从一个案例看高等数学教学中数学建模思想的渗透

黄 刚

摘  要：教学需要不断地改革，将数学建模的思想方法融入高等数学教学之中，挖掘高等数学在建模方面的案例，通过案例教学渗透数学建模的思想方法，提高学生应用数学思想方法解决问题的能力。

关键词：高等数学;数学建模;案例;渗透

一、数学建模思想方法

采用数学的语言描述事物就称之为数学模型。严格的数学语言描述各种现象，会使所描述的实际现象更具有科学性、逻辑性、客观性和可重复性。用抽象的数学模型替代实际物体的实验，也是实际操作的理论模式替代。数学建模思想方法是把实际问题用数学语言进行抽象概括，用数学的方式反映或者近似地刻画实际问题，得到实际问题的数学化描述。数学建模属于应用数学，其过程是要将实际问题经过分析、简化及转化成一个数学问题，之后用数学的方法解决，或得到更多地结果，再经过实际问题的检验。数学建模是解决实际问题的一种强有力的数学手段，它可以培养学生阅读理解实际材料、获取有用信息、建立数学模型、得出数学结论、进而解决实际问题的能力。高等数学课程中就有很多这类好的案例，通过案例教学渗透数学建模的思想方法。

二、高等数学教学中一个数学建模案例——导数及其应用

案例教学要经过课前周密的策划和准备，通过分析、比较，研究各种各样的成功的和失败的管理经验，从中抽象出某些一般性的管理结论或管理原理来丰富自己的知识。用特定的案例并指导学生提前阅读，组织学生开展讨论或争论，形成反复的互动与交流，案例教学一般要结合一定理论，通过各种信息、知识、经验、观点的碰撞来达到启示理论和启迪思维的目的。

导数理论体系的建立及应用是高等数学教学中很好的一个数学建模案例。

（一）导数的原型和概念。导数是微积分的核心概念之一，它有其物理原型和数学原型，是通过解决物理的速度和加速度以及曲线切线的几何问题而抽象出来的，是特殊的极限，物体在时刻t0的瞬时速度是平均速度的极限V■=■V■=■■=■■，割线PQ的斜率k′的极限k就应是曲线过点P的切线斜率k=■■=■■，两者的实际意义完全不同，从数学角度来看，它们数学结构完全相同，都是函数增量与自变量增量比值■的极限（当△x→0），是函数变化快慢程度的反映，其定义为：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内定义，且当自变量x在x0取得增量△x时。若极限■■==■■存在，则称函数y=f（x）在点x=x0处可导（或存在导数），称极限值为函数y=f（x）在点x=x0处的导数（或微商），记为f′（x0）或              若极限■■==■■不存在，则称函数f（x）在点x0处不可导。

（二）导数与微分的理论体系。函数y=f（x）在点x=x0处的导数是一个构造性的定义，它是连续的充分而不必要条件，由定义得到导数四则运算的法则、复合函数的链式求导法则、反函数的导数，从而得到6个基本初等函数的导数，进而解决了初等函数的导数问题。函数y=f（x）在点x=x0处的导数的充分必要条件是左右导数存在且相等。以上理论主要用来讨论函数在一点的导数或导函数的计算问题。

微分的理论有：函数y=f（x）在点x=x0处的充分必要条件是函数y=f（x）在点x=x0处可微，建立了函数改变量与导数（微分）的近似关系，微分的洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式，建立了函数与导数的公式关系，或是将函数近似表系数为各阶导数的多项式，借用导数的性质来解决函数问题。

（三）导数的广泛应用。应用导数解决的问题是广泛的，基本应用是解决函数曲线问题，利用微分理論将函数问题转化为利用导数的性质给予解决，很多问题只需用到一、二阶导数的正负号就能解决，导数不仅在数学上，而且在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，也是开展科学研究必不可少的工具。

（四）案例教学中渗透数学建模思想的处理。教学中不仅要有过程的知识性教学，从实例抽象出概念及理论体系的建立再到数学理论的应用，更要有建构知识体系的数学思想方法提升，有意识有目的渗透数学建模的过程和思想方法;教学中不仅是教师的系统讲授和思想渗透，更要促使学生去领悟和掌握，有整体把握也有细微处理，学习和实践，会应用来解决实际问题。

高等数学教学的目的是提高教学质量，更是促使学生数学素养的提升，通过案例渗透数学数学建模思想方法是一种有效的做法。