“定律推广类”课的“先学后教”模式

钟世文

小数运算定律与整数运算定律相同，两者内在的一致性有利于整数运算定律推广应用到小数领域，为学生的“先学后教”提供了可能。基于“先学后教”策略，如何进行此类课型的教学呢？下面就以“整数乘法运算定律推广到小数”的教学为例，浅谈一些实践思考。

一、课始聚焦结构性预习，体验定律的迁移力

“先学”是“后教”的前奏。“先学”若只是让学生在课前随意翻看教材，不仅会加重学生课业负担，而且易使学生浅尝辄止，不求甚解，失去对学习的兴趣。因此，基于数学知识的内在联系和学生的已有经验，精心设计富有挑战性的“先学”活动，让学生主动探索，提高“先学”的质量。在本课教学中，针对大部分学生对整数运算定律推广到小数，没有太多的认知障碍，而对乘法分配律的运用却感到较为吃力的情形，在课始“先学”时，变全面铺开为个别聚焦，紧扣“乘法分配律”设计如下结构性预习作业，让学生在解决现实问题的过程中，发现不同情境下解题结构的一致性，体验乘法分配律的迁移力与再生力。

“整数乘法运算定律推广到小数”预习作业

同学们，四年级时我们已经知道了“整数加法的运算定律在小数运算中同样适用”，那么，“整数乘法的运算定律在小数乘法中是否也同样适用”呢？让我们带着这样的思考完成下列预习作业。

我能解决：只列出综合算式不用计算。

1.在一个长方形花圃里栽了油菜和向日葵（左下图），这个花圃一共占地多少平方米？

列式：_____________________________________

2.这个长方形（右上图）的周长是多少厘米？

列式：_____________________________________

3.小明和小冬同时从家里出发到学校，小明每分钟走50.5m，小冬每分钟走49.5m，9.5分钟后两人同时到校，他们两家相距多远？（图略）

列式：_____________________________________

我的发现：_________________________________

这样，通过结构性预习，让学生在“先学”预习中从不同角度解决问题，有利于策略的迁移、思维的延伸和知识的结构化，为进一步的探究学习积累感性经验。

二、课中倡导自主性研究，体会定律的内联力

在个体独立思考，自主完成预习作业的基础上，教师组织学生开展一系列研究性学习。首先要求学生根据反思提纲，对照典型解法进行自我反思，然后组织小组交流，最后进行集体汇报。通过反思、讨论、比较、辨析，让学生体会到整数、小数乘法运算定律之间的内在联系，自然明晰乘法运算定律的拓展应用，自觉进行简便计算。

1.收集典型解法，个体对照反思。

教师展示巡视过程中收集的典型解法，同时要求学生根据反思提纲，对照下列解法进行自我反思。

（1）①37.6×4.5+12.4×4.5 ②（37.6+12.4）×4.5

（2）①73.2×2+26.8×2 ②（73.2+26.8）×2

（3）①50.5×9.5+49.5×9.5 ②（50.5+49.5）×9.5

（1）上述各题先后两种解法的解题思路分别是什么？

（2）上述三个实际问题都用了两种方法解决，仔细观察，两种方法分别有什么共同点？

（3）你还能举出像这样用两种结构的算式解决的实际问题吗？

（4）具有这样两种结构的算式之间存在怎样的大小关系？

教学实践表明，个体独立反思越深刻，小组之间的交流就越充分，也就越有利于学生实现真正意义上的理解，自然生长出新的知识和经验。

2.组织小组交流，尝试沟通定律。

在引导学生对照典型解法进行反思后，教师及时组织学生进行小组交流，使得小组交流更具有针对性和实效性。在小组交流环节，教师要通过概括性提问，让学生再度进行思考讨论，在交流中尝试沟通定律。

（1）你能用字母把这一规律表示出来吗？这里的字母，除了自然数外，还可以是什么数？

（2）除了乘法分配律外，整数乘法的其余两个运算定律也适用于小数吗？请举例验证。

以上问题，由局部到整体，由个别到一般，由具体到抽象，让学生逐步领悟到整数、小数乘法运算定律之间存在天然的共同之处，真正把新知识自觉纳入同一种结构体系。

3.展示交流成果，提炼概括结语。

展示小组交流成果是课中研习的重要环节，重点在于交流集体智慧，提炼概括结语。汇报时以小组为单位进行，并要体现小组的集体智慧。通常，为了节约教学时间确保交流质量，小组汇报后教师一般不作逐一点评，只在最后一个小组汇报结束后，教师再作画龙点睛式的总评，并对知识进行总结。

三、课末精设针对性练习，体味定律的应用力

“后教”意味着数学教学离不开教师的教，特别是练习设计更需要教师基于学生的课始“先学”及课中研习的学情，精心设计。在本课教学中，为了让学生进一步体验运算定律在小数中的应用魅力，需要教师精心设计多层次练习，不断完善与丰富学生对定律的认识，拓宽定律的应用空间，提升定律的应用能力。

1.基础练习，拓展定律。

规律的应用既包括对总结出的规律的直接应用（如乘法分配律），又包括对总结规律过程的进一步迁移和拓展。如，由整数乘法分配律对小数的适用，自然联想到整数乘法交换律和结合律对小数也适用，以及由乘法对加法的分配律推广到乘法对减法的分配律等。为此，可以设计如下练习：

在□里填上适当的数，并说明理由。

（1）2.5×3.7+2.5×6.3=□×（□+□）

（2）4.5×2.4=□×□

（3）1.25×0.7×0.8=□×（□×□）

（4）7.2×11.2-7.2×1.2=□×（□-□）

以上4题，第（4）题是乘法对加法的分配律在乘法对减法中的推广，第（3）题有多种填法，讲评时应及时追问哪种填法更简便，并说明理由。

2.专项练习，内化定律。

运算定律推广到小数中会有新的学习拐点，需要通过专项练习来达成。如在整数乘法运算定律中，主要是判断两个或几个数的和或积可以凑成整十、整百、整千数等，而在小数乘法中，主要判断哪两个或几个数可以凑成整数。因此，可以设计如下专项练习：

下面哪两个数的和、差或积能凑成整数？用线连一连，并口算出结果。

2.83 12.5 □

16.2 1.17 □

0.08 0.4 □

0.25 6.2 □

8.8 2.3 □

为了克服思维定式与惰性，在专项练习中，可以设计有不能配对凑成整数以及可以“以一配几”或“以几配一”凑成整数的情况。

3.编题练习，深化定律。

练习不仅是为了巩固已有定律，更是为了促进学生深化对定律的理解，达到举一反三灵活运用的目的。为此，可以设计编题练习，如在“2.5×□○2.5×□”的□里填上适当的数，在○里填上运算符号，编出可简便计算的习题，再简算。此题内涵丰富，它涵盖了乘法运算的三个定律，同时包含了乘法对减法的分配律。这样虽然只给学生“一题”的感觉，但是却有“多题”的收获。

这里特别需要指出的是，虽然运算定律是运算本身固有的规律，但是学习运算定律的目的并不是为了简便运算，而是为进一步学习代数知识打下必备基础，所以课堂教学中应注意避免将运算定律的教学异化成为简便计算服务。

责任编辑：张 莹

小数运算定律与整数运算定律相同，两者内在的一致性有利于整数运算定律推广应用到小数领域，为学生的“先学后教”提供了可能。基于“先学后教”策略，如何进行此类课型的教学呢？下面就以“整数乘法运算定律推广到小数”的教学为例，浅谈一些实践思考。

一、课始聚焦结构性预习，体验定律的迁移力

“先学”是“后教”的前奏。“先学”若只是让学生在课前随意翻看教材，不仅会加重学生课业负担，而且易使学生浅尝辄止，不求甚解，失去对学习的兴趣。因此，基于数学知识的内在联系和学生的已有经验，精心设计富有挑战性的“先学”活动，让学生主动探索，提高“先学”的质量。在本课教学中，针对大部分学生对整数运算定律推广到小数，没有太多的认知障碍，而对乘法分配律的运用却感到较为吃力的情形，在课始“先学”时，变全面铺开为个别聚焦，紧扣“乘法分配律”设计如下结构性预习作业，让学生在解决现实问题的过程中，发现不同情境下解题结构的一致性，体验乘法分配律的迁移力与再生力。

“整数乘法运算定律推广到小数”预习作业

同学们，四年级时我们已经知道了“整数加法的运算定律在小数运算中同样适用”，那么，“整数乘法的运算定律在小数乘法中是否也同样适用”呢？让我们带着这样的思考完成下列预习作业。

我能解决：只列出综合算式不用计算。

1.在一个长方形花圃里栽了油菜和向日葵（左下图），这个花圃一共占地多少平方米？

列式：_____________________________________

2.这个长方形（右上图）的周长是多少厘米？

列式：_____________________________________

3.小明和小冬同时从家里出发到学校，小明每分钟走50.5m，小冬每分钟走49.5m，9.5分钟后两人同时到校，他们两家相距多远？（图略）

列式：_____________________________________

我的发现：_________________________________

这样，通过结构性预习，让学生在“先学”预习中从不同角度解决问题，有利于策略的迁移、思维的延伸和知识的结构化，为进一步的探究学习积累感性经验。

二、课中倡导自主性研究，体会定律的内联力

在个体独立思考，自主完成预习作业的基础上，教师组织学生开展一系列研究性学习。首先要求学生根据反思提纲，对照典型解法进行自我反思，然后组织小组交流，最后进行集体汇报。通过反思、讨论、比较、辨析，让学生体会到整数、小数乘法运算定律之间的内在联系，自然明晰乘法运算定律的拓展应用，自觉进行简便计算。

1.收集典型解法，个体对照反思。

教师展示巡视过程中收集的典型解法，同时要求学生根据反思提纲，对照下列解法进行自我反思。

（1）①37.6×4.5+12.4×4.5 ②（37.6+12.4）×4.5

（2）①73.2×2+26.8×2 ②（73.2+26.8）×2

（3）①50.5×9.5+49.5×9.5 ②（50.5+49.5）×9.5

（1）上述各题先后两种解法的解题思路分别是什么？

（2）上述三个实际问题都用了两种方法解决，仔细观察，两种方法分别有什么共同点？

（3）你还能举出像这样用两种结构的算式解决的实际问题吗？

（4）具有这样两种结构的算式之间存在怎样的大小关系？

教学实践表明，个体独立反思越深刻，小组之间的交流就越充分，也就越有利于学生实现真正意义上的理解，自然生长出新的知识和经验。

2.组织小组交流，尝试沟通定律。

在引导学生对照典型解法进行反思后，教师及时组织学生进行小组交流，使得小组交流更具有针对性和实效性。在小组交流环节，教师要通过概括性提问，让学生再度进行思考讨论，在交流中尝试沟通定律。

（1）你能用字母把这一规律表示出来吗？这里的字母，除了自然数外，还可以是什么数？

（2）除了乘法分配律外，整数乘法的其余两个运算定律也适用于小数吗？请举例验证。

以上问题，由局部到整体，由个别到一般，由具体到抽象，让学生逐步领悟到整数、小数乘法运算定律之间存在天然的共同之处，真正把新知识自觉纳入同一种结构体系。

3.展示交流成果，提炼概括结语。

展示小组交流成果是课中研习的重要环节，重点在于交流集体智慧，提炼概括结语。汇报时以小组为单位进行，并要体现小组的集体智慧。通常，为了节约教学时间确保交流质量，小组汇报后教师一般不作逐一点评，只在最后一个小组汇报结束后，教师再作画龙点睛式的总评，并对知识进行总结。

三、课末精设针对性练习，体味定律的应用力

“后教”意味着数学教学离不开教师的教，特别是练习设计更需要教师基于学生的课始“先学”及课中研习的学情，精心设计。在本课教学中，为了让学生进一步体验运算定律在小数中的应用魅力，需要教师精心设计多层次练习，不断完善与丰富学生对定律的认识，拓宽定律的应用空间，提升定律的应用能力。

1.基础练习，拓展定律。

规律的应用既包括对总结出的规律的直接应用（如乘法分配律），又包括对总结规律过程的进一步迁移和拓展。如，由整数乘法分配律对小数的适用，自然联想到整数乘法交换律和结合律对小数也适用，以及由乘法对加法的分配律推广到乘法对减法的分配律等。为此，可以设计如下练习：

在□里填上适当的数，并说明理由。

（1）2.5×3.7+2.5×6.3=□×（□+□）

（2）4.5×2.4=□×□

（3）1.25×0.7×0.8=□×（□×□）

（4）7.2×11.2-7.2×1.2=□×（□-□）

以上4题，第（4）题是乘法对加法的分配律在乘法对减法中的推广，第（3）题有多种填法，讲评时应及时追问哪种填法更简便，并说明理由。

2.专项练习，内化定律。

运算定律推广到小数中会有新的学习拐点，需要通过专项练习来达成。如在整数乘法运算定律中，主要是判断两个或几个数的和或积可以凑成整十、整百、整千数等，而在小数乘法中，主要判断哪两个或几个数可以凑成整数。因此，可以设计如下专项练习：

下面哪两个数的和、差或积能凑成整数？用线连一连，并口算出结果。

2.83 12.5 □

16.2 1.17 □

0.08 0.4 □

0.25 6.2 □

8.8 2.3 □

为了克服思维定式与惰性，在专项练习中，可以设计有不能配对凑成整数以及可以“以一配几”或“以几配一”凑成整数的情况。

3.编题练习，深化定律。

练习不仅是为了巩固已有定律，更是为了促进学生深化对定律的理解，达到举一反三灵活运用的目的。为此，可以设计编题练习，如在“2.5×□○2.5×□”的□里填上适当的数，在○里填上运算符号，编出可简便计算的习题，再简算。此题内涵丰富，它涵盖了乘法运算的三个定律，同时包含了乘法对减法的分配律。这样虽然只给学生“一题”的感觉，但是却有“多题”的收获。

这里特别需要指出的是，虽然运算定律是运算本身固有的规律，但是学习运算定律的目的并不是为了简便运算，而是为进一步学习代数知识打下必备基础，所以课堂教学中应注意避免将运算定律的教学异化成为简便计算服务。

责任编辑：张 莹

小数运算定律与整数运算定律相同，两者内在的一致性有利于整数运算定律推广应用到小数领域，为学生的“先学后教”提供了可能。基于“先学后教”策略，如何进行此类课型的教学呢？下面就以“整数乘法运算定律推广到小数”的教学为例，浅谈一些实践思考。

一、课始聚焦结构性预习，体验定律的迁移力

“先学”是“后教”的前奏。“先学”若只是让学生在课前随意翻看教材，不仅会加重学生课业负担，而且易使学生浅尝辄止，不求甚解，失去对学习的兴趣。因此，基于数学知识的内在联系和学生的已有经验，精心设计富有挑战性的“先学”活动，让学生主动探索，提高“先学”的质量。在本课教学中，针对大部分学生对整数运算定律推广到小数，没有太多的认知障碍，而对乘法分配律的运用却感到较为吃力的情形，在课始“先学”时，变全面铺开为个别聚焦，紧扣“乘法分配律”设计如下结构性预习作业，让学生在解决现实问题的过程中，发现不同情境下解题结构的一致性，体验乘法分配律的迁移力与再生力。

“整数乘法运算定律推广到小数”预习作业

同学们，四年级时我们已经知道了“整数加法的运算定律在小数运算中同样适用”，那么，“整数乘法的运算定律在小数乘法中是否也同样适用”呢？让我们带着这样的思考完成下列预习作业。

我能解决：只列出综合算式不用计算。

1.在一个长方形花圃里栽了油菜和向日葵（左下图），这个花圃一共占地多少平方米？

列式：_____________________________________

2.这个长方形（右上图）的周长是多少厘米？

列式：_____________________________________

3.小明和小冬同时从家里出发到学校，小明每分钟走50.5m，小冬每分钟走49.5m，9.5分钟后两人同时到校，他们两家相距多远？（图略）

列式：_____________________________________

我的发现：_________________________________

这样，通过结构性预习，让学生在“先学”预习中从不同角度解决问题，有利于策略的迁移、思维的延伸和知识的结构化，为进一步的探究学习积累感性经验。

二、课中倡导自主性研究，体会定律的内联力

在个体独立思考，自主完成预习作业的基础上，教师组织学生开展一系列研究性学习。首先要求学生根据反思提纲，对照典型解法进行自我反思，然后组织小组交流，最后进行集体汇报。通过反思、讨论、比较、辨析，让学生体会到整数、小数乘法运算定律之间的内在联系，自然明晰乘法运算定律的拓展应用，自觉进行简便计算。

1.收集典型解法，个体对照反思。

教师展示巡视过程中收集的典型解法，同时要求学生根据反思提纲，对照下列解法进行自我反思。

（1）①37.6×4.5+12.4×4.5 ②（37.6+12.4）×4.5

（2）①73.2×2+26.8×2 ②（73.2+26.8）×2

（3）①50.5×9.5+49.5×9.5 ②（50.5+49.5）×9.5

（1）上述各题先后两种解法的解题思路分别是什么？

（2）上述三个实际问题都用了两种方法解决，仔细观察，两种方法分别有什么共同点？

（3）你还能举出像这样用两种结构的算式解决的实际问题吗？

（4）具有这样两种结构的算式之间存在怎样的大小关系？

教学实践表明，个体独立反思越深刻，小组之间的交流就越充分，也就越有利于学生实现真正意义上的理解，自然生长出新的知识和经验。

2.组织小组交流，尝试沟通定律。

在引导学生对照典型解法进行反思后，教师及时组织学生进行小组交流，使得小组交流更具有针对性和实效性。在小组交流环节，教师要通过概括性提问，让学生再度进行思考讨论，在交流中尝试沟通定律。

（1）你能用字母把这一规律表示出来吗？这里的字母，除了自然数外，还可以是什么数？

（2）除了乘法分配律外，整数乘法的其余两个运算定律也适用于小数吗？请举例验证。

以上问题，由局部到整体，由个别到一般，由具体到抽象，让学生逐步领悟到整数、小数乘法运算定律之间存在天然的共同之处，真正把新知识自觉纳入同一种结构体系。

3.展示交流成果，提炼概括结语。

展示小组交流成果是课中研习的重要环节，重点在于交流集体智慧，提炼概括结语。汇报时以小组为单位进行，并要体现小组的集体智慧。通常，为了节约教学时间确保交流质量，小组汇报后教师一般不作逐一点评，只在最后一个小组汇报结束后，教师再作画龙点睛式的总评，并对知识进行总结。

三、课末精设针对性练习，体味定律的应用力

“后教”意味着数学教学离不开教师的教，特别是练习设计更需要教师基于学生的课始“先学”及课中研习的学情，精心设计。在本课教学中，为了让学生进一步体验运算定律在小数中的应用魅力，需要教师精心设计多层次练习，不断完善与丰富学生对定律的认识，拓宽定律的应用空间，提升定律的应用能力。

1.基础练习，拓展定律。

规律的应用既包括对总结出的规律的直接应用（如乘法分配律），又包括对总结规律过程的进一步迁移和拓展。如，由整数乘法分配律对小数的适用，自然联想到整数乘法交换律和结合律对小数也适用，以及由乘法对加法的分配律推广到乘法对减法的分配律等。为此，可以设计如下练习：

在□里填上适当的数，并说明理由。

（1）2.5×3.7+2.5×6.3=□×（□+□）

（2）4.5×2.4=□×□

（3）1.25×0.7×0.8=□×（□×□）

（4）7.2×11.2-7.2×1.2=□×（□-□）

以上4题，第（4）题是乘法对加法的分配律在乘法对减法中的推广，第（3）题有多种填法，讲评时应及时追问哪种填法更简便，并说明理由。

2.专项练习，内化定律。

运算定律推广到小数中会有新的学习拐点，需要通过专项练习来达成。如在整数乘法运算定律中，主要是判断两个或几个数的和或积可以凑成整十、整百、整千数等，而在小数乘法中，主要判断哪两个或几个数可以凑成整数。因此，可以设计如下专项练习：

下面哪两个数的和、差或积能凑成整数？用线连一连，并口算出结果。

2.83 12.5 □

16.2 1.17 □

0.08 0.4 □

0.25 6.2 □

8.8 2.3 □

为了克服思维定式与惰性，在专项练习中，可以设计有不能配对凑成整数以及可以“以一配几”或“以几配一”凑成整数的情况。

3.编题练习，深化定律。

练习不仅是为了巩固已有定律，更是为了促进学生深化对定律的理解，达到举一反三灵活运用的目的。为此，可以设计编题练习，如在“2.5×□○2.5×□”的□里填上适当的数，在○里填上运算符号，编出可简便计算的习题，再简算。此题内涵丰富，它涵盖了乘法运算的三个定律，同时包含了乘法对减法的分配律。这样虽然只给学生“一题”的感觉，但是却有“多题”的收获。

这里特别需要指出的是，虽然运算定律是运算本身固有的规律，但是学习运算定律的目的并不是为了简便运算，而是为进一步学习代数知识打下必备基础，所以课堂教学中应注意避免将运算定律的教学异化成为简便计算服务。

责任编辑：张 莹