化归思想在三角函数问题中的运用

仇正权 李素英

摘 要： 化归思想是一种重要的数学思想，本文总结归纳了三类三角函数问题的化归策略，并给出了典型的例题解析，从而为解决三角函数问题提供一定的帮助.

关键词： 三角函数 化归 分式型

化归思想是指在处理相关数学问题时，使用种种手段，将复杂、难解的问题转化为简单、易解的问题，其特点是将特殊问题一般化、复杂问题简单化.三角函数这一章节由于包含的公式数量多、问题形式复杂，学生很多时候不能得心应手地选择公式并灵活地使用.此时，化归思想就成为解决该章节的重要手段，笔者对化归思想在解决三角函数问题时的作用进行了适当的归纳，总结了三类三角函数的化归策略，并给出了典型例题解析.

一、三角函数问题的化归策略总结

（一）多个三角函数化归为只含一个三角函数

1.y=asinx+bcosx=■sin（x+φ），其中tanφ=■.

2.y=asin■x+bsinxcosx+ccos■x+d=■sin2x+■+■+d=■sin2x+■cos2x+■=■■sin（2x+φ）+■，其中tanφ=■.

（二）三角函数化归为一元二次函数

1.y=asin■+bsinx+c.

2.y=acos2x+bsinx=a（1-2sin■x）+bsinx=-2asin■x+bsinx+a.

3.y=a（sinx+cosx）+bsinxcosx，令t=sinx+cosx，则t∈[-■，■]，sinxcosx=■，则原函数可化为：y=at+b×■=■t■+at-■.此类型题目中，只要理解好sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx三者之间的联系即可.

（三）分式型三角函数的通性化归策略

1.y=■，此式可转化为sinx=■，接着|sinx|≤1？圯|d-by|≤|ay-c|

？圯（ay-c）■-（by-d）■≥0？圯[（a-b）y+d-c][（a+b）y-（c+d）]≥0.由此解出y的范围

2.y=■，此式可转化为aysinx-ccosx=d-by，

接着■sin（x+φ）=d-by？圯sin（x+φ）=■，其中tan（x+φ）=■，

由|sin（x+φ）|≤1？圯（d-by）■≤a■y■+c■，从而解出y的范围.

二、典型例题解析

例1：已知函数f（x）=4cosxsin（x+■）-1，求f（x）的最小正周期.

解析：此函数可变形为只含一个三角函数的形式.

∵f（x）=4cosx（■sinx+■cosx）-1=■sin2x+2cos■x-1

=■sin2x+cos2x=2sin（2x+■），∴f（x）的最小正周期为π.

例2：已知函数f（x）=2sin■ωx+2■sinωxsin（■ -ωx）（ω>0）的最小正周期为π，求ω的值.

解析：把ωx看成一个整体，该函数仍可变形为只含一个三角函数的形式.

f（x）=1-cos2ωx+2■sinωxcosωx=1-cos2ωx+■sin2ωx

=■sin2ωx-cos2ωx+1=2sin（2ωx-■）+1，因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω>0，所以■=π，得到ω=1.

例3：求函数f（x）=cos2x-8cosx+7（0≤x≤π）的值域.

解析：此函数形式可变形为一元二次函数的形式.

f（x）=2cos■x-1-8cosx+7=2cos■x-8cosx+6=2（cosx-2）■-2，

∵0≤x≤π，∴-1≤cosx≤1，∴f（x）■=2（1-2）■-2=0，

f（x）■=2（-1-2）■-2=16，即f（x）∈[0，16].

例4：求函數y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值.

解析：通过设元，可将此函数变形为一元二次函数的形式.

设sinx+cosx=t，则t=■sin（x+■），且t∈[-■，■].

∵1+2sinxcosx=t■，

∴sinxcosx=■，∴y=t+■=■（t+1）■-1，t∈[-■，■].

很明显，当t=■时，有y■=■+■.

例5：已知x∈（0，■），求函数y=■的最小值.

解析：典型的分式型三角函数，借助正弦函数的取值范围，能顺利解决.

y=■=■，

∵x∈（0，■），∴5-3cos2x>0，sin2x>0，∴y>0.

上式可变形为ysin2x+3cos2x=5.■sin（2x+φ）=5，即sin（2x+φ）=■，其中tanφ=■，∵|sin（2x+φ）|≤1，∴y■+9≥25，∴y≥4，即y■=4.

化归思想是一种重要的数学思想，若使用得当，则能为解决三角函数提供很多的帮助，同时，应注意不要生搬硬套，要注意方法的灵活多变，化归并没有统一的模式可以遵循.这就要求我们善于反思解题过程，并能不断地总结、提高化归能力.

参考文献：

[1]金江深，冯超.三角函数式的变形策略[J].青海教育，2010（6）.

[2]李桂平.求解三角函数问题的几大策略[J].科学之友，2010（2）.

[3]冯震.三角函数中的变形方式[J].理科爱好者：教育教学版，2011（2）.