数学建模思想融入高等代数课程教学探究

田元生

(湘南学院数学系,湖南郴州423000)

高等代数课程是大学本科院校数学与应用数学和信息与计算科学等专业的最重要的基础课程之一。该课程的内容抽象程度高，逻辑性强，且现行教材例题太少，理论联系实际不足，学生普遍反映难学。将数学建模思想融入高等代数课程教学中，既能弥补教材中例题太少，理论联系实际不足的现象，又能将抽象的内容具体化，帮助学生更深刻地理解该课程的内容，以达到提高学生的学习兴趣，培养学生创新能力的目的。

一、概念教学中融入数学建模思想

笔者认为高等代数课程难学的原因之一就是概念抽象，学生很难理解。如教师在讲解线性变换的值域与核以及向量的线性相关与线性无关等概念时，学生很难抓住概念本质，搞不清这些概念的内涵与外延。教师在讲授这些概念时，应尽量向学生讲清楚概念形成过程及应用，在实际问题中找到概念的原型。在高等代数课程概念教学中，每引入一个新概念，教师都应尽量做到讲解一个刺激学生学习欲的实例，说明该内容的应用性，展现从实际问题中抽象出数学概念的过程，通过数学模型的建立，引入数学概念，从中也使学生体会到应用数学知识解决实际问题的方法。事实上，高等代数课程很多概念的形成中本身就渗透着数学建模思想，因此，在这些概念的引入时，融入数学建模过程是完全可行的。如在导出n级行列式的概念时，我们设计如下教学过程：实际问题：(1)二级、三级行列式的展开式中各有多少项？有多少项带正号？有多少项带负号？(2)展开式中每项是多少个元素的乘积？这些元素位于行列式的哪些行？哪些列？(3)展开式中每项的符号如何确定？问题提出后引导学生建立n级行列式模型。先看问题(1)，二级行列式共有2!项，三级行列式共有3!项，且正、负项都是各占一半。由此推断n级行列式应有n!项，且正、负项各占一半，各为n!/2项。再看问题(2)，二级行列式每项含有二个元素，三级行列式每项含有三个元素，且每项元素都位于行列式的不同行和不同列。由此推断，n级行列式每项是由位于不同行和不同列的n个元素的乘积构成的。再看问题(3)，在二级、三级行列式的展开式中，把行码按自然排列，让学生自己观察分析可得，列码为偶排列的项带正号，列码为奇排列的项带负号。由此推断，n级行列式中如果行码按自然排列，则列码为偶排列的项带正号，列码为奇排列的项带负号，从而抽象出n级行列式的概念。

二、定理、公式教学中融入数学建模思想

在高等代数定理和公式教学中，以往我们更多地是采用“满堂灌”的教学模式，只要求学生背诵定理和公式的结论，学生并没有真正熟练地掌握所学的定理和公式，只会盲目地机械地去套用。长此下去，无论学生多么用功，但对数学问题根本不可能进行深入的思考和探究，更不可能培养学生的创新思维和创新精神。因此，在定理、公式课的教学中，我们不单是让学生知道和了解定理和公式本身，更重要的是让学生理解定理、公式的探索、产生过程，以达到提高学生逻辑思维能力和分析与解决问题的能力。这就要求我们在高等代数定理和公式的中，注意融入数学建模思想，应尽量讲清楚定理、公式的来龙去脉，使学生了解定理、公式在高等代数课程中的地位和作用，深刻理解知识之间的内在联系和区别。例如在讲解复系数和实系数多项式因式分解定理时，我们设计如下教学过程：实际问题：(1)为什么要研究复系数和实系数多项式因式分解？(2)复系数和实系数多项式因式分解定理的理论基础是什么？由它如何推得到相应的定理？(3)复系数和实系数多项式因式分解定理与多项式的根有什么关系？问题提出后引导学生自己归纳、总结出复系数和实系数多项式因式分解定理。看问题(1)，我们知道了一般数域P上的多项式因式分解定理，而复系数和实系数多项式在实际应用中是最广泛的，因此，我们很有必要研究复系数和实系数多项式的因式分解。再看问题(2)，复系数和实系数多项式因式分解定理的理论基础是代数基本定理，代数基本定理实质是每个次数≥1的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式，而实系数多项式虚根是成双出现的，从而可推得复系数和实系数多项式因式分解定理。再看问题(3)，由复系数和实系数多项式因式分解定理，我们有结论：n次多项式一定有个n复根，奇数次实系数多项式至少有一实根。

三、例题讲解过程中融入数学建模思想

高等代数课程内容抽象、理论性强，多数现行的高等代数教材实例太少，理论联系实际不够，学生普遍觉得这门课程特别枯燥、难学且不知所学知识有何用途。为了弥补现行高等代数教材的不足，在教学过程中我们要有意识地补充一些例子，并且在讲解这些例子的过程中注意融入数学建模思想。通过这些例子的讲解，用实际问题让学生分析，观察问题特点，并应用代数知识解决相关问题，这样既能提高学生学习的兴趣，帮助学生深刻理解所学的相关知识，又能提高学生分析问题以及综合运用数学知识解决实际问题的能力。例如在讲解矩阵的乘积之前，我们可以补充下面实例：

实例：某产家发出一批产品，涉及甲，乙，丙，丁四个代理商和A，B，C三款产品，三款产品的单价分别为：产品A:30元/箱；产品B:40元/箱；产品C:50元/箱。三款产品的单箱重量分别为：产品A:15千克/箱；产品B:20千克/箱；产品C:30千克/箱。发往甲代理商的产品及数量为：产品A:30箱，产品B:15箱，产品C:40箱；发往乙代理商的产品及数量为：产品A:15箱，产品B:10箱，产品C:8箱；发往丙代理商的产品及数量为：产品A:20箱，产品B:12箱，产品C:16箱；发往丁代理商的产品及数量为：产品A:12箱，产品B:25箱，产品C:18箱。要计算发往各代理商的产品总价和总重量。

模型假设：假设严格按照单价和数量计算总价，没有任何促销优惠措施，而且即使四家代理商的级别不同，同款产品也执行同样的单价。

模型建立：根据已知数据，将每箱产品的价格和重量分别为第一行和第二行作矩阵X；将发往各代理商的各款产品的数量为列作矩阵Y；将发往各代理商的产品总价和总重量分别为第一行和第二行作矩阵Z，我们有

这里 分别表示发往代理商甲、乙、丙、丁的产品总价（元）， 分别表示发往代理商甲、乙、丙、丁的产品总重量（千克）。

模型求解：根据上述三个矩阵，我们可以得到，矩阵Z中的元素aij可以用A的第i行的3个元素与B的第j列的3个元素对应相乘并把所得的积相加得到,这里 i=1,2，j=1,2,3,4，即

从矩阵Z中可以一目了然地看出发往代理商甲、乙、丙、丁的产品总价（元）和总重量（千克）。

模型分析：上述算法可以推广到更一般的情形，而且可以从中抽象出两个矩阵的乘积的概念，即矩阵 与矩阵 的乘积是一个s×n矩阵，它的第i行，第j列处的元素是用A的第i行的元素与B的第j列的元素对应相乘并把所得的积相加得到的。

四、结束语

在实践教学中表明，将数学建模思想融入高等代数的教学中，有利于提高教学效果。但需要指出的是，高等代数课程毕竟不是专门的数学建模课程，我们不可能，也没必要按完整的数学建模的过程进行教学，而应把重点应放在模型假设，模型建立和模型求解上，侧重于体现数学建模的思想，加深学生对抽象概念及相关理论的理解，从而达到增强教学效果，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识，提高高等代数课堂教学质量。2003.

[2]刘来福,黄海样,曾文艺.数学模型与数学建模[M].北京:北京师范大学出版社,2009.

[3]翟莹.师范院校高等代数与解析几何教学改革探究[J].四川教育学院学报，2010(1):112-113.

[4]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学,2006(1):9-11.