素数与孪生素数逻辑解的几个方法初探
2014-12-13叶笛
叶 笛
（江苏省建湖县冈东供销社，江苏 建湖 224732）
0 引言
素数的混堆式及纵堆式合因子解法，侧重于对合数的计算过程，并由合数成因条件揭示真正的素因素（素因子）为4 大尾数——1，3，7，9 的奇数，即真正决定素数生成的内在条件是4 个特定的尾数值——1，3，7，9。只有这些尾数加上了某个10进位数后，才有可能成为素数。那么，素数及孪生素数公式都离不开这4 大因子——1，3，7，9 尾数。
1 素数的两种合因子互积计算法
1.1 混堆式合因子互积式
1.1.1 基本定义
合数（不含5 尾合数）一般是由4 个不同尾数的小质数互积构成的，只要按小质数量值大小顺序互积，就可得到有顺序排列的合数，这里的小质数称为合因子数。而在一定量值范围内解得合数，就可解得该值区内所有的质数。这一方法主要用于数值区间分解，对于个值计算比较费力，但作为一种方法是存在的。
1.1.2 公式运用
第1 步：设立计算对象及数值区间m 值。第2 步：确定该值区最小合因子的积值。第3 步：计算由小到大排列的小质数互积因子值，直至到达m 值，即获得该值区内全部合数。第4步：列出m 值区内4 大尾数—1，3，7，9 质因子数。第5 步：在质因子数中减去合数即得素数。
例1：计算m=101～300 内的全部素数。
第1 步：计算出m=101～300 内数值的最小质数积，即3×37，同理，按量值大小逐次算出小质数间的互积值合数。即：
第2 步：将m=101～300 内质因子数——1，3，7，9 结尾的奇数按顺序列出，并标注合数值。
第3 步：将m=101～300 内没有小质数互积因子的数列出，即为所解质数：101，103，107，109，113，127，131，137，139，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199，211，223，227，229，233，239，241，251，257，263，269，271，277，281，283，293
1.2 纵堆式合因子互积式
1.2.1 基本定义
指在计算合数过程中，只按照某个相同尾数值内进行纵向的合因子互积计算，而不考虑横向的其他尾数值的因子关系。此法可提供一种清晰的逻辑化途径，它一般适宜小值区m 的全解，对大值区m 全解需取出全部可倍的合因子值，计算量很大。
1.2.2 公式运用
第1 步：设立计算对象及值区m 的值。第2 步：列出质因子数。第3 步：计算值，保证得到一个m 值内最大合因子数y（y2≤m）。第4 步：分别计算4 个质因子数——1，3，7，9中合因子数——3，7，11……y 的一个合数位。第5 步：以已取得的3，7，11……y 的合数位为准，分别在同一尾数内纵向向上、向下数出某个合数值的合数位。例如：11 的合数，则数出上、下各第11 位的那个数，且连续不断，这些数即是11 的合数（此法又称数位法）。第6 步：合数取得后，剩下的即为质数。
例2：求解：m=1932749～1933000 内的质数（随机取值，本例解未作全解，仅从第一合因子3 解至11 的合数位，因具体计算过于复杂）。
第1 步：根据m 值列出1，3，7，9 尾数值作质因子数，并分别计算1，3，7，9 尾数中3，7，11 的3 个整除位作相应的合数位（其中3 的合数用“O”表示，7 的合数用“——”表示，11 的合数用“﹏﹏”表示）。
第2 步：在“3”的1，3，7，9 尾数的合数位上，分别纵向向上、向下每隔3 位即得一个3 的合数。同理，在“7”“11”的1，3，7，9 尾数的合数位上分别向上、向下间隔7 或11 位即可得到7 或11 的合数。依此类推，可继续以此法得到13，17，19，23，29……小质数的合数（凡数位法所得合数用“√”表示）。
第3 步：余下的质因子1，3，7，9 结尾的大奇数，一般情况下则可采用现行素数公式求得（数位法也可直接作公式用，只是对个值计算太难）。
1.3 简单结论
由2 个新的素数计算方法可知：质因子数是固定的，每10位数里产生4 个，即纵向的每个尾因子都以均匀的十进位方式不断生成，而阻止它生成的条件只有一个合数，而合数是小质数互积堆垒而成的，它的进位是不均匀的，虽然各尾数拥有同样的合因子，但位置却不同，这造成了不同尾类间的差异性，由于小质数间的频率高是主宰合数生成的主要因素，就一个大质数而言对某一数段内质数分布的影响是微弱的、不连续的。那么光凭小质数互积数是永远无法达成10 进位的均匀性分布要求的，所以质数是无穷大的、抽象化的。但由纵堆式合因子法可知：在同一个10 进位的4 大尾数中，它们拥有的素数个数总体上是相等的，其少数误差是由首末位置等因素造成的。原因是它们拥有相同的合因子数。显示了素数总量分布的潜规则——对称性、均匀性。假如合数分布无位置差异，可断言，大多数的素数都会以孪生方式显现的（除了3，7 尾数间）。
2 孪生素数的两种计算方法
2.1 剩位法计算公式
2.1.1 基本定义
根据质因子——1，3，7，9 的内在结构可以看出，它们相互间先天性存在3 个孪生因子，即表示为S1、3S7、9S9、1三大类，如非合数干扰，则此3 类可一直存在下去。那么基于此，在任一类孪生素数中，先算出最大可能存在的孪生素数值，然后以此为条件建立计算方法。具体为：分别在1，3，7，9 尾位上计算最大可能出现的3 的合数值，因在每一孪生位置上3 的合数位是挫开的，即表明纵向3 个连续位置中只有1 个剩余位，且每隔3位都是这样的，用口诀表示这个剩位为1，7 尾前，3，9 尾后和9前1 后。表明S1、3S7、9中1，7 尾中被3 整除数的前一位是剩位，3，9 尾中被3 整除数的后一位是剩位，在S9、1中剩位是9 前1后。因此这个剩位才是孪生的，围绕这才可能算出某值区的孪生素数。
2.1.2 公式运用
第1 步：设立计算对象及数值区间m 值。计算m 决定的最大合因子y（y 指m 值区可容纳的最大合数积因子：y≤）。
第2 步：将质因子数按孪生尾数顺序排列S1、3S7、9S9、1。
第3 步：分别将S1、3S7、9S9、1的3 的“剩位”确立下来。
第4 步：逐次算出7，11，13……y 在“剩位”上的合数项。
第5 步：得到最后的“剩位”即为孪生素数。
例3：解m=101～300 的孪生素数。
②列出3 类剩位孪生因子项（用“____”表示）。
③列出剩位孪生因子合数项（合数用“√”表示）。
从7，11，13 直至17 的合因子数，分别找出剩位上的一个合数值，其中各个因子项可采用定位关系取得（对于同一个合因子数，1，3 尾、7，9 尾、9，1 尾间位置是固定的。例如，7 的合因子项1 尾中“161”，由第1 个1 尾“7”的合数21，与第1 个3 尾“7”的合数63 可知，纵向相差4 位数，则由此推算本例3 尾中“203”是7 的合数等）。用定位法解得：1 尾合数121，161，221；3 尾合数133，253；7 尾合数167，287；9 尾合数119，169，209，259，299。
④m=101～300 的孪生素数。
2.2 综合试算式
2.2.1 基本定义
在“剩位法”当中全解一个较大的值的孪生素数是很难的，要从最小合因子一直解至最大合因子y，为了结合现行素数公式优点，将两种方法的优点结合起来运用。即任何一个大数值m，它最易成为小合因子的合数，只要尽可能将小合因子的合数去除后，剩下的数成为质数或孪生质数的可能较大，对剩下的数再以现行素数公式求解即可。
2.2.2 公式运用
第1 步：设立计算对象及值区m 的值。
第2 步：按“3”的剩位口诀，列出剩位孪生因子数。
第3 步：分别计算7，11，13 至某个适宜的合因子为止，并列出去掉的一部分剩位因子。
第4 步：对最后的剩位因子逐一按现行公式试解。
例4：求解m=80～120 间孪生素数。
①列出孪生质因子数。
②按3 的剩位口诀，1、7 尾前，3、9 尾后及9 尾前1 尾后得，剩位孪生因子为：89，91，101，103，107，109。
③代入7，去掉一个合因子项91（89，91）。
④对余下的101，103，107，109 再按现行素数公式求解（由于120 的最大合因子就是y=7，故本例已全解，提出此解是针对大数值区而言）。
2.3 简单结论
在二公式中，对孪生素数起主要作用的是两点：其一，在1，3，7，9 结尾的4 大素因子数中，已构成3 个先天性的孪生因子——S1、3S7、9S9、1。其二，小合因子数3 的主导合因子作用，因任一相邻的2 个孪生因子中，被3 整除的数是挫开的，这样每3 位数中注定有2 位是不能成为孪生因子的，即因“3”的作用，最大孪生素数总量占m 值的，那么这个表现在位置上为3 的合数的“剩位”关系。确立了“剩位”因子就等于节约了的计算总量。由“剩位”特征可知，在任一相邻2 个尾数的孪生因子中不可能出现2 个及以上的连续孪生素数，其最小间距每3 位数一个。其次，孪生素数的变化趋势同于素数的基本趋势，因其本质上的成因条件是一致的，孪生性只是一般素数间的分布结构特征，在一般性中具有偶然性，因只有当相邻两尾素数间不但拥有相同的合因子数，其合数所在位置完全一致时，才可能保证所有素数间为孪生素数。而事实上只拥有基本一致的合因子数，而位置都是挫开的，这表明绝大多数素数非孪生态是必然现象。第三，如果使数值到达n 值不再产生孪生素数，它的必要条件是所有除了“3”以后的合数因子递进位刚好满足因“3”的剩位留下的间隔为3 的这种递进速度才行，且保持连续不断。而已知的7，11，13，17……在小量值里都是定位相关的，只有出现3 与这些合因子数具互积关系时如：3×7，3×11……才重合。小的合数因子达不到每3 位就可干扰一次的速度。而对于较大的合因子数，如例2 中，y=1381，这样的数要每隔1381 位才会出现一次，其与3 的间隔更不可能产生持续的位置平衡。就是说：只要合数因子总和无法完成每3 位数且均匀生成一个合数的要求，那么孪生素数就必然不断生成。第四，就欧拉关于质数无穷大采用的推定方法提出一点商榷：即，这个表达式应是递减式，趋势值接近0 而不等于0，属于发散的。然而我们知道，0.333……当转换成分式和为虽然也是发散的，却是一个有限值，其问题取决于发散度或发散率。正如孪生素数的倒数和得到一个常数一样。可是在0～1 之间就可分解无穷多个分数，这意味着有限数值内也可产生无穷个数。就质数与孪生质数无穷大证明问题，主要还是从实际的逻辑条件及性质入手，取得一个一般性证明方法，或理论推定即可。
