连续自然数及乘积的尾数和奇偶性的分析

曹振民，霍心蕊

（中国路桥工程有限责任公司；中交基础设施养护集团有限公司，北京100011）

概述

在数论研究中,我们经常需要了解一组有一定规律（如连续自然数）的数字中各种奇偶数和尾数的分布情况,如设集合X 和Y 为X={x|x=[x1,x2]}（x1,x2∈N,x2≥x1）,Y={y|y=[y1,y2]}，（y1,y2∈N,y2≥y1）,其 中[x1,x2]表示从x1到x2的连续自然数,[y1,y2]同理。在X 和Y 之间建立一个的二元关系——一般意义上的相乘关系,设它们的乘积为S={（x,y）|x∈X,y∈Y,x*y}。显然X、Y 和S 均为有限集。本文将对集合X、Y 及它们的乘积S 中的数字的奇偶性和尾数分布情况进行分析。

1 定义

为减少歧义,首先给出一些相关定义和分析过程中用到的符号。

1.1 尾数：对于任意给定的整数x,把x 的最后一位数,称为x 的尾数,用符号Ri（x）（x∈Z）表示。如Ri（167）=7,Ri（0）=0,Ri（299）=9.

1.2 余数：对于任意给定的整数x 和d,用符号Mod（x,d）（x,d∈N+）表示x 除以d 的余数。如Mod（5,3）=2,Mod（4,2）=0,Mod（995,233）=63.

2 尾数分析

2.1 集合X 情况

先分析一组连续自然数中尾数个数的计算公式。

定律1：对于给定的集合X=［x1,x2］,（x1,x2∈N,x2≥x1）,其中尾数为i 的个数为：

式（1）中：Nx（i）——X 中尾数为i 的个数,i∈U,其中U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝

N0——参数,取值

T（i）——参数,当i=U0时T（i）=0；i=U1时T（i）=1

U1——集合U1=｛Ri（｛X1｝）｝⊆U,其中集合X1=［x1,（x2-10N0）］⊆X

U0——U1关于U 的补集,U0=∁UU1

证明：一般地,连续自然数的尾数都是每10 个为一个周期循环。对于给定的集合X=［x1,x2］,不妨把它分成两部分,一部分是尾数包含了集合U中所有元素的集合X0,它的基数是10 的整倍数;另一部分是X0关于X 的补集,X1=∁XX0。它的基数为|X1|=|X|-|X0|.显然有X1∪X0=X,X1∩X0=φ（空集）.

设Dx=x2-x1,X1和X0的元素在x1～x2之间的分界点为x12,即X1=［x1,x12］,X0=［x12+1,x2］。x12的几何意义见图1所示。

图1X拆分示意图

|X1|=x12-x1+1=（x2-10*N0）-x1+1=Dx-10*N0+1，|X0|=x2-（x12+1）+1=x2-x2+10*N0=10*N0

|X1|+|X0|=Dx-10*NO+1+10*N0=Dx+1=x2-x1+1=|X|，集合X0包含了N0个尾数分别为i（i∈U）的元素;集合X1包含了1个尾数分别为R（x1）～R（x12）的元素,设U1=｛Ri（｛X1｝）｝，则集合X中尾数为i的个数为上述两者之和。证毕！

举例1：求（22～2798）之间尾数为0～9的个数。

解：设X=［22,2798］,x1=22,x2=2798,则Dx=x2-x1=

x12=x2-10*N0=2798-2770=28,X1=［x1,x12］=｛22,23,24,25,26,27,28｝,|X1|=Dx-10*N0+1=2776-10*277+1=7，X0=［x12+1,x2］=［29,2798］,|X0|=10*N0=2770，U1=［Ri（｛X1｝）］=｛2,3,4,5,6,7,8｝,

U0=∁UU1=｛0,1,9｝，从而,X的尾数个数为：

2.2 集合S=X·Y情况

现在讨论两组连续自然数乘积的各种尾数的计算公式及所占比例。

定律2：对于给定的集合X=［x1,x2］,（x1,x2∈N,x2≥x1）,Y=［y1,y2］,（y1,y2∈N,y2≥y1）,它 们 的 乘 积S=｛（x,y）|x∈X,y∈Y,x*y｝,则S中尾数为k的个数为：

式（3）中,U（k）——集合系列,具体为：

U（1）=｛（1,1）,（3,7）,（7,3）,（9,9）｝

U（2）=｛（1,2）,（2,1）,（2,6）,（3,4）,（4,3）,（4,8）,（6,2）,（6,7）,（7,6）,（8,4）,（8,9）,（9,8）｝

U（3）=｛（1,3）,（3,1）,（7,9）,（9,7）｝

U（4）=｛（1,4）,（2,2）,（2,7）,（3,8）,（4,1）,（4,6）,（6,4）,（6,9）,（7,2）,（8,3）,（8,8）,（9,6）｝

U（6）=｛（1,6）,（2,3）,（2,8）,（3,2）,（4,4）,（4,9）,（6,1）,（6,6）,（7,8）,（8,2）,（8,7）,（9,4）｝

U（7）=｛（1,7）,（3,9）,（7,1）,（9,3）｝

U（8）=｛（1,8）,（2,4）,（2,9）,（3,6）,（4,2）,（4,7）,（6,3）,（6,8）,（7,4）,（8,1）,（8,6）,（9,2）｝

U（9）=｛（1,9）,（3,3）,（7,7）,（9,1）｝

Ns（k）——S 中尾数为k 的个数（k∈U,U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝）

Nx（i）——X 中尾数为i 的个数（i∈U）,可由（1）式求出.

Ny（j）——Y 中尾数为j 的个数（j∈U）,可由（1）式求出.

证明：对于给定的集合X 和Y 的乘积S,其各种尾数的个数由X 和Y 的尾数个数确定,而X 和Y 的尾数可由定律1求出。

如S 中尾数为1的个数,只有Ri（｛X｝）中1,3,7,9与Ri（｛Y｝）中的1,7,3,9 分别相乘后得出,即Ns（1）=Nx（1）*Ny（1）+Nx（3）*Ny（7）+Nx（7）*Ny（3）+Nx（9）*Ny（9）。S中尾数为9的个数,只能由集合X和Y中的（1*9）,（3*3）,（7*7）,（9*1）得出,简写为：

其中U（9）=｛（1,9）,（3,3）,（7,7）,（9,1）｝。其余尾数个数的计算方法同理。证毕！

举例2：求（22～2798）与（197～981）的乘积中,尾数分别为0～9的数字的个数。

解：设X=［22,2798］,Y=［197,981］,计算过程见表1和表2。

表1基本参数计算

现举例说明表2中尾数为3的计算过程,其余尾 数计算过程同理。

表2 计算结果

据（3）式,Ns（3）=Nx（1）·Ny（3）+Nx（3）·Ny（1）+Nx（7）·Ny（9）+Nx（9）·Ny（7）=109729883

由表2 可看出,尾数为奇数1,3,7,9 的数字约占比4%,尾数为奇数5 的数字约占比9%,尾数为0 的数字约占比27%,尾数为偶数2,4,6,8 的数字的占比均为12%。偶数（含0）总的占比为：

这是一个有趣的现象。我们在下面进行奇偶性分析时还会提到这一点,并给出证明。

3 奇偶性的分析

3.1 集合X情况

先给出一组连续自然数中奇偶数个数的计算公式。

定律3：对于给定的集合X=［x1,x2］,（x1,x2∈N,x2≥x1）,基数为|X|=x2-x1+1,设其奇数的个数为No,偶数的个数Ne,则有：

在此,我们姑且认为尾数为0的数字属于偶数。

在进行检验标本采集的过程中，检验工作者必须要充分了解患者的身体状况以及需要检查的项目，并告知患者在标本采集之前应当特别注意的地方，如：在采取样本之前，根据其需要检查的项目来嘱咐患者合理饮食、合理运动、尽量不服用药物等，以确保采取样本的可靠性，从而保障检验结果的准确性。

证明：连续自然数的奇数个偶数是间隔分布的,奇数和偶数的个数基本相同,大约各占一半,两者的差别仅在于给出的x1和x2的奇偶情况。现由取余函数mod 来确定x1和x2的奇偶性,由于mod（x,2）=0 时则x 为偶数,mod（x,2）=1时则x 为奇数,而x1、x2的奇偶性不外乎4种情况：

（1）x1为奇x2为奇：即mod（x1,2）=mod（x2,2）=1,显然x2-x1为偶数

则No=（x2-x1）/2+1=（x2-x1）/2+1/2+1/2=（x2-x1）/2+（mod（x1,2）+mod（x2,2））/2

（2）x1为奇x2为偶：即mod（x1,2）=1,mod（x2,2）=0,显然x2-x1为奇数

则No=（x2-x1）/2+0.5=（x2-x1）/2+1/2+0/2=（x2-x1）/2+（mod（x1,2）+mod（x2,2））/2

（3）x1为偶x2为奇：即mod（x1,2）=0,mod（x2,2）=1,显然x2-x1为奇数

则No=（x2-x1）/2+0.5=（x2-x1）/2+0/2+1/2=（x2-x1）/2+（mod（x1,2）+mod（x2,2））/2

则No=（x2-x1）/2+0=（x2-x1）/2+0/2+0/2=（x2-x1）/2+（mod（x1,2）+mod（x2,2））/2

而Ne=（x2-x1+1）-No=（x2-x1-mod（x1,2）-mod（x2,2））/2+1，证毕！

3.2 集合X·Y情况

定律4：对于给定的集合X=［x1,x2］,（x1,x2∈N,x2≥x1）,Y=［y1,y2］,（y1,y2∈N,y2≥y1）,它们的乘积S=｛（x,y）|x∈X,y∈Y,x*y｝,则S 中奇数个数Nso 和偶数个数Nse可由下式求出：

在此,我们姑且认为尾数为0的数字属于偶数。

证明：设集合X 和Y 中的奇数分别为Nxo 和Nyo,偶数分别为Nxe 和Nye,它们可以由上述的（3-1）和（3-2）式求出。由于偶*偶=偶*奇=奇*偶=偶,而奇*奇=奇,所以S 中的奇数只能由X 和Y 中的奇数相乘得出,即：No=Nxo·Nyo=（x2-x1+mod（x1,2）+mod（x2,2））·（y2-y1+mod（y1,2）+mod（y2,2））/4

Ne=（Nxo+Nxe）·（Nyo+Nye）-Nxo·Nyo=|X|·|Y|-Nso=|S|-Nso ，证毕！

举例3：求（22～2798）与（197～988751）乘积中,奇数和偶数的数字的个数。

解：根据公式（3-1）得,奇数Nso=

=（2798- 22 + mod（22,2）+ mod（2798,2））*（988751-197+mod（197,2）+mod（988751,2））/4

=（2776+0+0）（988554+1+1）/4=2776*988556/4=686057864

偶数Nse=（2798-22+1）·（988751-197+1）-Nso=2777*988555-686057864=2059159371

奇数占比686057864/2745217235=24.99%.

实际上,在两组连续的自然数（x1～x2）和（y1～y2）的乘积中,当乘积的数据充分多时,奇数占比趋向于25%，偶数占比趋向于75%。证明如下：

根据公式（4）,设mx=（mod（x1,2）+mod（x2,2））,my=（mod（y1,2）+mod（y2,2）），

dx=x2-x1,dy=y2-y1,可求得：Nso=（dx+mx）*（dy+my）/4，

则奇数占比γO=Nso/Nxy=（dx+mx）*（dy+my）/［（dx+1）*（dy+1）］/4

mx和my为一常数,两者之和最大为2,最小为0,所以当dx 或dy 其中的一项充分大时,奇数占比γO为：

这也解释了上述表2中所有奇数的百分比之和（4%+4%+9%+4%+4%）约等于25%的原因。