柱面螺线的一般方程＊

张巧媚，纪永强

（湖州师范学院 理学院，浙江 湖州313000）

0 引 言

设C：r＝r（s）是空间挠曲线，s是曲线C的弧长，在文献［1］中有如下定义：若曲线C上每一点的单位切矢量e1（s）与定幺矢量δ成定角θ，即

则称曲线C是柱面螺线.由文献［1］有：

定理1［1］空间挠曲线C：r＝r（s）是柱面螺线的充要条件是：曲线C上每一点的曲率k（s）与挠率τ（s）之比是非零常数a，即.

由文献［2］得下面定理成立.

定理2［2］设曲线C：r＝r（s）是柱面螺线，S：ρ（s，v）＝r（s）＋ve2（s）是曲线C的主法线曲面，e2（s）是曲线C的单位主法矢量，C1：ρ1（s）＝r（s）＋e2（s）是曲线C的曲率中心轨迹.

（1）若C1是曲面S上的一条渐近线，则柱面螺线C是圆柱螺线.

（2）若C1是曲面S上的一条测地线，则柱面螺线C的一般方程是：

设C：r＝r（s）是柱面螺线，曲线C的副法线曲面S的方程是：

其中：e3（s）是曲线C的单位副法矢量.曲线C的挠率中心轨迹C1的方程是：

显然，曲线C1在曲面S上.当C1是曲面S上的一条渐近线或C1是曲面S上的一条测地线时，可得柱面螺线C的具体方程.

由文献［1］可知，空间挠曲线C的基本公式是：

设s1是曲线C1的弧长，对（3）式关于s求导得：

（6）式表明，沿曲线C1，曲面S的切矢量ρv与曲线C1的单位切矢量α1线性无关.因此，沿曲线C1，曲面S的单位法矢量是：

其中：ε＝±1.对（5）式两边关于s求导，并由（4）式得：

另外，在文献［3］给出了柱面螺线的一般方程：

其中：θ为定角；x（s）和y（s）是任意函数.

事实上，x（s）和y（s）是满足某个条件的函数，不是任意函数.反例：曲线C：r（s）＝不是柱面螺线.

下面给出x（s）和y（s）满足具体的条件，使得曲线为柱面螺线.

1 定理及其证明

定理1 设C：r＝r（s）是柱面螺线，若曲线C的挠率中心轨迹C1是曲线C的副法线曲面S上的一条渐近线，则柱面螺线C的一般方程是：

其中：

证明 由（6）式可知，曲面S的法矢量n（s）与曲线C1的单位切矢量α1正交，即它们的内积为零，即

由（7）式得：

在（8）式两边与n（s）作内积得：

由文献［1］知，法曲率kn的定义是：

所以（11）式为：

由此可得，曲线C1是曲面S上的渐近线的充要条件是：沿曲线C1，法曲率kn≡0，由（13）式得：

由文献［4］得柱面螺线C的方程是：

其中：

定理2 设C：r＝r（s）是柱面螺线，＝a≠0.若曲线C的挠率中心轨迹C1是曲线C的副法线曲面S上的一条测地线，则柱面螺线C的一般方程是：

证明 将（5）式两边与曲面的法矢量n作外积，并由（7）式得：

由（8）式两边与（n×α1）作内积得：

由文献［1］中测地曲率kg的定义知，kg＝n，α1，（ ），所以（17）式为：

由此可得，曲线C1是曲线C的副法线曲面S上的测地线的充要条件是：沿曲线C1，测地曲率kg≡0.由（18）式得：

因为τ≠0，令t＝，得：

（19）式两边关于s求导得，解得：

将（20）式代入（19）式得：

由文献［4］得柱面螺线C的方程是：

其中：

定理3 设C：r（s）＝（x（s），y（s），z（s））是柱面螺线，δ＝（0，0，1）为定幺矢量，则柱面螺线C的一般方程是：

其中：θ为定角；x（s）和y（s）是满足方程

的任意函数.

证明 曲线C的单位切矢量是：

又δ＝（0，0，1），因为曲线C是柱面螺线，由（1）式得：

即（s）＝cosθ，其中θ为定角，所以z（s）＝scosθ.

又因为e1（s）是曲线C的单位切矢量，所以（s）2＋（s）2＋（s）2＝1.由此可得：

方程（26）式表示的柱面螺线是圆柱螺线.

［1］纪永强.微分几何［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］张量.两种特殊的螺旋线［J］.数学的实践与认识，2011，41（12）：187－190.

［3］梅向明，黄敬之.微分几何［M］.北京：高等教育出版社，1988.

［4］沈纯理，黄宣国.微分几何［M］.北京：经济科学出版社，1997.