（x1，x2，x3）∈R3，则α可写成矩阵形式：

从而有：

因为F是R3上的线性变换，由（2）式、（6）式及（7）式得：

由文献［2］得特征向量的定义如下：

定义［2］设F：R3→R3是向量空间R3上的线性变换，λ∈R，α是R3上的非零向量，若

则称λ是线性变换F的一个特征根，α属于特征根λ的特征向量.

对任意a∈R，a≠0，有F（aα）＝λ（aα），所以aα是属于特征根λ的所有特征向量.因为α＝（x1，x2，x3）∈R3，所以（10）式可写为：

由此得到空间R3中线性变换F的特征向量α的几何意义是：特征向量α是空间R3中点M的径矢量，即α＝，而点M的坐标是（x1，x2，x3），属于特征根λ的所有特征向量aα都在由点（0，0，0）和点（x1，x2，x3）确定的直线OM上.因为F（α）与α的坐标成比例，所以矢量F（α）与矢量α线性相关.几何意义是：F（α）与α在过原点的直线OM上.

由（8）式～（10）式得，特征向量的充要条件是：设α＝（x1，x2，x3）是非退化的线性变换F：R3→R3的属于特征根λ的一个特征向量，即

其中：ξ＝αT是α的转置，它是三行一列矩阵，也是一个列向量，α＝ξT；A＝（aij）3×3是线性变换F的矩阵且是三阶单位方阵.因为特征向量ξ≠0，所以关于x1，x2，x3的三元一次齐次方程组（14）式有非零解x1，x2与x3的充要条件是它的系数行列式为零，即

（15）式称为线性变换F或三阶方阵A的特征方程.F的特征多项式是：

其中：I1＝a11＋a22＋a33是矩阵A的迹；是矩阵A的行列式.由此可知，线性变换F的特征方程（15）式为：

这是关于λ的一元三次方程，设矩阵A是非对称矩阵.

下面讨论方程（17）式的根.

（1）设方程（17）式只有一个实数根λ1，将它代入方程组（14）式，可得一个特征向量α1＝（X1，Y1，Z1），此时F（α1）＝λ1α1.几何上，α1与F（α1）在经过原点的一条直线上，λ1对应的所有特征向量aα1＝（aX1，aY1，aZ1）都在该条直线上，这就是特征根的几何意义.具体例子如下：

矩阵A的特征方程是：

解得矩阵A只有一个实的特征根λ1＝1，再由（14）式得λ1＝1对应的一个特征向量是α1＝（3，1，－1），且F（α1）＝α1λ.1＝1对应的所有特征向量aα1＝（3a，a，－a）在直线上，该直线上的点是线性变换F的不变点.

（2）设方程（17）式有三个实数根λ1，λ2，λ3且λ1≠λ2＝λ3，将λ1代入方程组（14）式，可得对应的一个特征向量α1＝（X1，Y1，Z1），则重根λ2＝λ3对应的特征向量或只有一个α2＝（X2，Y2，Z2），或有无穷多个.因为α1与α2的坐标不成比例（否则α2也是λ1对应的特征向量），所以α1与α2线性无关.几何上，α1与α2分别在经过原点的两条直线和上，这就是有一对重根对应的特征向量的几何意义.具体例子如下：

解得矩阵A的特征根λ1＝2，λ2＝λ3＝1，再由（14）式得λ1＝2对应的一个特征向量是α1＝（1，1，－1），重根λ2＝λ3＝1对应的线性无关的特征向量只有一个α2＝（1，0，0），α1与α2线性无关，且F（α1）＝2α1，F（α2）＝α2.几何意义是：λ1＝2对应的所有特征向量都在直线上，λ2＝λ3＝1对应的所有特征向量都在x轴上，且α1与α2不同在一条直线上.

矩阵A的特征方程是：

解得特征根λ1＝1，λ2＝λ3＝2，λ1＝1对应的一个特征向量是α1＝（－1，1，1），重根λ2＝λ3＝2对应的特征向量是α＝（X，Y，X＋Y），其中X，Y是不全为零的任意实数，且F（α1）＝α1，F（α2）＝2α2.几何意义是：λ1＝1对应的特征向量都在直线上，二重特征根λ2＝λ3＝2对应的特征向量都在直线上，且有无穷多个，即（X，Y，X＋Y），且α1＝（－1，1，1）与α＝（X，Y，X＋Y）不共线.

（3）设方程（17）式有三个互不相等的实数根λ1，λ2，λ3且λ1＜λ2＜λ3，将λ1，λ2，λ3分别代入方程组（14）式，可得三个特征向量α1＝（X1，Y1，Z1），α2＝（X2，Y2，Z2），α3＝（X3，Y3，Z3），因为它们的坐标不成比例，所以它们两两线性无关.几何意义是：α1，α2和α3不共面，α1，α2和α3分别在经过原点的三条直线上.具体例子如下：

矩阵A的特征方程是：

解得特征根λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，对应的特征向量分别是α1＝（1，0，0），α2＝（1，1，0），α3＝（1，2，2），且F（α1）＝α1，F（α2）＝2α2，F（α3）＝3α3.几何意义是：α1，α2和α3不共面，且分别在直线上.

（4）设方程（17）式有三个相等的非零实数根λ1＝λ2＝λ3≠0，对应的特征向量只有一个α1＝X1，Y1，Z1（）.具体例子如下：

矩阵A的特征方程是：

解得特征根λ1＝λ2＝λ3＝1，对应的特征向量只有一个α1＝（1，0，0）.几何意义是：λ1＝λ2＝λ3＝1对应的所有特征向量都在直线上.

通过讨论，得如下空间中特征向量的几何意义的定理成立：

定理1 设F：R3→R3是空间R3中由三阶非对称实矩阵A＝（aij）3×3对应的线性变换，即

（1）设λ1是实数特征根，λ2，λ3是一对共轭的复数特征根，则线性变换F只有一个实的特征向量α1＝（X1，Y1，Z1），此时F（α1）＝λ1α1.几何上，α1与F（α1）在经过原点的一条直线上，λ1对应的所有特征向量aα1＝（aX1，aY1，aZ1）都在该条直线上，这就是特征根的几何意义.

（2）设λ1，λ2，λ3是三个实数特征根且λ1≠λ2＝λ3，λ1对应的一个特征向量是α1＝（X1，Y1，Z1），则重根λ2＝λ3对应的线性无关的特征向量或只有一个α2＝（X2，Y2，Z2），或有无穷多个.几何上，α1与α2不共线，α1与α2分别在经过原点的两条直线和上，这就是有一对重根对应的特征向量的几何意义.

（3）设λ1，λ2，λ3是三个互不相等的实数特征根且λ1＜λ2＜λ3，λ1，λ2，λ3对应的三个特征向量分别是α1＝（X1，Y1，Z1），α2＝（X2，Y2，Z2），α3＝（X3，Y3，Z3）.几何意义是：α1，α2和α3不共面，α1，α2和α3分别在经过原点的三条直线上.

（4）设λ1，λ2，λ3是三个相等的非零实数特征根λ1＝λ2＝λ3≠0，则对应的线性无关的特征向量只有一个α1＝（X1，Y1，Z1）.所有的特征向量都在直线上.

2 空间R3 中对称矩阵对应的线性变换的特征向量的几何意义

矩阵A的特征方程是：

由文献［5］知，特征方程（19）式的根λ1，λ2，λ3都是实数，且不同的特征根对应的特征向量正交，即设λ1≠λ2对应的特征向量分别是α1＝（X1，Y1，Z1），α2＝（X2，Y2，Z2），则

由文献［5］得，三阶实对称矩阵A有三重非零特征根λ1＝λ2＝λ3≠0的充要条件是：

此时线性变换是F（（x，y，z））＝（a11x，a11y，a11z）＝a11（x，y，z），这是伸缩变换，对应的特征向量是自原点出发的任一非零矢量α＝（X，Y，Z）.

由此可得，三阶实对称矩阵A对应的线性变换的特征向量的几何意义的定理成立：

定理2 设F：R3→R3是空间R3中三阶实对称矩阵A＝（aij）3×3对应的线性变换，即

则它的特征根λ1，λ2，λ3都是实数.

（1）设三个特征根λ1，λ2，λ3两两不等，对应的三个特征向量分别是α1＝（X1，Y1，Z1），α2＝（X2，Y2，Z2），α3＝（X3，Y3，Z3）.特征根的几何意义是：它们两两垂直，即α1⊥α2，α2⊥α3，α3⊥α1.

（2）设λ1是单根，λ2＝λ3是重根，λ1对应的一个特征向量是α1＝（X1，Y1，Z1），则重根λ2＝λ3对应的特征向量α＝（X，Y，Z）满足

即平面X1x＋Y1y＋Z1z＝0上自原点出发的任一非零矢量都是重根对应的特征向量，且单根对应的特征向量是该平面的法矢量.

（3）设三个特征根λ1，λ2，λ3相等，即λ1＝λ2＝λ3≠0，则自原点出发的任一非零矢量α＝（X，Y，Z）都是重根对应的特征向量.

具体例子如下：

它的特征方程是：

解得矩阵A 的特征根λ1＝6，λ2＝3，λ3＝－2，对应的三个特征向量分别是α1＝（－1，1，2），α2＝（1，－1，1），α3＝（1，1，0），显然特征向量两两垂直，这就是特征向量的几何意义，且F（α1）＝6α1，F（α2）＝3α2，F（α3）＝－2α3，F（α1）与α1在直线上.因矩阵A的行列式，所以线性变换F是空间R3的一一变换.此时变换F是非退化的线性变换.

它的特征方程是：

解得特征根λ1＝4，λ2＝3，λ3＝0，对应的三个特征向量分别是：α1＝（1，0，－1），α2＝（1，－1，1），α3＝（1，2，1），显然特征向量两两垂直，这就是特征向量的几何意义，且F（α1）＝4α1，F（α2）＝3α2，F（α3）＝0.因为矩阵A的行列式，所以线性变换F是空间R3退化的线性变换，它将直线上的任一点（t，2t，t）映为原点（0，0，0），该直线外任一点的像是空间中的某一点，如F（（1，2，3））＝（－2，－2，3）.

例2.1和例2.2给出了对称矩阵具有三个不同特征根对应的特征向量的几何意义.

因为矩阵A的行列式，所以线性变换F是空间R3的一一变换.它的特征方程是：

解得特征根λ1＝2，λ2＝λ3＝－1，λ1＝2对应的一个特征向量是α1＝（1，1，1）.重根λ2＝λ3＝－1对应的特征向量是α＝（X，Y，Z）满足X＋Y＋Z＝0，即重根λ2＝λ3＝－1对应的特征向量是α＝（X，Y，－X－Y），其中X，Y是不全为零的任意实数.几何意义是：平面x＋y＋z＝0上自原点出发的任意矢量都是重根λ2＝λ3＝－1对应的特征向量，该平面的法矢量＝（1，1，1）就是单根λ1＝2对应的特征向量，且F（α1）＝2α1F（α）＝－α.

例2.3给出了对称矩阵具有二重特征根对应的特征向量的几何意义.