高等数学中的概念教学

张云霞

摘 要：高等数学中的主要概念都是从实际问题中抽象出来的，学生学起来普遍感到比较困难，很难接受。然而学生对概念的理解是否正确、透彻对高等数学的学习起着至关重要的作用，因此本文主要探讨了如何在高等数学的教学中进行概念的教学。

关键词：高等数学；数学概念；教学

高等数学是高等院校理工科、经管类学生必修的一门数学类的公共基础课程，该门课程的学习直接关系到学生后续数学课程、专业课程的学习。在高等数学的教学中，我们发现许多教师重计算轻概念，把大量的时间花在了计算上面，而学生对概念本身并没有理解，从而导致了学生不知为何学习，学完了也不会使用的现象。而概念是数学的基石，是数学思维的基础，对概念的理解和掌握在高等数学的学习中占有非常重要的地位。因此如何在教学中如何讲清概念，使学生更好的理解概念，会使用所学的数学知识解决实际问题是高等数学教学中的一个关键。下面结合笔者从事教学的实际经验，探讨在高等数学的教学中如何进行概念教学。

1 运用数学史进行概念教学

数学史是研究数学的发生、发张过程及其规律的一门学科，它反应了数学发展的脉络与本质。在教授数学概念之前，先向学生介绍一些相关的数学史，不仅可以使学生了解概念的产生、发展、完善的过程，深刻的理解概念，还可以激发学生的学习兴趣和求知欲望。高等数学中的数学概念都是来自于对实际问题的研究，是在具体的实际问题中抽象出来的，因此不宜直接给出概念的定义，而应把概念的发生、形成、探索过程呈现出来，这样，学生在学习概念的时候不会感到突然，而是觉得这是很自然的事情，更重要的是，能使学生对概念作深层次的理解，提高学生发现问题和解决问题的能力。

例如在讲解极限的概念时，可以先介绍数学史中极限产生的思想。比如战国时代的《庄子·天下篇》中有“一尺之锤，日取其半，万事不竭”的名言。其意是所余部分总是可一分为二，永远取不完。到了公元三世纪，我国三国时期杰出的数学界刘徽，它为了定义和计算圆的周长，创立了“割圆术”，他用圆内接正多边形的周长近似代替圆的周长，实际上内接正多边形边数越多，它的周长就越接近圆的周长。刘徽指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣。”通过这些数学史的介绍学生知道早在古代就有了极限的思想，可以深刻的理解极限的概念，有助于后面极限知识的学习。

2 通过实例引入概念

高等数学中的概念都是来源于对实际问题的研究，是在研究实际问题的过程中抽象出来的。因此我们在讲解高等数学中的数学概念时一定要从实际问题入手，在解决实际实际问题的过程中让学生去体会概念的产生，并学会自己归纳数学概念，教师再加以引导，这样学生在学习数学概念时就不会觉得很抽象，会觉得这是一个自然的过程。

例如我们在讲解导数概念的时候，可以首先介绍曲线切线的斜率和变速直线运动的瞬时速度这两个实际问题，通过教师的引导，学生可以认识到虽然这两个问题的背景不同，一个是几何问题，一个是物理问题，但问题的解决的思想和方法是相同的，最后都可归结到处理增量之比的极限问题。因此， 數学就有单独研究增量之比这类极限的必要， 这类极限就定义为导数。通过这两个实例的引入学生可以自己归纳出导数的定义，并能够理解导数的概念，这样概念的形成在学生脑海中就是一个很自然的过程。反之，如果直接给出导数的定义，学生会感到迷茫，无法理解这个概念，觉得它很抽象，是一个孤立的东西。

又如在引入定积分的概念时， 我们可以先介绍如何求平面图形的面积这个实际问题：即如何来求解由曲线y=f（x），x=a，x=b及x轴所围成的平面图形的面积。由于有了前面极限的基础，在教师的引导下学生会想到利用极限的方法来解决。通过“分割——近似代替——求和——取极限”四个步骤我们可以得到一个和式的极限， 若此极限存在， 我们将其定义为函数y =f（x）在区间[a， b]上的定积分， 也就是上述曲边梯形的面积。这样先提出实际问题， 引导学生从问题出发，自己分析并概括出数学概念，让学生去经历再创造的过程，会使学生很好的理解并应用概念。作为高等数学的教师，我们应是帮助学生形成概念而不是教概念。实际上， 学生掌握一个概念有困难， 很大程度上是由于这个概念的获得过程与常识概念的形成过程次序相反造成的， 因此我们应按知识的发生过程来组织教学。

3 采用类比法引入概念

高等数学中有些概念并不是从实际问题的直接需要而引进的，而是已学过的一些概念的引申和推广。对于这样的概念用类比法进行教学会取得很好的效果。即通过对比的方式讲清原概念和新概念的相同之处、不同之处以及他们之间的联系。例如原函数概念是从导数概念引伸出来的。这两个概念没有明显的相同点，但是要讲清它们之间的关系，要指出求原函数是求导的逆运算。再如多元函数微积分中的绝大多数概念都是从一元函数微积分中的概念推广而来的。把这些概念， 前后联系起来，对比着去学习，而不是独立去理解，教师不仅省力， 学生也更容易明白。

4 利用数形结合的方法引入新概念

形象生动的语言、直观的几何图形、具体的实物模型比抽象思维更容易接受和领悟， 因为它更接近于知识的本源。所以在概念教学中可从具体形象的图形入手，经过分析、归纳、综合出新的概念。例如在讲函数的单调性、凸凹性及函数的极值等概念时，就可采用数形结合的方法进行讲授，使得学生更容易理解这些概念，对于非数学专业的学生来说，理解概念比去背严格的数学定义要重要的多。

总之，概念是高等数学不可缺少的重要组成部分， 在教学中应防止不重视概念而只重视计算的教学方式。要讲清概念， 让学生理解好概念， 为他们今后的自学打好坚实的基础。

参考文献

[1]高等数学中的概念教学.关红钧.沈阳教育学院学报[J].2001.6，（2）

[2]高等数学中的概念教学初探.李江南.内蒙古电大学刊[J].2002，（1）

[3]浅谈高等数学中的概念教学.孔祥文.卷宗[J].2013，（9）