“猜想—验证”在小学数学教学中的运用

褚晓冬

摘 要：“猜想——验证”不仅是学生学习数学知识的重要方法，而且是一种重要的数学思想。本文归纳了在小学数学教学中运用“猜想—验证”的四个途径，即在问题情境中感知（操作感知、创境感知），在观察分析中猜想（沟通新旧知识间的联系、个例启发），在举例、动手操作中验证，在引导中归纳。

关键词：小学数学；猜想；验证

“猜想——验证”是一种重要的数学思想方法。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”数学猜想并不是胡思乱想，基本思维模式是：问题情景—观察分析—提出猜想—验证结论—归纳总结。

一、在问题情景中感知

心理学研究表明：学生感知越丰富，建立的表象越清晰，就越能发现事物的规律，获得知识。因此，教学中要给学生提供充足的能揭示规律的感性材料，引导学生动手做、动脑想、动口说、动眼看，使学生在做一做、算一算、想一想、说一说、看一看中获得丰富的感性认识，建立清晰的表象，促使学生形成初步的猜想。

1.操作感知

如在“长方形面积计算公式”教学中，让学生拿出课前准备好的24张l平方厘米的正方形纸片，然后用这24张纸片拼成尽可能多的长方形，拼好后逐一按长、宽、面积等数据填在记录表格中。这样，通过拼、量、填、算、说，学生进一步初步感知了长方形的面积。至此，猜想长方形的面积已是水到渠成。

2.创境感知

在“加法交换律与结合律”教学中，教师提出问题：大猴上午吃3个桃子，下午吃4个桃子，小猴上午吃4个桃子，下午吃3个桃子。大猴小猴谁吃得多？学生发现：大猴小猴吃的桃子的总数相等，即3+4=4+3。学生观察等式左右两边的特点，初步感知了加法交换律。

二、在观察分析中猜想

波利亚曾说过：“一个孩子一旦表示出某些猜想，他就把自己与该题连在一起，会急切地想知道自己的猜想正确与否。于是，便主动地关心这道题，关心课堂上的进展。”因此，在学生大量感知且形成丰富的表象后，教师要给予学生充足的时间和空间，让学生根据自己的感知，用自己的思维方式自由地观察思考、分析推理，逐步从感性认识上升到理性认识，然后相互交流讨论，形成合理的猜想。

1.沟通新旧知识间的联系

在“平行四边形面积”的教学中，引导学生观察表格中长方形的长、宽、面积和平行四边形底、高、面积的数据，进而思考长方形的长、宽与平行四边形底、高有什么关系，长方形的面积和平行四边形面积有什么关系。学生通过做比较，交流讨论后，形成初步猜想。

2.个例启发

在“乘法结合侓”教学中，学生观察两个算式——（3×12）×5与3×（12×5），计算得出结果一致。他们通过找出等式两边的相同点和不同点进行猜想，教师引导学生举例，通过举例，学生进一步启发得出猜想。值得注意的是，学生猜想出现错误时，教师不能立即给予否定或提醒，而应适时引导学生举例验证，必要时教师可举出反例，让学生在验证中发现猜想错误，调整思考方向，重新提出猜想。

三、在举例、动手操作中验证

验证是用实例或逻辑推理证明结论是否正确的一种方法。没有验证的猜测，只是一种“悬念”。小学数学一般不要求作严格论证，可采用符合小学生年龄特征的举例验证法和动手操作验证法。

1.举例验证

在“商不变性质”教學中，学生通过观察除法算式猜测出“当被除数、除数都乘以或除以同一个数时，它们的商不变” 的结论。教师请生举例验证猜测的结论是否正确，生以12÷6=6÷3=4÷2=为例，说明“被除数、除数都除以同一个数，商仍然不变”。而小组在举例验证时发现当被除数、除数同时乘以0或除以0时，商的结果算不出来了。举例证明时，教师要鼓励学生不但要举一般的例子，更要举一些特殊的例子。同时乘以、除以0就是例证中的一个特殊例子。

2.动手操作验证

如“三角形的内角和”的教学，在学生提出初步的猜想后，引导学生在操作中探索验证：

（1）折一折：根据书中实验，分别折叠三种不同三角形，得到三角形的内角和是180°。

（2）拼一拼：分别把每种三角形的三个角剪下来，拼在一起成为一个平角，得到三角形的内角和是180°。

（3）算一算：把正方形的纸片沿对角线分成两个完全相同的三角形，由正方形4个角是90°×4=360°，推算出其中一个三角形内角和是180°。

四、在引导中归纳

验证之后，教师要不失时机地引导学生说一说、议一议，相互交流，达成共识。在此基础上，让学生理一理，准确地归纳、概括出知识结论。归纳时，要引导学生深刻理解结论的普遍性和结论中的每一句话。如归纳分数的基本性质时，让学生思考讨论“相同的数”是不是什么数都可以，为什么？在学生准确概括出分数的基本性质后，再让学生举例说明这个性质，然后引导学生应用这个性质。这样不但加深了学生对知识的理解，使其进一步巩固和掌握知识，而且培养了学生解决实际问题的能力。